Học để lập nghiệp www edemy vn 1 KHÓA HỌC TOÁN CAO CẤP – GIẢI TÍCH 1 BÀI TẬP CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ (PHẦN 2) Các em có thể nhận PHẦN 1 TẠI ĐÂY bằng cách nhắn tin với nội dung “TCC1[.]
Trang 1KHÓA HỌC: TOÁN CAO CẤP – GIẢI TÍCH 1
BÀI TẬP CHƯƠNG: GIỚI HẠN VÀ VI PHÂN HÀM
Các em có thể nhận PHẦN 1 TẠI ĐÂY bằng cách nhắn tin với nội dung “TCC1
A GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài 26
Tính giới hạn hàm số sau
Lời giải
Bài 27
Tính giới hạn hàm số sau
Lời giải
Bài 28
Tính giới hạn hàm số sau khi n ∈ N, a ≥ 1
Lời giải
Trang 2
Bài 29
Tính giới hạn sau đây khi μ > 0
Lời giải
Bài 30
Tính giới hạn sau:
Lời giải
Trang 3
Bài 31
Tính giới hạn sau đây:
Lời giải
Bài 32
Tính giới hạn sau đây:
Lời giải
Trang 4
Bài 33
Tính giới hạn sau đây:
Lời giải
Bài 34
Tính giới hạn sau đây:
Lời giải
Bài 35
Tính giới hạn sau đây:
Trang 5
Lời giải
Bài 36
Tính giới hạn sau đây:
Lời giải
Bài 37
Tính giới hạn sau đây:
Lời giải
Bài 38
Tính giới hạn sau đây:
Trang 6
Lời giải
Nhận thấy VCL bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc 1, nên các VCL có bậc < 1 sẽ bị giản lược
đi bớt Như vậy, ta có:
B ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Bài 1
Tính đạo hàm của hàm f x ( ) = 3 x − 1
Lời giải
Áp dụng các quy tắc và bảng đạo hàm ta có
2 3
1 ( )
f x
x
−
Như vậy, tại x=1 không thể thay x=1 vào f ’ để tính mà phải dùng định nghĩa
3
f
1
x
x
=
Bài 2
Tính đạo hàm của
sin
( )
x x
f x x
x
=
Lời giải
Khi x≠0, ta tính bình thường Khi x=0, ta dùng đ/n
f
( )
x
x
−
Bài 3
Tính đạo hàm các hàm : a f(x) = tan (x 3 +x)
Trang 7b g(x) = e sinx
Lời giải
( )
f x
( ) x (sin ) cos x
g x = e x = x e
Bài 4
Tính đạo hàm của hàm 2
3
x
y =
Bài 5
Tính đạo hàm của 3
1
y = shx +
Lời giải
Đặt u = shx thì y = 3 u + 1
+
shx
y x y u u x
shx u
2 3
chx
=
+
Bài 6
Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm y = 2 x 3 − 1
Lời giải
Do y = 2 x 3 − 1 y = 6 x 2 0 x 0
Nên theo CT tính đạo hàm hàm ngược ta được
2
y x x
1 ( )
1 2 3
2
+
x y
y
Bài 7
Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm y = chx
Lời giải
y shx x
y shx
ch x y
Bài 8
Tính y’(x) biết x(t) = e t cost, y(t) = e t sint
Trang 8
( ) ( cos ) (cos sin ) ( )
( ) ( sin ) (sin cos )
y x
( )
y x
−
+
Bài 9
Tính đạo hàm 2 ln
x x
y =
Lời giải
2 ln
x
x
Bài 10
Tính đạo hàm (ln ) ln x
x
x y
x
=
Lời giải
Lấy đạo hàm 2 vế: ( ) ( ln )
y
y
Vậy :
Bài 11
Tính đạo hàm cấp 1, 2 của hàm y = tan(x 2 +1)
Lời giải
Bài 12
Tính y’, y’’ biết x = e 2t sht, y = e 2t cht
Lời giải
2 2
( )
t
t
y t e cht sht cht sht
y x
x t e sht cht sht cht
Trang 92 2
2
2
2 ( )
2
sht cht cht sht cht sht
sht cht sht cht
y x
t
t
sh t ch t
e sht cht
+
=
+
Bài 13
Tính đạo hàm cấp 3 của hàm y = sinx.ln(x+1)
Lời giải
3
3 0
k
−
3 (sin ) (ln( 1)) 3 (sin ) (ln( 1))
(3)
−
Bài 14
Tính y (n) biết y = (2x 2 -x+3)sin(2x+1)
Lời giải
Đặt f(x) = 2x 2 -x+3, g(x) = sin(2x+1) thì y = f.g
Áp dụng CT Leibnitz với lưu ý: với mọi k>2 thì f (k) =0
0
n
n k
y C f g −
=
0 (0) ( ) n 1 ( n 1) 2 ( n 2)
C f g C f g − C f g −
2
2
n
2
n
2
n
n n
−
−
Bài 15
Tính đh cấp n của 2 1
1
y x
=
−
Lời giải
y
Nên :
n
y
n
n
−
Trang 10
Bài 16
Tính đh cấp n của y = sin 4 x+cos 4 x
Lời giải
Biến đổi lượng giác:
2
y = − x x = − x
Bài 17
Tính đh cấp 10 của 1
1
x y x
+
=
−
Lời giải
1
x
−
−
Suy ra : y (10) = f g (10) + 10 g (9)
21 2
−
1.3 17 1 19( 1)
10( 1)
x
x x
+
−
Bài 18
Cho hàm số :
3
sin
( )
khi x= 0
x
a
=
1) Tìm a để hàm số liên tục x=0
2) Với a tìm được ,hãy xét sự khả vi của hàm số tại x=0
3) Lời giải
1) Do
3
2
x
x
Vậy để hàm liên tục tại x = 0 thì phải có a = 0
2) Với a= 0 ta có
3
sin
( )
0 khi x= 0
x
=
Trang 11Ta thấy
3
0
Vậy f’(0) = 0 và hàm khả vi tại x =0
Bài 19
Tính
1 cos 1
x x
d
dx
− +
= với x≠-1
Lời giải
Đặt u = cos 1
1
x x
− +
1 cos
1
x
x
−
+
Lại đặt 1
1
x v x
−
= +
Ta có (cos v)’ =-sin v v’ = - sin 1
1
x x
−
1 1
x x
− + )’ = -sin
1 1
x x
−
2 ( x + 1)
Cuối cùng :
1 cos 1
2
x
−
= −
Bài 20
Tính đạo hàm y nếu :
1 cos
x
e
+
2)
2
3
1
sin
x
+
Lời giải
1) Trước hết ta đơn giản biểu thức cuả hàm y bằng cách dựa vào tính chất logarit.Ta có
Do đó
1
x tg x
y
+
2) ở đây tiện lợi hơn cả là xét hàm z=ln|y| Ta có :
1
dz dz dy dy dy dz
y
dx = dy dx = y dx dx = dx
Viết hàm z dưới dạng
Trang 12
x = ln |y| = ln(1+ x 2 ) - 4
2
+
Thế biểu thức vừa thu được thế vào (*) ta có :
2
2
3
sin
+