Tính kì dị chung của một số hệ ẩn của phương trình vi phân câp 1 trên mặt phẳng

Luận văn này nghiên cứu các tính kì dị điểm của họ các đường congpha được cho bởi phôi của bề mặt hệ và giới thiệu các tính kì dị chungtrên mặt phẳng lên một quỹ đạo trơn tương đương.Đối

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

HÀ THỊ CHÚC

TÍNH KÌ DỊ CHUNG CỦA MỘT SỐ HỆ ẨN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

TRÊN MẶT PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

HÀ THỊ CHÚC

TÍNH KÌ DỊ CHUNG CỦA MỘT SỐ HỆ ẨN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

TRÊN MẶT PHẲNG

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS TRỊNH THỊ DIỆP LINH

Thái Nguyên – 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực, không trùng lặp với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trongluận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

Người viết luận văn

Hà Thị Chúc

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trườngĐại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy,khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, TrườngĐại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi,giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã động viên,ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học và luận văn của mình

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

Người viết luận văn

Hà Thị Chúc

Mục lục

1.1 Một số khái niệm 5

1.2 Các điểm kì dị đơn giản 6

1.2.1 Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa 7

1.2.2 Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm 8

1.2.3 Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định 8

1.3 Phôi và điểm kì dị 9

1.4 Các dạng chuẩn tắc 10

1.4.1 Các ánh xạ đối hợp tốt 11

1.4.2 Các điểm kì dị chuẩn tắc 15

1.4.3 Các điểm kì dị gấp và lùi 17

1.4.4 Các tính kì dị gấp chuẩn tắc 18

2 Phân loại tính kì dị 20 2.1 Các phương trình dạng Clairaut và lý thuyết kì dị Legendre 20

2.1.1 Legendrian không gấp 20

2.1.2 Tính tổng quát 21

2.2 Các tính kì dị trong trường hợp tổng quát 26

2.3 Phân loại trong trường hợp tổng quát 29

2.4 Phân loại trong trường hợp Clairaut 34

Luận văn này nghiên cứu các tính kì dị điểm của họ các đường congpha được cho bởi phôi của bề mặt hệ và giới thiệu các tính kì dị chungtrên mặt phẳng lên một quỹ đạo trơn tương đương.

Đối với một hệ đủ tổng quát, bề mặt hệ là một đa tạp con n chiều trơnđóng trong không gian chùm tiếp xúc theo Định lý đường hoành Thom,

do đó sự gấp hệ là một ánh xạ liên tục giữa các đa tạp n chiều Ngoài

ra, sự gấp của một hệ đủ tổng quát có thể có tất cả các tính kì dị chungnhư là một ánh xạ giữa các đa tạp n chiều Trong thực tế hạch của phépchiếu chùm cũng là n chiều và theo Định lí của Goryonov (xem [11]), sốchiều của hạch thừa nhận tất cả các tính kì dị chung đối với các ánh xạgiữa các đa tạp n chiều

Một hệ đủ tổng quát gần một điểm chính quy của sự gấp hệ có thể giảiđược bằng cách lấy đạo hàm Trong trường hợp gần một điểm như vậy,

lý thuyết kì dị của họ các nghiệm của một hệ ẩn đã nhận được trong lýthuyết của họ các đường cong pha đối với các trường vectơ trơn tổng quáttrên các đa tạp n chiều (xem [2])

Đối với một hệ đủ tổng quát, vận tốc không triệt tiêu tại bất kì điểm

kì dị nào của sự gấp hệ Một lần nữa Định lý của Goryunov chỉ ra rằng1−gấp của một hệ đủ tổng quát có thể có tất cả các tính kì dị như là mộtánh xạ tổng quát từ một đa tạp n chiều đến một đa tạp (2n − 1) chiều.Đặc biệt đối với trường hợp 2 chiều, 1−gấp của một hệ đủ tổng quát cóthể có các điểm chính quy và các điểm kì dị cho bởi ô kì dị Whitney Đó

là sự phân loại các điểm kì dị của họ các đường cong pha đối với một hệ

ẩn tổng quát (xem Định lý 2.3.1, 2.3.4) Bên cạnh các tính kì dị đã biếtcủa các trường vectơ tổng quát trên mặt phẳng và tính kì dị được mô tảbởi các phương trình vi phân ẩn cấp 1 tổng quát, có một và chỉ một tính

kì dị được cho bởi phương trình vi phân ẩn trên ô kì dị Whitney đượcnhúng đến không gian của các hướng trên mặt phẳng (Hình 1, 2 và 3).Lên trên một quỹ đạo trơn tương đương, họ tương ứng của đường congpha là họ các nghiệm của hệ ẩn

˙x = ±1, ( ˙y)2 = x(x − y)2gần gốc

Hình 1: Điểm không kì dị, yên ngựa, nút gấp, và tiêu điểm

Hình 2: Yên gấp, nút gấp, và tiêu điểm gấp

Họ các nghiệm của phương trình ẩn (dy/dx)2 = x(x − y)2 đã nhận được

trong nghiên cứu của Arnol’d V I.(xem [3],[7]) Tuy nhiên, trường hợpcuối cùng và trường hợp được nghiên cứu luận văn này là khác nhau Ởđiểm thứ nhất, mặt phương trình trên không gian các hướng trên mặtphẳng là trơn theo lý thuyết của phương trình kiểu giảm dư, trong khi

nó có các tính kì dị ô Whitney đối với trường hợp hệ ẩn Ở điểm thứ hai,

Hình 3: Điểm gấp chuẩn tắc, điểm kì dị xếp li và điểm ô Whitney

phân bố mặt phẳng trên không gian của các hướng trên mặt phẳng cócác tính kì dị và nó không có cấu trúc tiếp xúc trong định lý của phươngtrình kiểm giảm dư, trong khi nó là cấu trúc tiếp xúc trong trường hợp hệ

ẩn Tuy nhiên, nếu đặt vào phép tương ứng đến phương trình kiểu giảmdư

˙x = εf (x, y, z) , ˙y = εg (x, y, z) , ˙z = h (x, y, z) + εr (x, y, z)

(trong đó f, g, h, r là các hàm số và ε là một tham số bé tùy ý), mặt

˙x − f (x, y, z) = 0, ˙y − g (x, y, z) = 0, h (x, y, z) = 0 nên sự hạn chế củaphép chiếu (x, y, z, ˙x, ˙y) 7→ (x, y, ˙x : ˙y) đến mặt này là tương tự của 1

−gấp Trong trường hợp tổng quát, sự hạn chế này đã được xác địnhgần điểm tới hạn bất kì của sự gấp, ở đây sự hạn chế của phép chiếu(x, y, z) 7→ (x, y) đến mặt h = 0 Quy về trường hợp của Arnol’d đếntrường hợp được xét (Hình 4)

Nội dung chủ yếu của luận văn trình bày lại các kết quả trong bài báo[8] Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn đượcchia thành 2 chương:

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản

Trong chương 1 đưa ra một số khái niệm, ví dụ minh họa và tính chất cơbản liên quan đến vấn đề nghiên cứu trong Chương 2

Chương 2 Phân loại tính kì dị

Ở Chương 2, trình bày các dạng chuẩn tắc trong trường hợp tổng quát và

Hình 4: Điểm gấp Clairaut, điểm lùi Clairaut và điểm mũ chéo nhau Clairaut

trường hợp Clairaut tổng quát Các chứng minh được trình bày rõ ràng,đầy đủ và sử dụng lý thuyết của sơ đồ tích phân (xem [13])

Định nghĩa 1.1.2 Một hệ ẩn có các đạo hàm bị chặn địa phương nếu

sự hạn chế của phép chiếu chùm đến mặt hệ là một ánh xạ riêng Sự hạnchế này được gọi là sự gấp hệ

Trong luận văn này, chỉ xét những hệ có các đạo hàm bị chặn địa phương

Ở đây, đồng nhất không gian của những hệ có đạo hàm bị chặn địa phươngvới không gian của các ánh xạ F tương ứng

Hệ đủ tổng quát là một hệ tạo bởi một vài tập con mở trù mật hầukhắp nơi trong không gian của những hệ với đạo hàm bị chặn địa phươngđối với Topo mịn Whitney

Định nghĩa 1.1.3 Cho 1 hệ ẩn, một ánh xạ khả vi x : t 7→ x (t) từ mộtkhoảng của đường thẳng thực đến đa tạp cơ sở sao cho ảnh của ánh xạ(x (t) , ˙x (t)) đến chùm tiếp xúc thuộc bề mặt hệ được gọi là đường congnghiệm của hệ ẩn

Đường cong pha là ảnh của một ánh xạ x (t) khả vi và một quỹ đạo làảnh của lực nâng ánh xạ đó.

Định nghĩa 1.1.4 Hệ 1 −gấp là sự thu hẹp của phép xạ ảnh của chùmtiếp xúc tới mặt hệ

Định nghĩa 1.1.5 Một hệ ẩn được gọi là dạng Clairaut nếu mặt hệ làtrơn và với mỗi điểm tới hạn bất kì của sự gấp hệ, vận tốc tương ứng tớiđiểm này là khác 0, nằm trong ảnh của không gian tiếp xúc đến mặt hệbởi đạo hàm của sự gấp, như là các phương trình Clairaut cổ điển

Giảm bớt điều kiện thì bất kì hệ ẩn dạng Clairaut có thể được đưa về

hệ dạng Clairaut, nó được đánh dấu bởi phép chiếu các quỹ đạo trơn đếncác đường cong nghiệm không kì dị

Định nghĩa 1.1.6 Cho ánh xạ F tổng quát, có ˙x 6= 0 khi F(x, ˙x) = 0

do đó hệ có thể được chiếu đến phương trình vi phân ẩn cấp 1

Với {F = 0} → P TR2 = 3 thì xuất hiện ô Whitney

Các dạng chuẩn tắc của phương trình vi phân ẩn trên ô Whitney:

trong đó aij(i, j = 1, 2) là các hằng số và

a11 a12

a21 a22

6= 0 Điểm (0, 0) làđiểm cân bằng của hệ (1.2) Ta hãy nghiên cứu đặc tính của các quỹ đạođối với hệ (1.2) ở lân cận điểm đó Ta tìm nghiệm dưới dạng

x = a1ekt, y = a2ekt (1.3)

Để xác định k ta có phương trình đặc trưng

... data-page="24">

Một điểm kì dị khơng quy phương trình F (x, y, p) = cũng

là xếp li Whitney phương trình gấp gọi điểm kì dị lùihoặc tính kì dị điểm lùi phương trình Phơi mặt phương trình

F... độ

1. 4.4 Các tính kì dị gấp chuẩn tắc

Điểm kì dị gấp phương trình F (x, y, p) = gọi C∞−chuẩntắc điểm kì dị C∞−chuẩn tắc trường hướng phươngtrình

Định... C0? ?vi đồng phơi gọi làphép đồng phơi.

Ví dụ 1. 3.5 Tập hợp y =

x2 − 1< sup> mặt phẳng có điểm kì dị nhưnhau điểm (? ?1, 0) (1, 0) trùng với điểm kì dị tập hợp