Phương trình vi phân cấp 1

Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khicho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng.. Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưngnghiệm này không nhận được từ nghiệm

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

1.Định nghĩa:

Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng

F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y)

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1

là hàm y=φ(x,c)

Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và

y’(x) là đạo hàm của nó

Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi

cho hằng số c một giá trị cụ thể được gọi là

nghiệm riêng

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 nhưngnghiệm này không nhận được từ nghiệm tổng quátcho dù c lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là nghiệm

kỳ dị

VD: Xét phương trình vi phân cấp 1

Ta có:

) 1 :

(

y ĐK

dx y

dy

(*)

c x

y c

x y

dy

arcsin

Đây là nghiệm tổng quátTrường hợp: y= 1 thỏa phương trình (*) nên cũng

là nghiệm của phương trình vi phân này nhưngchúng không nhận được từ nghiệm tổng quát nên

là nghiệm kỳ dị

2 Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm củaphương trình vi phân cấp 1 y’=f(x,y) thỏa điềukiện ban đầu y(x ) = y

)

y

dx y

dy

0 ,

ln ln

x

dx y

dy

0 ,

. x c c

y

VD: Xét bài toán Cauchy

Ta có:

thỏa y(1) = 2

Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải được c=2

Vậy nghiệm của bài toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2

y=2.x

3 Các loại phương trình vi phân cấp 1

y g

dx x

c y

x 2 2 2

là nghiệm của phương trình

c

y x

2 2

2 2

c ydy

c Một số phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa vềdạng tách biến

Phương trình dạng: y’=f(y)

dx y

f

dy

) (

•Nếu f(y) = 0 có nghiệm y=b thì y=b lànghiệm riêng của phương trình

•Nếu f(y) ≠ 0 thì phương trình trên đưa về dạng tách biến:

y y

2

1 '

2

1 )

2

1 (

y

VD: Tìm nghiệm của phương trình

thỏa điều kiện

y

y dx

dy y

2

1 '

) 1 :

(

y ĐK

dx

dy y

y

dx

dy y

y

2

1

Ta có:

1 )

2

1 (

Từ điều kiện đầu

Vậy nghiệm của bài toán là

Trường hợp: không thỏa điều kiện đầu

c x

0 )

(

) ( )

(

(

(

) ( )

(

) (

g

y

g dx

x f

x f

của phương trình.

0 )

(

2 x f

0 )

(

1 y g

Nếu

riêng của phương trình

tại x=a thì x=a là 1 nghiệm

Nếu tại y=b thì y=b là 1 nghiệm

0 )

1 ( )

1 ( y 2 dx y x 2 dy x

0 )

1 ).(

1

VD1: Tìm nghiệm của phương trình

Vì

) 1

).(

1

0 1

dy y

y dx

x x

c

dy y

y dx

x

x

2 2

1 1

ta được phương trình tách biến:

chia 2 vế phương trình cho

c y

2

1 )

2 2

) 1

).(

1

dx y

dy

0 )

1

.( y

x

) 1

dy y

y

c x

y y

y

ln 1

c

dx x

dy y

1

2

) (

y

c by

ax z

' ' a by z

) ( ' a bf z z

y x

y ' 2

2 '

z

dx z

dz

2

c x

ln

Đây là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát ứngvới

x

e c y

2

2 2

.e x c

2 2

x

e c

) (

'

x

y f

y

' '

u

y x

y u

f

xu ' ( )

Thay y’ vào phương trình đầu ta sẽ được:

'

x

y e

y y x

' '

u

y x

y u

1 '

1

xu u

VD1: Tìm nghiệm của phương trình:

du u

1

(đây là phương trình tách biến)

c x

e

x

y u

c x

e x

ln )

1 ln(

x

dx e

du

u

1

0 )

2 (x y dx xdy

) 0 :

( 2

x

y dx

dy

' '

u

y x

y u

VD2: Tìm nghiệm của phương trình

Đặt

u xu

) 0 1

du

Thay y’ vào phương trình ta được

c x

1

ln

thỏa mãn phương

) ( )

( ' P x y Q x y

0 )

( x

0 )

( x

Q

) ( )

( ' P x y Q x y

] ).

(

) (

c dx

e x

Q e

x x

x y

y ' cos sin cos

b Cách giải:

VD1: Tìm nghiệm của phương trình

] ).

e x

Q e

Áp dụng công thức nghiệm :

Nghiệm tổng quát của phương trìnhtuyến tính cấp 1 (*) có dạng:

]

cos sin

sin

c dx

e x x

e

] )

1 (sin

[ sin

sin

c x

e e

x

e c x

]

cos sin

cos

c dx

e x x

e

VD2: Tìm nghiệm của phương trình

x

y x

y

cos

1

tg '

Áp dụng công thức nghiệm

] ).

(

) (

c dx

e x

Q e

]

cos

1

tg

c dx

e x

e

] cos

1

cos

1 [

x x

x y

sau đó sẽ đưa phương trình đầu về dạng phươngtrình tuyến tính cấp 1 với hàm cần tìm là

c tgx

x

1 , 0

; ).

( )

( ' P x y Q x y y

3.4 Phương trình Bernouli

1

y z

x y

x

y

2 2

1 '

2

' 2 '

2 1

y y z

y y

z

2 2

1 '

.

x

y y

VD1: Giải phương trình

Nhân 2 vế phương trình đầu với 2y ta được:

(đây là PT tuyến tính cấp 1)Đặt

] [

) (

1 2

1

c dx

e x e

x z

dx x

dx x

Đây là phương trình Bernouli với α =-1

2

1

x z

1 [

)

x

x x

x z

) 2

(

2 2

c

x x y

0 )

1 ln

2 (

xy

2

ln 2

x

x x

y y

VD2: Giải phương trình

) 0 :

(

1

1 1

y

ĐK y

y y

x

Đây là phương trình Bernouli với α =2

Đặt

y y

ln 2 1

x

Nhân 2 vế phương trình đầu với ta được:

(đây là phương trình tuyến tính cấp 1)

2

' '

y y z

] 2

ln 2 [ )

x x

x x

x z

Trường hợp thỏa mãn phương trình đầu

tiên ta nhận được nghiệm này

] ln

2 [

x z

nó là các hàm liên tục trên miền D và thỏa mãnđiều kiện

0 )

, ( )

, ( x y dx Q x y dy P

) , ( ),

, (x y Q x y P

D y

x x

Q y

P

) , (

;

) , (x y

U dU P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy

3.5 Phương trình vi phân toàn phần

Ở đây: cùng các đạo hàm riêng của

Khi đó: thỏa

a) Dạng:

dy y

x Q dx

y x P y

U

,

nên

) (

) ,

( )

,

U

P x

U

) , ( )

( ' )

) , (

( P x y dx c y Q x y y

Q y

U

) (

' y

) ,

( x y U

, ( )

, ( )

, ( x y P x y dx Q x y dy dU

c y

0 )

3 (

) 1

1

x

Q y

P

VD1: Giải phương trình vi phân:

phân toàn phần

dy y

x Q dx

y x P dU

y x

U ( , ) : ( , ) ( , )

) 2 ( 2

) 1 (

3

1

y x

Q y

U

y x

P x

U

Do đó:

) ( )

1 (

) ,

) ,

(

2

y c x

xy

x y

x U

3 )

( ' y x y 2c

x y

U

3 )

3 3

2

) ,

U

Vậy:

) ,

( x y c U

2 1

3 2

3 3

y x

c y

x xy

y x

3 3

2

3 2

Nghiệm của bài toán là:

0 )

( )

P

VD2: Giải phương trình vi phân

Vì nên đây là PT vi phân tòan phần

dy y

x Q dx

y x P dU

y x

U ( , ) : ( , ) ( , )

) 2 (

) 1 (

1

x e

Q y

U

y x

P x

U

y

Do đó :

) (

) 1 (

) ,

U

)

( 2

) ,

(

2

y c x

xy

x y

x U

y

e x

y c

x y

U

) (

'

Từ (1)

) (

) (

2 1

2

c e

x xy

không là phương trình vi phân toàn phần nhưng

có hàm

0 )

, ( )

, ( x y dx Q x y dy P

) ,

( x y H

) ,

( x y H

0 )

, ( )

, ( )

, ( )

, ( x y P x y dx H x y Q x y dy

H

) ,

( x y H

là phương trình vi phân toàn phần

được gọi là thừa số tích phân

Nói chung không có phương pháp tổng quát đểtìm thừa số tích phân Ta chỉ xét 2 trường hợp đơngiản nhất:

Q

x

Q y

H y

y H

y x

0 2

sin )

sin (x2 2 y dx x ydy

y x

sin 2

P

VD1: Giải phương trình vi phân

Ta có:

x Q

x

Q y

(

x

e x

H

dy x

Do đó thừa số tích phân là

0 2

sin

1 )

sin (

1

2

2 2

x

dx y

x x

c x

y x

2 sin

là phương trình vi phân toàn phần

Giải phương trình này ta được nghiệm tổng quát là:

0 )

sin (

) 1 cos

y

x x

y dx

x y

VD2: Giải phương trình vi phân

x

y x

x

y y

1 cos

Q

; cos

2 P

y P

x

Q y

P

1

y

e x

H

dy

) (

sin (

1 )

1 cos

(

dy y

x x

y y

dx x

y y

c y

x x

y sin

là phương trình vi phân toàn phần

Giải phương trình này ta được nghiệm tổng quát là:

