Ôn tập phương trình vi phân cấp 1

ôn tập phương trình vi phần cấp 1 với các nội dung dưới đây Phương trình phân ly biến số( phương trình tách biến) , Phương trình đẳng cấp, Phương trình tuyến tính cấp 1 , Phương trình Bernoull , Phương trình vi phân toàn phần , PTVP với thừa số tích phân

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

1.Phương trình phân ly biến số( phương trình tách biến)

∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 => F(y) = G(x) + C

2 Phương trình đẳng cấp

Đặt 𝑣 = 𝑦

𝑥 𝑦′ = 𝑣 + 𝑥 𝑣’

Thay vào phương trình => 𝑣′𝑥 + 𝑣 = 𝐹(𝑣) => 𝑑𝑥

𝑥 = 𝑑𝑣

𝐹(𝑣)−𝑣

3 Phương trình tuyến tính cấp 1

𝑦′ + 𝑝(𝑥) 𝑦 = 𝑞(𝑥)

Nghiệm tống quát là 𝑦(𝑥) = 𝑒∫ −𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ( ∫ 𝑞(𝑥) 𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 )

4.Phương trình Bernoulli

𝑦′ + 𝑝(𝑥) 𝑦 = 𝑞(𝑥) 𝑦∝

Đặt 𝑣 = 𝑦1−∝ => 𝑣′ + (1 − ∝) 𝑝(𝑥) 𝑣 = (1−∝)𝑞(𝑥)

5.Phương trình vi phân toàn phần

𝑃 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑑𝑦 = 0 Kiểm tra 𝑃′𝑦 = 𝑄′𝑥

Cách 1: Nghiệm là ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦𝑥𝑥 0)𝑑𝑥

0 + ∫ 𝑄(𝑥𝑦𝑦 0, 𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶

0

Cách 2: ∃𝑢: 𝑑𝑢 = 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦

{𝑢 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 = +𝐶𝑦

𝑢′𝑦 = ( +𝐶𝑦 )′𝑦 = 𝑄 => 𝐶𝑦 =?

6 PTVP với thừa số tích phân

𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

𝜑(𝑥) = 𝑄′𝑥 − 𝑃′𝑦

𝑄 =>𝜇(𝑥) = 𝑒− ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥

∝ (𝑥) = 𝑄′𝑥 − 𝑃′𝑦

𝑃 =>𝜇(𝑦) = 𝑒∫∝(𝑦)𝑑𝑦 Nhân cả 2 vế phương trình (1) với 𝜇(𝑥) hoặc 𝜇(𝑦)

Một số tích phân đặc biệt