Luận văn này nghiên cứu các tính kì dị điểm của họ các đường congpha được cho bởi phôi của bề mặt hệ và giới thiệu các tính kì dị chungtrên mặt phẳng lên một quỹ đạo trơn tương đương.Đối
Một số khái niệm
Định nghĩa 1.1.1 Một hệ ẩn của các phương trình vi phân cấp 1 trên một đa tạp trơn n chiều được định nghĩa bởi cấp 0, cấp được gọi là mặt hệ của một ánh xạ trơn F từ chùm tiếp xúc của đa tạp này đến không gian Đề-các n chiều.
Trong các tọa độ địa phương x = (x 1 , , x n ) gần một điểm của đa tạp, một hệ có thể được viết dưới dạng chuẩn F(x,x) = 0.˙ Định nghĩa 1.1.2 Một hệ ẩn có các đạo hàm bị chặn địa phương nếu sự hạn chế của phép chiếu chùm đến mặt hệ là một ánh xạ riêng Sự hạn chế này được gọi là sự gấp hệ.
Trong luận văn này, ta chỉ xét các hệ có đạo hàm bị chặn địa phương; tại đây, không gian của các hệ đó được đồng nhất với không gian của các ánh xạ F tương ứng.
Trong khuôn khổTopology Whitney và các hệ có đạo hàm bị giới hạn cục bộ, một hệ đủ tổng quát được hiểu là một tập con mở trải rộng khắp không gian của các hệ ấy Định nghĩa 1.1.3 cho một hệ ẩn và một ánh xạ khả vi x: t ∈ I → x(t) từ một đoạn thực tới đa tạp cơ sở sao cho ảnh của (x(t), ẋ(t)) thuộc chùm tiếp xúc của mặt hệ được gọi là đường cong; đường cong pha là hình ảnh của một ánh xạ khả vi x(t) và quỹ đạo là hình ảnh của vận tốc nâng của ánh xạ đó Định nghĩa 1.1.4 cho biết hệ 1−gấp là sự thu hẹp của ảnh của chùm tiếp xúc lên mặt hệ Định nghĩa 1.1.5 một hệ ẩn được xem là dạng Clairaut khi mặt hệ trơn và với mỗi điểm tới hạn bất kì của sự gấp hệ, vận tốc tại điểm ấy không bằng 0 và nằm trong ảnh của không gian tiếp xúc lên mặt hệ thông qua đạo hàm của sự gấp, như các phương trình Clairaut cổ điển.
Khi giảm bớt điều kiện, mọi hệ ẩn dạng Clairaut có thể được đưa về dạng Clairaut chuẩn, và sự nhận diện này được thực hiện qua phép chiếu các quỹ đạo trơn lên các đường cong nghiệm không kì dị Theo Định nghĩa 1.1.6, với một ánh xạ F tổng quát sao cho ẋ ≠ 0 khi F(x, x) = 0, hệ có thể được chiếu đến phương trình vi phân ẩn cấp 1.
Với {F = 0} → P TR 2 = 3 thì xuất hiện ô Whitney.
Các dạng chuẩn tắc của phương trình vi phân ẩn trên ô Whitney:
2 Dạng phương trình: dx dy
Các điểm kì dị đơn giản
Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa
Các nghiệm của (1.4) là thực và khác nhau Trong trường hợp này có thể xảy ra ba trường hợp sau: i k1 < 0; k2 < 0 Điểm kì dị sẽ ổn định tiệm cận (điểm nút ổn định, Hình 1.1a).
Hình 1.1: ii k 1 > 0;k 2 > 0 Điểm cân bằng sẽ không ổn định (điểm nút không ổn định, Hình 1.1b). iii k 1 > 0;k 2 < 0 Điểm cân bằng không ổn định (điểm yên ngựa, Hình1.2a).
Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm
Các nghiệm của (1.4) là phức: k1 = p + qi và k2 = p − qi Với q ≠ 0, các trường hợp của điểm cân bằng được phân tích thành hai trường hợp chính: khi p < 0, điểm cân bằng ổn định tiệm cận (tiêu điểm ổn định, Hình 1.2b); khi p > 0, điểm cân bằng không ổn định (tiêu điểm không ổn định, Hình 1.3a).
Hình 1.3: iii p = 0;q 6= 0 Điểm cân bằng là ổn định, nhưng không ổn định tiệm cận (tâm điểm, Hình 1.3b).
Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định
Phương trình (1.4) có nghiệm kép khi k1 = k2 Có hai trường hợp: k1 = k2 < 0 cho điểm cân bằng ổn định trên tiệm cận (điểm nút suy biến ổn định, Hình 1.4a-b) và k1 = k2 > 0 cho điểm cân bằng không ổn định (điểm nút suy biến không ổn định, Hình 1.4c).
Nhận xét 1.2.1 cho biết: nếu cả hai nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) đều có phần thực âm thì điểm cân bằng là ổn định tiệm cận; ngược lại, chỉ cần một nghiệm của (1.4) có phần thực dương là điểm cân bằng sẽ không ổn định.
2 Những kết luận tương tự cũng đúng với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng dxi dt n
3 Để ngắn gọn đôi khi viết x˙ (y,˙ z, ) thay cho˙ dx dt (dy dt,dz dt, ).
Phôi và điểm kì dị
Định nghĩa 1.3.1 cho biết hai đối tượng có cùng tính chất và cấu trúc—ví dụ: các tập hợp, các trường vectơ, các họ của đường cong, phép ánh xạ—được gọi là tương đương tại một điểm khi chúng trùng khớp với nhau trong một lân cận của điểm ấy.
Lớp tương đương của một đối tượng tại một điểm được gọi là phôi của nó tại điểm đó.
Ví dụ 1.3.2 Các hàm số một biến g 1 (x) = x và g 2 (x) = x+ |x|
Trong hệ thống này, mỗi điểm trên nửa trục x dương có một phôi chung gắn với nó, còn các phôi ở các điểm khác nhau lại là các phôi riêng tại từng điểm Định nghĩa 1.3.3 quy định rằng hai phôi có tính chất như nhau được coi là tương đồng và được gọi là một phép liên quan đến cấu trúc đang xét Việc nhận diện các phôi theo tính chất tương đồng giúp phân loại và so sánh chúng, làm cơ sở cho các thao tác phân tích và biến đổi trong khuôn khổ bài toán.
Phép C_k−vi đồng phôi xác định hai phôi là đồng phôi nếu tồn tại một phôi của phép C_k−vi đồng phôi có thể dịch chuyển phôi thứ nhất sang phôi thứ hai Lớp các phôi của phép C_k−vi đồng phôi được gọi là một điểm C_k−kì dị hay đơn giản là một kì dị.
Nhận xét 1.3.4: Một phép C^k đồng phôi là một ánh xạ 1–1 mà cả nó và nghịch đảo của nó đều khả vi ở cấp độ C^k; còn phép C^0 đồng phôi được gọi là phép đồng phôi (homeomorphism).
Ví dụ 1.3.5 Tập hợp y = x 2 −1 trong mặt phẳng có điểm kì dị như nhau tại các điểm (−1,0)và (1,0)trùng với điểm kì dị của tập hợp y = |x| tại O (Hình 1.5).
Hình 1.5 minh họa hai khái niệm quan trọng liên quan đến phôi và biến dạng trong lý thuyết phương trình ẩn Định nghĩa 1.3.6 quy định hai biến dạng phôi của một phương trình ẩn (hoặc phôi của phép vi đồng phôi trơn) là tương đương trơn nếu hai biến dạng này có thể ghép thành một trong các phép vi đồng phôi trơn khác Định nghĩa 1.3.7 nói rằng sự biến dạng phôi của một phương trình vi phân ẩn được xem là quy nạp từ phôi khác khi phôi thứ nhất có ánh xạ trơn từ phôi cơ sở đến phôi cơ sở thứ hai.
Các dạng chuẩn tắc
Các ánh xạ đối hợp tốt
Trong hình học, một trường hướng trên một mặt được gọi là trơn nếu tại mỗi điểm của mặt tồn tại một lân cận nhỏ sao cho trường hướng ở mọi điểm trong lân cận đó là trường hướng của một phương trình vi phân trơn a(u,w) du + b(u,w) dw = 0, với u và w là các tọa độ địa phương Tóm lại, tính trơn của trường hướng đến từ khả năng mô tả nó bằng một hệ phương trình vi phân có các hàm hệ số a và b khả vi trên vùng địa phương, đảm bảo tính nhất quán và mượt mà của trường hướng trên mặt.
Các điểm mà ở đó các hệ số a và b đồng thời triệt tiêu được gọi là các điểm kì dị của trường hướng.
Trong trường hướng, một điểm kì dị được gọi là không suy biến nếu có thể chọn các hàm số a và b sao cho mọi giá trị riêng của sự tuyến hóa của trường vectơ (−b, a) tại điểm đó đều khác 0 và tỉ số của các giá trị riêng này khác ±1 Các hướng của các véctơ riêng tương ứng sẽ được gọi là các hướng riêng của trường hướng.
Cho v là một trường hướng có một điểm kì dị không suy biến tại O.
Trong ngữ cảnh ánh xạ đối hợp, có một đường thẳng đi qua điểm cố định O được gọi là tương thích với trường v nếu và chỉ nếu trên đường thẳng này các hướng của trường v và ảnh của chúng dưới ánh xạ đối hợp trùng khớp với nhau Định nghĩa 1.4.1: một ánh xạ đối hợp tương ứng với một trường v được gọi là v‑tốt nếu các hướng riêng của trường v và đạo hàm của ánh xạ đối hợp tại O là riêng biệt theo từng đôi.
Ví dụ 1.4.2 xét x và p là hai tọa độ trên mặt được xác định bởi phương trình 2y = p^2 + χx^2 với điều kiện χ ≠ 0 và χ ≠ 1/4 O là một điểm kì dị không suy biến của trường hướng v liên quan đến phương trình này Trên mặt này, ánh xạ đối hợp (x, p) → (x, −p) là một ánh xạ tự đối xứng (involution), phản ánh tính đối xứng giữa p và −p và duy trì các tính chất cấu trúc của mặt.
Hai đối tượng, như phôi của một phép đối hợp hoặc các đường cong và hướng tại một điểm, được gọi là tương đương dọc theo trường v (v−tương đương) nếu chúng có thể được biến đổi thành nhau bằng một đồng phôi C∞ của mặt phẳng sao cho mỗi đường cong tích phân của trường v được ánh xạ vào chính nó Khái niệm này cho phép phân loại các đối tượng dựa trên sự bất biến của các đường cong tích phân do trường v dựng nên khi áp dụng các phép biến đổi của mặt phẳng.
Bổ đề 1.4.3 Trường véctơ h là trường của sự biến dạng vi phân của phép đối hợp σ nếu và chỉ nếu σ ∗ h = −h.
Bổ đề 1.4.4: nếu g là biến dạng của một phép biến đổi đồng nhất với vận tốc h thì phép đối hợp biến dạng có vận tốc h − σ · h; nếu phép vi đồng phôi g đối hợp với σ thì nó đi đến phép đối hợp ghg^{-1}.
Bổ đề 1.4.5 Các phôi của hai phép đối hợp v−tốt tại O với một và chỉ một đường của các điểm cố định là các v−tương đương.
Chứng minh Cho σ 1 và σ 2 là các đối hợp v−tốt có một đường của các điểm cố định Lấy hàm số trơn ϕ, ϕ(0) = 0, có đạo hàm khác không tại
Trong lân cận của O, các đối hợp σ1 và σ2 được diễn đạt bằng tọa độ địa phương x = φ + σ1*φ và y = φ − σ1*φ Các phép đối hợp có dạng σ1:(x,y) → (x, −y) và σ2:(x,y) → (x + y^2 r(x,y), −y + y^2 s(x,y)), với r và s là hàm số trơn Vì mỗi đối hợp có đúng một đường cố định và đạo hàm của chúng đồng nhất trên đường đó khi x, y nhỏ, cả hai phép đối hợp σ1 và σ2 được coi là v− tốt Do đó tồn tại các tọa độ ξ = x + y^2 R(x,y) và η = y + y^2 S(x,y) với R và S là các hàm số trơn sao cho phép đối hợp σ2 ở hệ tọa độ mới có dạng σ2:(ξ, η) → (ξ, −η).
Xét sự biến dạng trơn γ t : (ξ t , η t ) 7→(ξ t ,−η t ) địa phương trong lân cận
O của đối hợp σ 1 trong σ 2 với ξ t = x+ty 2 R(x, y), η t = y+ty 2 S(x, y) Ta có γ0 = σ1, γ1 = σ2 Ký hiệu Vt là vận tốc của sự biến dạng này.
Lấy trường vectơ trơn ˜v, coi ˜v là trường của các hướng và có điểm kỳ dị không suy biến tại O Bổ đề 1.4.5 được chứng minh bằng cách phân tích cục bộ tại lân cận của đoạn [0,1] trên trục thời gian t; ở khu vực này, vận tốc của sự biến dạng cần được biểu diễn ở dạng phù hợp để làm rõ các đặc trưng của bổ đề.
V t = f t v˜−(γ t ∗ f t ) γ t ∗ v,˜ (1.6) với ft là hàm số trơn phụ thuộc t của các biến x, y Chỉ ra rằng, sự biểu diễn như vậy quả thực xảy ra.
Trong khuôn khổ này, sự giải được của phương trình đồng điều (1.6) đối với f_t xây dựng trên trường ˜v cho thấy ảnh của trường dưới phép đối hợp γ_t không cộng tuyến nằm ở ngoài đường của các điểm cố định Điều này cho thấy tính nhất quán của cấu trúc ảnh bởi γ_t và đảm bảo tính ổn định của nghiệm trên miền ngoài các đường đi tương ứng với các điểm cố định Nhờ đó có thể kết luận về khả giải của hệ phương trình trên phạm vi được xác định bởi ˜v và γ_t.
Vận tốc của sự biến dạng V (chỉ số t bỏ đi), ta thấy có O trên đường cong y = 0(η = 0) Do Bổ đề 1.4.3, ta có γ ∗ V = −V nên
∂η, (1.7) với p và q là các hàm số trơn.
Trên đường của các điểm cố định với phép đối hợp γ ta có γ ∗ v˜ = −˜v.
Trong phân tích này, biến η được xem xét cùng với ∂η và hệ (1.8), với l và m là các hàm số trơn Giả sử f là tổng của các hàm chẵn và không lẻ theo η sao cho f(ξ, η^2) = u(ξ, η^2) + η ω(ξ, η^2), trong đó u và ω là các hàm số trơn Đây là giả thiết phép thế đối với f, và khi áp dụng các biểu thức (1.7) và (1.8) của phương trình (1.6), ta thu được hệ phương trình liên quan đến các hàm u và ω; hệ này mô tả quan hệ giữa u và ω, từ đó cho phép phân tích cấu trúc của f thông qua sự phân tách chẵn – lẻ theo η.
Chia cả hai vế của phương trình thứ nhất trong hệ trên choη, nhận được hệ tuyến tính đối vớiu, ω Định thức của hệ này có dạngη 2 (4l(0,0)m η (0,0)+
Cho hệ H(ξ, η^2) với H là hàm số trơn Ta có m(0,0) = 0 và l(0,0)η(0,0) ≠ 0, nên điểm kì dị này không suy biến Tiếp theo, xét tới vế phải của hệ sau khi chia cho η^2 và nhận được một nghiệm trơn u(t), ω(t) tồn tại trong một vùng lân cận đoạn [0,1] trên trục t Do đó Bổ đề 1.4.5 được chứng minh.
Bổ đề 1.4.6 Các phôi tại O của hai đường cong trơn nhúng tiếp xúc với nhau tại O được gọi là v−tương đương nếu một đường cong trơn của trường vector v theo một hướng xác định không tiếp xúc được với hai đường cong này tại O.
Chứng minh: Cho một trường vectơ v và trường các hướng v, có một điểm kỳ dị suy biến tại O Ký hiệu g_t là ánh xạ luồng pha của trường này tại thời gian t, cho phép mô tả quỹ đạo của các điểm theo thời gian Điểm kỳ dị tại O mang đến những đặc trưng đặc biệt của luồng pha và đặt ra các thách thức trong việc phân tích sự tồn tại, tính liên tục của ánh xạ g_t khi t biến thiên Mục đích của bài viết là làm sáng rõ cấu trúc của luồng pha, xác định các điều kiện đảm bảo tính khả nghịch và ổn định của hệ, đồng thời cung cấp các phương pháp tiếp cận để khảo sát luồng pha ở gần và xa điểm kỳ dị.
Xét tồn tại một quá trình σ có tâm tại O Hai đường cong được biểu diễn bằng hai đường cong trơn đi qua một điểm trên đường hoành và liên hệ với một cặp phép chiếu trực tiếp ghép lại Trường vectơ kéo dài được xác định tại điểm chính quy và tiếp tuyến của nó dính với đường cong, do đó tham số biến thiên của đường cong thứ hai trở thành một hàm mượt τ của đường cong thứ nhất Việc tìm ánh xạ g_T(·), với T là kéo dài trơn của τ trên mặt phẳng, là bài toán tương ứng; từ đó Bổ đề 1.4.6 được chứng minh.
Bổ đề 1.4.7: Hai hướng tại O của các v−tương đương khác nhau có thể được nối với nhau bằng một đường cong liên tục trong không gian các hướng tại O, và chỉ khi đường cong đó không đi qua các hướng riêng của trường v tại O.
Các điểm kì dị chuẩn tắc
Số mũ của điểm kì dị không suy biến của một trường hướng được xác định bằng tỉ số giữa trị riêng và mô-đun cực đại của sự tuyến tính hóa trường vectơ tương ứng với trị riêng ấy, với trị riêng có mô-đun cực tiểu tại yên ngựa hoặc tại điểm nút Mô-đun của tỉ số giữa phần ảo và phần thực của trị riêng được xem xét tại một tiêu điểm Các số mũ này được bảo toàn dưới các phép vi đồng phôi.
Một điểm kỳ dị không suy biến của trường hướng được gọi là CK−chuẩn tắc nếu phôi tại điểm này có các đường cong tích phân của trường là CK−phép vi đồng phôi đến phôi tại O và các quỹ đạo pha của các vectơ tuyến tính liên quan lần lượt đối với trạng thái yên ngựa, điểm nút hoặc tiêu điểm Trong đó v2(x,y) = (1,0).
Trong công thức (1.10), α là số mũ của các điểm kỳ dị Các ký hiệu v2 và v3 cũng được sử dụng để ký hiệu các trường hướng được xác định bởi các phương trình vi phân với các trường vectơ này.
Phép đối hợp θ1 : (x, y) 7→ (((α + 1)x−2αy)/(α−1),(2x−(α+ 1)y)/(α −1)) là v2−tốt và phép đối hợp θ2 : (x, y) 7→ (x−2αy/α,−y) là v3−tốt.
Cho O là một điểm dị C∞-chuẩn tắc của trường v với số mũ α Định lý 1.4.11 cho biết các phôi tại O của trường hướng v, cùng với các đường cong tích phân và các ánh xạ đối hợp, có thể được đồng dạng bằng một phép C∞-đồng phôi của mặt phẳng để rút gọn tới các phôi tại O của các hướng v2 (v3) Các đường cong tích phân và các ánh xạ đối hợp θ1 (θ2) liên quan đến yên ngựa, với điểm nút tương ứng được coi là tiêu điểm.
Nhận xét 1.4.12 Các điều kiện của C ∞ −chuẩn tắc yêu cầu trong Định lý 1.4.11 hầu như luôn được thỏa mãn Nghĩa là:
1 Theo Định lý Siegel, một yên ngựa là C ∞ −chuẩn tắc nếu (1, α) là một điểm của dạng (M, v) (nghĩa là min{|1−m 1 −m 2 α|},|1−m 1 −m 2 α| ≥M/|m| v đối với tất cả các vectơ tích phân m = (m 1 , m 2 ) với các số mũ không âm, m 1 + m 2 ≥ 2) Độ đo của tập hợp các điểm mà không là các điểm dạng (M, v) với M > 0 bất kì là bằng 0 nếu v > 1.
2 Một điểm nút là C ∞ −chuẩn tắc nếu số mũ của nó không là số tự nhiên Đối với một trường vectơ trơn trong mặt phẳng thuộc về tập trong không gian của các trường như vậy (trong tôpô mịn Whitney), tập này là mở trong tôpô C 1 và trù mật hầu khắp nơi trong tôpô C ∞ , điều kiện này được thực hiện tại mỗi điểm nút của trường.
3 Các tiêu điểm không suy biến luôn là C ∞ −chuẩn tắc Sử dụng các phép đồng phôi (hoặc các phépC 0 −vi đồng phôi) cũng có thể "khử bỏ" số mũ α của điểm kì dị không yêu cầu C ∞ − chuẩn tắc của điểm Giả sử
O là một điểm kỳ dị không suy biến của trường vector v Định lý 1.4.13 cho thấy các phôi tại O của trường hướng v và các đường cong tích phân hoặc các ánh xạ đối hợp liên quan được đưa thành phôi tại O của trường hướng v2 (hoặc v3) thông qua phép đồng phôi của mặt phẳng Trong khuôn khổ này, các đường cong tích phân hoặc các phép đối hợp θ1 cũng được xem xét.
(θ 1 hoặc θ 2 ) với α = −2 (α = 2, α = 1) đối với yên ngựa (tương ứng điểm nút và tiêu điểm).
Các điểm kì dị gấp và lùi
Các ánh xạ gấp của phương trình F(x, y, p) = 0 xác định phép đối hợp gấp của phương trình trong lân cận của một điểm tới hạn; đó là một gấp Whitney Trên bề mặt đồ thị của phương trình, phép đối hợp gấp hoán đổi vị trí của các điểm có cùng ảnh dưới ánh xạ gấp của phương trình này.
Một điểm kì dị không chính quy của phương trình F(x, y, p) = 0, nơi sự gấp của đường giải tích có một điểm tới hạn hữu hạn, được gọi là gấp Whitney, hay yên ngựa gấp, nút gấp hoặc tiêu điểm gấp, nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện đặc thù liên quan đến tính tới hạn và cách thức thể hiện của gấp tại điểm ấy.
1 Trường hướng v của phương trình có điểm yên ngựa không suy biến, điểm nút không suy biến, tiêu điểm không suy biến tương ứng tại điểm này.
2 Phép đối hợp gấp của phương trình xác định trong lân cận của điểm kì dị đó là v−tốt.
Các điểm kì dị của ba dạng trên được gọi là các điểm kì dị gấp. Ở Ví dụ 1.4.2 có
4χ = 0 do đó có yên ngựa gấp với χ < 0 , nút gấp với 0< χ < 1/4 và tiêu điểm gấp với tại O tương ứng 1/4< χ.
Phôi của phép đối hợp gấp tại một điểm kì dị gấp của phương trình ngược lại cũng đúng. Định lý 1.4.14 Cho trường hướng v có một điểm kì dị không suy biến tại O và phép đối hợp v−tốt Khi đó, phôi tại O của v và v−tốt là phép
C ∞ −vi đồng phôi tới phôi tại điểm kì dị gấp của trường hướng và phép đối hợp gấp của phương trình F (x, y, p) = 0.
Một điểm kì dị không chính quy của phương trình F (x, y, p) = 0 cũng là xếp li Whitney của phương trình gấp sẽ được gọi là điểm kì dị lùi hoặc tính kì dị điểm lùi của phương trình Phôi của mặt phương trình
Xét F(x, y, p) = 0 tại điểm kì dị lùi của phương trình trùng với phôi tại O của mặt x = p f(x, p) f là hàm trơn và thỏa mãn f(0,0) = 0, f_p(0,0) = 0 < f_{pp}(0,0), và đã chọn hệ toạ độ sao cho các điều kiện này diễn ra trên mặt phẳng (x, y) Điểm kì dị lùi được gọi là elliptic (hoặc hyperbolic) nếu f_y(0,0) < 0 (tương ứng f_y(0,0) > 0) Elliptic và hyperbolic là các điểm kì dị lùi không phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ.
1.4.4 Các tính kì dị gấp chuẩn tắc Điểm kì dị gấp của phương trình F (x, y, p) = 0 được gọi là C ∞ −chuẩn tắc nếu nó là một điểm kì dị C ∞ −chuẩn tắc của trường hướng của phương trình. Định lý 1.4.15 Ảnh phôi của họ các đường cong tích phân của phương trình F (x, y, p) = 0 tại một điểm kì dị gấp C ∞ −chuẩn tắc là yên ngựa, điểm nút hoặc tiêu điểm nếu ánh xạ gấp của phương trình là phép C ∞ −vi đồng phôi tới phôi tại O của họ các đường cong
,0≤ c ≤ 2π, (1.13) trong đó R q x±√ y 2 +α 2 y, ở đây α là số mũ của điểm kì dị (tỉ số của các đường cong trong nghịch ảnh và ảnh có thể đồng nhất)
Trong lý thuyết phôi học, phôi của phương trình F = 0 tại một điểm trên mặt được coi là đồng phôi với phôi của phương trình F1 = 0 trên mặt phẳng (x, y) khi tồn tại một đồng phôi C_k ở lân cận của phép chiếu quỹ đạo các điểm lên mặt phẳng (x, y) sao cho phôi và quỹ đạo pha của hai phương trình được biến đổi thành các phôi khác có dạng tương ứng; điều này diễn ra với mọi giá trị k thỏa mãn 0 ≤ k, và đối với k = 0 ta nói rằng các phôi này là tương đương tô pô.
Dạng chuẩn trơn p^2 = x của phôi (trong trường hợp giải tích) của phương trình điển hình F(x, y, p) = 0 tại điểm kì dị chính quy được tìm thấy đầu tiên bởi Cibrario và được trình bày lại bởi Bruce I W và Dara L Trong khuôn khổ đó, Bruce I W đã sử dụng dạng p^2 = x E(x, y), với E là một hàm trơn được Thom xác lập Định lý 1.4.16 nêu về phôi của phương trình F(x, y, p) = 0 tại điểm kì dị gấp.
Chuẩn C∞ là phép C∞−chuẩn tắc, tức là phép đồng phôi C∞ tại điểm O của phương trình (p + kx)^2 = y, với k được xác định bởi hai công thức k = (α(α + 1) − 2)/2 hoặc k = 1 + α^2/8, α là số mũ của điểm kỳ dị đối với yên ngựa và điểm nút tương ứng với tiêu điểm Phương pháp C∞−chuẩn tắc cho phép chuyển đổi hệ về dạng đồng phôi tại O, giúp làm rõ cấu trúc hình học và các đặc trưng của đường cong hoặc của hệ phương trình liên quan.
Nhận xét 1.4.17 cho thấy trong hai mục trước, các điều kiện của Định lý 1.4.15 và Định lý 1.4.16 luôn được thỏa mãn; ví dụ điển hình là các nút gấp và tiêu điểm gấp của phương trình điển hình F(x, y, p) = 0 là C∞-chuẩn tắc.
2 Sự thay đổi các biến số x˜= x, y˜= 2 y +kx 2 /2 quy về dạng chuẩn tắc (p+kx) 2 = y đến dạng chuẩn tắc Dara y = p 2 +χx 2 /2 với χ = 2k, trong đó k < 0, 0 < k < 1/8 và 1/8< k tương ứng đối với yên ngựa, điểm nút, tiêu điểm.
3 Phương trình vi phân của họ các đường cong trong Định lý 1.4.15 được quy về dạng chuẩn tắc được chỉ ra trong Định lý 1.4.16 bởi sự kéo căng x˜ = ax,y˜= ay với a = 4(α+ 1) 2 α −2 (tương ứng, a = 16 1 +α 2 −2 ). Định lý 1.4.18 Các phôi của phương trình F (x, y, p) = 0 tại điểm kì dị gấp của phương trình là tương đương tôpô tới phôi tại 0 của phương trình (p−x) 2 = y đối với yên ngựa, (p+x/9) 2 = y đối với điểm nút hoặc(p+x/4) 2 = y đối với tiêu điểm.
Phân loại tính kì dị
Chương này trình bày các tính chất kỳ dị của các hệ ẩn cấp một trên các đa tạp hai chiều bằng cách đưa chúng về một quỹ đạo trơn tương đương, áp dụng cho cả trường hợp tổng quát và trường hợp Clairaut tổng quát Nhờ đó, việc phân loại địa phương được thực hiện và dẫn đến một hệ trên mặt phẳng R^2, tạo khung phân tích trực quan và hữu ích cho việc hiểu và áp dụng các kỳ dị điểm của hệ.
2.1 Các phương trình dạng Clairaut và lý thuyết kì dị Legendre
Legendrian không gấp
Xét chùm 1-tia trên J^1(R×R,R) và một 1-dạng chính tắc Θ trên không gian này Giả sử (t, x) là tọa độ chuẩn trên R×R và (t, x, y, q, p) là tọa độ tương ứng trên J^1(R×R,R) Khi đó, 1-dạng chính Θ được cho bởi Θ = dy − p dx − q dt = θ − q dt Phép chiếu tự nhiên Π: J^1(R×R,R) → R×R×R được xác định bởi Π(t, x, y, q, p) = (t, x, y) Gọi chùm 1-tia ở trên là chùm 1-tia không gấp Cho (a, f) là một phương trình với tích phân đầy đủ Khi đó tồn tại duy nhất một phôi hàm h: R^2,0 → R sao cho f^* Θ = h da Xác định một phụi ánh xạ.
Khi đú, nếu (à, f) là một phương trỡnh dạng Clairaut, thỡ ` (à,f ) là một phụi nhỳng chỡm Legendrian Gọi ` (à,f ) là Legendrian khụng gấp đầy đủ liờn kết với (à, f).
Mệnh đề 2.1.1: Cho (φ, f): R^2,0 → R sao cho J^1(R,R) ⊂ PT^*R^2 là một phương trình có tích phân đầy đủ Khi đó (φ, f) là một phương trình Clairaut nếu và chỉ nếu nó là một tập hợp các đường cong Legendrian không kỳ dị.
Legendrian khụng gấp đầy đủ ` (à,f ) liờn kết với (à, f) được gọi là Leg- endrian khụng gấp dạng Clairaut nếu` (à,f ) là phương trỡnh dạng Clairaut.
Tính tổng quát
Quay lại nghiên cứu các phương trình có tích phân đầy đủ, chúng ta xây dựng khái niệm tích phân tổng quát dựa trên Định nghĩa 2.1.2 Cho U ⊂ R^2 là một tập mở, ta gọi Int(U; R×J^1(R,R)) là tập các hệ tọa độ phân tích đầy đủ (a, f): U → R×J^1(R,R) Các hệ tọa độ này cho phép thiết lập các tích phân tổng quát và các phép biến đổi liên quan giữa chúng Khi các điều kiện cần thiết được thoả mãn, tích phân tổng quát được định nghĩa trên U và có thể được diễn đạt bằng nhiều hệ tọa độ khác nhau, đồng thời cho ta các công thức liên kết giữa các hàm tích phân trên cùng một miền U.
L U, J 1 (RìR,R) là tập Legendrian khụng gấp đầy đủ ` (à,f ) : U →
Các không gian này được trang bị Tôpô Whitney C∞ Trong mỗi không gian, một tập con được gọi là tổng quát nếu nó là một tập con mở và dày đặc trong không gian đó.
Tính chất tổng quát của các phôi được định nghĩa như sau:
Giả sử P là một tính chất của các phôi phương trình với tích phân đầy đủ (à, f) : R 2 ,0 → R ì J 1 (R,R) (tương ứng, Legendrian khụng gấp ` (à,f ) : R 2 ,0 → J 1 (RìR,R)) Với mỗi tập mở U ⊂ R 2 , kớ hiệu
P (U) là một tập của (à, f) ∈ Int U,RìJ 1 (R,R) (tương ứng, ` (à,f ) ∈
Định nghĩa 2.1.3 cho tính chất P cho rằng P được coi là tổng quát khi với mỗi lân cận U của 0 trong R^2, tập P(U) là một tập con của Int(U, R×J^1(R,R)) Trong khuôn khổ này, khái niệm ánh xạ liên tục đóng vai trò quan trọng để mô tả cách thức các giá trị của P thay đổi trên các vùng lân cận và sự liên kết giữa tập hợp P(U) với miền nội tại của không gian R×J^1(R,R).
1 1 được xác định bởi bởi
(Π 1 ) ∗ ` (à,f ) = Π 1 ◦` (à,f ) = (à, f) trong đó Π 1 : J 1 (R×R,R) → J 1 (R,R) là phép chiếu chính tắc Định nghĩa trên đã chứng tỏ định lý cơ bản sau: Định lý 2.1.4 Ánh xạ liên tục
(Π 1 ) ∗ :L U, J 1 (R×R,R) → Int U,R×J 1 (R,R) là một phép đồng phôi.
Định nghĩa 2.1.5: Hai phương trình f, f′: R^2,0 → PT*R^2 được xem là tương đương với nhau theo nhóm các phép biến đổi điểm khi tồn tại một phép vi đồng phôi φ: PT*R^2, π(f(0)) → PT*R^2, π(f′(0)) sao cho phép nâng φ̂: PT*R^2, f(0) → PT*R^2, f′(0) biến đổi f thành f′ Nói cách khác, φ̂ ∘ f = f′ ∘ ψ, với ψ là phép vi đồng phôi ψ: R^2,0 → R^2,0.
Mệnh đề 2.1.6 nêu rằng: Giả sử f, f′ : R^2,0 → PT*R^2 là hai hệ phương trình tích phân đầy đủ có tích phân đầu không phụ thuộc, và giả thiết π∘f và π∘f′ : R^2,0 → R^2,0 có các tập dị không đâu trù mật Khi đó, f và f′ tương đương với nhau theo nhóm các phép biến đổi nếu và chỉ nếu các sơ đồ tích phân cảm sinh (π∘f) và (π∘f′) là tương đương.
Chứng minh Giả thiết (à, π ◦f) và (à 0 , π ◦f 0 ) là tương đương bởi cỏc phép vi đồng phôi (k, ψ, φ) Khi đó ánh xạ các đường cong tích phân φ: π f à −1 (à(u, v)) qua π(f (u, v)) đến π f 0 à 0− 1 (k(à(u, v)))
Xét phép chiếu π và hai phép biến đổi f, f0 được kết nối qua bản đồ ψ, ta xem tập hợp các điểm kì dị tiếp xúc như một phần của tập hợp các điểm tới hạn của phép chiếu π Trong khuôn khổ này, ta có φ̂ ∘ f = f0 ∘ ψ, điều này cho thấy sự liên hệ giữa các biến đổi qua ψ và φ̂ Kết quả là f và f0 trở nên tương đương trong nhóm các phép biến đổi điểm, thể hiện một sự đồng bộ giữa cấu trúc hình học và phép biến đổi tại mức độ điểm.
Trong trường hợp khi ` (à,f ) là một phụi nhỳng chỡm Legendrian, ở đõy tồn tại một họ sinh của ` (à,f ) bởi định lý của Arnol’d – Zakalyukin’s ([1]).
Trong trường hợp này, họ sinh được xây dựng tự nhiên bởi một họ 1
−tham số của cỏc họ sinh liờn kết với (à, `) Cho F : (RìR)ìR k ,0 → (R,0) là một phôi hàm sao cho d 2 F|0×R ×R k là không kì dị, trong đó d 2 F (t, x, q) = ∂q ∂F
1 (t, x, q), , ∂q ∂F k (t, x, q) Gọi F là một họ Morse thì
C(F) = d 2 F −1 (0) là một phôi mặt trơn và π F : (C(F),0) → R là một phôi nhúng chìm, trong đó π F (t, x, q) =t Ta gọi đa tạp con C(F) là một tập catastrophe của F. Định nghĩa Φ˜F : (C(F),0) →J 1 (R,R) bởi Φ˜ F (t, x, q) x, F (t, x, q),∂F
Khi đó ∂F ∂q i = 0 trên C(F) và Φ˜ F ∗ θ = ∂F ∂t |C (F).dt|C(F) = 0 Bằng định nghĩa, Φ F là một Legendrian không gấp liên kết với họ Legendrian π F ,Φ˜ F Do đó có nhận xét sau:
Nhận xét 2.1.7 Tất cả các phôi Legendrian không gấp đều được xây dựng bằng phương pháp tương tự định lý Arnol’d-Zakalyukin ([1]).
Giả sử (à, f) là một phương trỡnh dạng Clairaut Theo Mệnh đề 2.1.1,
Đối với một Legendrian Φ, ta có thể chọn một họ các phụ hàm F: (R×R,0) → (R,0) sao cho ảnh của 1-jet j^1_t F_t = f^{-1}(t) với mọi t, với F_t(x) = F(t,x) Nhận xét cho thấy phôi ánh xạ j^1 F: (R×R,0) → J^1(R,R) được xác định bởi j^1 F(t,x) = j^1_t F(x) không nhất thiết là một phôi nhúng chìm Trong trường hợp này, C(F) = (R×R,0) và Φ_F = j^1 F: (R×R,0) → J^1(R×R, R) sao cho nó là Legendrian không gấp đầy liên kết với π1, j^1_1 F Do đó, chúng sinh ra một Legendrian không gấp dạng.
Cho (à, g) và (à 0 , g 0 ) là cỏc sơ đồ tớch phõn Khi đú (à, g) và (à 0 , g 0 ) là
R+-tương đương được định nghĩa như tồn tại một phôi vi đồng Ψ : (R×(R×R),0)→(R×(R×R),0) với Ψ(t,x,y)=(t+α(x,y), ψ(x,y)) và một phôi vi đồng phụ Φ : R^2,0→R^2,0 thỏa mãn Ψ ∘ (a,g) = (a0,g0) ∘ Φ Giả sử (a,g) và (a0,g0) là R+-tương đương bởi các phôi vi đồng ở trên thì ta có a(u)+α∘g(u) = a0∘Φ(u) và ψ∘g(u) = g0 ∘Φ(u) với mọi u∈R^2,0 Do đó, sơ đồ (a+ α∘g, g) là tương đương chặt tới (a0, g0) Định nghĩa quan hệ tương đương tương ứng trong số các Legendrian không gấp Định nghĩa 2.1.8 Giả sử (a,f), (a0,f0) : R^2,0 → J^1 (R, R), z0 là các Legendrian không gấp Khi đó (a,f) và (a0,f0) là S.P+−tương đương Legendrian (tương ứng S.P−tương đương Legendrian) nếu tồn tại một phôi vi đồng phôi tiếp xúc.
K : J 1 (R×R,R), z 0 → J 1 (R×R n ,R), z 0 0 , một phôi vi đồng phôi Φ : R 2 ,0 → R 2 ,0 và một phôi vi đồng phôi Ψ : (R×(R×R),Π (z 0 )) → (R×(R×R),Π (z 0 0 )) sao cho Ψ (t, x, y) = (t+α(x, y), ψ(x, y))
(tương ứng Ψ (t, x, y) = (t, ψ(x, y)) thỏa mãn Π◦K = Ψ◦Π và K ◦L L 0 ◦ Φ Khi đú, nếu ` (à,f ) và ` (à 0 ,f 0 ) là S.P + −tương đương Legendrian (tương ứng, S.P−tương đương Legendrian) thỡ (à, π ◦f) và (à 0 , π ◦f 0 ) là
R + −tương đương (tương ứng tương đương chặt).
Khái niệm ổn định của các Legendrian khi xét hai dạng tương đương S.P^+ và S.P^− (tương ứng Legendrian) cho thấy sự ổn định này tương tự với khái niệm ổn định được dùng phổ biến cho các phôi nhúng chìm Legendrian dưới tương đương Legendrian Nói cách khác, mối liên hệ giữa S.P^+ và S.P^− đối với Legendrian cho phép ta hiểu rõ sự ổn định bất kể cách tiếp cận Mặt khác, quan hệ tương đương nêu trên có thể được giải thích trong các số hạng và các họ sinh liên quan, từ đó làm sáng tỏ cách các đối tượng Legendrian và phép biến đổi của chúng liên kết với nhau.
Với mục đích đó, ta dùng một số kí hiệu và kết quả trong [1] Theo Định nghĩa 2.1.9, cho hai hàm F̃ và G̃ : (R × (R × R), 0) → (R, 0) là các họ sinh của Legendrian không gấp theo dạng Clairaut Khi đó F̃ và G̃ được gọi là các họ sinh của Legendrian không gấp dạng Clairaut.
P − C + −tương đương (tương ứng P − C −tương đương) nếu tồn tại một phôi vi đồng phôi Φ : (R×(R×R),0) →(R×(R×R),0) sao cho Φ (t, x, y) = (t+α(x, y), φ1(x, y), φ2(x, y))
(tương ứng, Φ (t, x, y) = (t, φ 1 (x, y), φ 2 (x, y))) thỏa mãn hF ◦Φi ε
(t,x,y) iđean sinh bởi G trong vành địa phương của các phôi hàm ε (t,x,y) với các biến (t, x, y).
F˜(t, x, y)gọi làC + (tương ứngC)−sự biến dạng riêng lẻ củaf = F|R×0 nếu εt df dt
). Định lý 2.1.10 Giả sử F ,˜ G˜ : (R×(R×R),0) → (R,0) là các họ sinh của các Legendrian không gấp dạng Clairaut Φ F ,Φ G tương ứng Khi đó:
(1) ΦF và ΦG là S.P + (tương ứng, S.P ) −tương đương Legendrian nếu và chỉ nếu F˜ và G˜ là C + (tương ứng, C) −tương đương.
2) ΦF là S.P+ (tương ứng S.P) ổn định Legendrian nếu và chỉ nếu F̃ là P−C+ (tương ứng C) với sự biến dạng riêng lẻ của f = F|R×{0} Định lý sau là một hệ quả của Định lý riêng tổng quát của Damon J trong [4]: Định lý 2.1.11 Cho F̃, G̃ : (R×(R×R),0) → (R,0) là các họ sinh của Legendrian không gấp dạng Clairaut sao cho ΦF, ΦG là S.P+ (tương ứng S.P) ổn định Legendrian Khi đó, ΦF, ΦG là S.P+ (tương ứng S.P).
−tương đương Legendrian nếu và chỉ nếu f = F|R× {0}, g = G|R× {0} là C −tương đương (hfi = hgi ). Đối với mỗi phôi hàm f : (R,0)→ (R,0), ta đặt
Khi đó, ta có phân loại dưới đây (xem [18]).
Bổ đề 2.1.12 Cho f : (R,0)→ (R,0) là một phôi hàm với κ−cod(f) 0, ta nghiên cứu phương trình ẩn cấp có hai trường hướng trơn dx/dy = f1(y) và dy/dx = f2(y) Các hàm f1, f2 là các hàm trơn và f1(0)=f2(0)=0 vì h(0,0)=0 Theo các điều kiện này, ta phân tích hành vi của nghiệm tại gốc, đánh giá tồn tại và tính ổn định của các đường đi giải pháp trên miền quanh gốc và trong trường hợp x−y=0 giao với miền x>0, từ đó làm rõ cấu trúc của hệ và các đặc trưng của phương trình vi phân ẩn.
Bổ đề Hadamard cho thấy các hàm có thể được biểu diễn ở dạng f1(y) = y f̃1(y), với f̃1 và f̃2 là các hàm số trơn Trường hướng gần gốc có dạng dy/dx = (y − x) f̃1(y) + x f̃2(y), từ đó cho thấy sự mở rộng trơn đồng thời của hai trường này.
Gần gốc, hệ có một tích phân đầu dạng y + x I1(x,y), với I1 là một hàm trơn; khi xét tích phân này và hàm liên quan, ta đổi sang các tọa độ mới y và u tương ứng, bảo toàn hai dạng đầu của phương trình (2.1) nhưng ở tọa độ mới hàm h đồng nhất 0 trên trục u và trên tập tương ứng đến ô Whitney Trong các tọa độ mới gần gốc, tập nghiệm cuối cùng được xác định bởi phương trình u − v^2 X1(v^2) = 0, với X là một hàm trơn và X(0) > 0 Theo Bổ đề Hadamard, hàm h trong dx dy = h(u,v) có thể viết dưới dạng h(u,v) = v(u − v^2) X1(v^2) H(u,v), trong đó H là hàm trơn và H(0,0) ≠ 0 vì tại điểm nghiên cứu hệ có tính kì dị Whitney Do đó, gần gốc ṽ = v pX(v^2) và x̃ = xX(x) quy về hệ (2.1) với dạng x = v^2, y = u và dy/dx = v(u − v^2) H(u,v) (2.2) (dấu ngã trong ký hiệu tọa độ mới được bỏ đi) với H là một hàm trơn không triệt tiêu tại gốc Trường các hướng được cho bởi dy/dx = v(u − v^2) H(u,v) có thể được nâng lên thành một trường hướng trơn dạng du/dx.
Khi đó, trường hướng dy dx = v(u − v 2 )H (u, v) có tích phân đầu dạng
Trong bài viết này, I(u,v) được cho bằng u+v và liên quan tới các biến J và tham số u, v Đây là điều kiện đủ để đưa tích phân về dạng chuẩn hóa bằng cách đổi biến giao hoán theo phép đối hợp (u,v) → (u,−v), được xác định bởi sự gấp hệ của bài toán Lấy tọa độ mới u ở dạng phù hợp để đơn giản hóa tích phân và làm nổi bật tính đối xứng của hệ dưới sự biến đổi này Việc áp dụng đổi biến như vậy giúp khai triển tích phân một cách có hệ thống, rút gọn các biểu thức và hỗ trợ đưa bài toán về khuôn khổ chuẩn hóa, thuận tiện cho phân tích hoặc tối ưu hóa sau đó.
(I (u, v) +I (u,−v))/2, khi đó rút gọn tích phân về dạng
I(u, v) =u+v 3 a(u) +v 5 b(u) +v 7 c u, v 2 , trong đó a, b, c là các hàm trơn, a(0) = 0 6= a 0 (0)b(0) bởi vì v 2 u là số hạng của bậc thấp hơn trong vế phải của phương trình (2.3), b(0) 6= 0 do
Theo Bổ đề 2.3.5 định lý được chứng minh.
Phân loại trong trường hợp Clairaut
Chùm tiếp xúc của mặt phẳng R^2 được ký hiệu TR^2, và thiết diện {0} là thiết diện không của mặt phẳng đó Phép chiếu chính tắc từ chùm tiếp xúc, từ mặt ngoài của thiết diện {0}, tới đa tạp các phần tử tiếp xúc trên mặt phẳng được ký hiệu Π: TR^2 \ {0} → P T^* R^2 Ở đây P T^* R^2 là phép xạ ảnh fiber-wise của chùm đường cong T^* R^2 trên không gian R^2 Phép chiếu Π cảm sinh các ánh xạ 1−gấp từ các mặt trong TR^2 \ {0} Chú ý rằng ở đây không tồn tại đẳng cấu chính tắc giữa chùm tiếp xúc. -**Support Pollinations.AI:**🌸 **Quảng cáo** 🌸 Tìm hiểu thêm về toán học với [Pollinations.AI](https://pollinations.ai/redirect/kofi) - hỗ trợ nội dung chuyên sâu cho bài viết của bạn!
Xét TR^2 và chùm đường cong T^*R^2, ta có một đẳng cấu chính tắc giữa P(TR^2) và P(T^*R^2); đẳng cấu này giống như đa tạp của các phần tử tiếp xúc trên mặt phẳng, được xác định bởi ánh xạ hướng tiếp tuyến từ R^2 sang các đường có hướng trên R^2 Do đó, khi xét quỹ đạo trơn tương đương, sự phân loại các mặt trong TR^2 \ {0} được qui về sự định hướng của các quỹ đạo, qua đó phân loại bởi các vi đồng phôi tiếp xúc trên P(T^*R^2) và đồng thời bảo toàn bởi phép chiếu chuẩn π: P(T^*R^2) → R^2.
Xét hệ dạng Clairaut trong TR 2 \ {0} và 1−không gấp của hệ đó trong
Trong không gian PT*R^2, Σc là quỹ tích của các điểm kì dị tiếp xúc, nghĩa là tập hợp trên mặt hệ gồm các điểm mà dạng tiếp xúc triệt tiêu tại điểm tương ứng trong PT*R^2 Σπ là quỹ tích các điểm kì dị trên mặt hệ khi xét phép chiếu π: TR^2 → R^2 Hệ được gọi là dạng Clairaut nếu và chỉ nếu ánh xạ nhúng tới R^2 có cùng hạng tại hầu hết các điểm của hệ và Σc = Σπ.
Dara L (xem [5]) đã đưa ra định nghĩa các phương trình dạng Clairaut đối với các mặt trơn trong R^3 ⊂ PT^* R^2 với các tọa độ x, y và p như sau: Định nghĩa 2.4.1 Hệ ẩn G(x, y, p) = 0 được gọi là có dạng Clairaut nếu G_x + p G_y = A(x, y, p) G + B(x, y, p) p cố định, với A(x, y, p) và B(x, y, p) là các phôi hàm.
Theo định nghĩa đã nêu, một hệ ở dạng Clairaut có tổng các hằng số c bằng tổng các nghiệm π Thực tế, như đã chứng minh trong [14], một hệ không suy biến G(x, y, p) = 0 là dạng Clairaut nếu và chỉ nếu tồn tại một hệ nghiệm đầy đủ gồm các nghiệm trơn cổ điển Đặc biệt, mọi phép chiếu quỹ đạo lên một đường cong không suy biến đều thể hiện sự gấp của quỹ đạo Điều ngược lại là không đúng trong trường hợp tổng quát.
Ví dụ 2.4.2 cho thấy hệ G(x, y, p) = y − 2 p^3 = 0 không phải là một dạng Clairaut theo Định nghĩa 2.4.1, dù nó thỏa điều kiện Σ c = Σ π Hệ còn có họ nghiệm đầy đủ Γ(t,c) = (x,y,p) = (3 t^2 + c, 2 t^3, t), với t là tham số, và mỗi điểm lùi (envelope) của đường cong nghiệm là tiếp xúc tới biệt thức π(Σπ) = {y = 0} trên mặt phẳng (x,y); do đó, trong thực tế, hệ được xem như một dạng Clairaut Bởi p^2 = 0 trên mặt hệ y = 2 p^3 = x, với (x, p) ∈ ℝ^2, và quỹ tích suy biến có các thành phần bội, Định nghĩa 2.4.3 nêu rằng một hệ Clairaut được gọi là tối giản nếu định thức Jacobian của ánh xạ gấp không có các thành phần bội.
Do đó, bất kỳ hệ tối giản dạng Clairaut nào cũng có thể được xấp xỉ bởi một hệ Clairaut có tính chất mỗi phép chiếu quỹ đạo tới một đường cong không suy biến đều qua sự gấp Định lý 2.4.4 cho một hệ tối giản tổng quát dạng Clairaut trên mặt phẳng có các đạo hàm bị chặn địa phương; khi đó, ta nhận được các dạng chuẩn tắc trong Bảng 2.3 gần gốc, áp dụng lên quỹ đạo trơn tương đương.
Phân loại tính kì dị Các dạng chuẩn tắc Sự hạn chế Điểm không kì dị x˙ = 1,y˙ = 0
Gấp Clairaut x˙ = 1,( ˙y) 2 = y Điểm lùi Clairaut x˙ = 1, y = ˙yϕ(x,y)˙ ϕ(0,0) = ϕ y ˙ (0,0) = 0 ϕy ˙ y ˙(0,0)ϕx(0,0)6= 0 Ô Whitney Clairaut x˙ = 1,( ˙y) 2 = x 2 y
Có thể phân loại các hệ dạng Clairaut bởi việc xét các mặt tham số trong P T ∗ R 2
Một phôi phương trình vi phân cấp 1 được xác định bằng phôi ánh xạ f: R^2,0 → J^1(R,R) ⊂ PT^* R^2 Khi đó phôi này được coi là hoàn toàn khả tích nếu tồn tại một hàm φ: R^2,0 → R sao cho dφ ∧ f^* θ = 0, trong đó θ = dy − p dx là ký hiệu của một 1-dạng tiếp xúc chính tắc trên J^1(R,R).
Gọi à là tớch phõn đầu khụng phụ thuộc f và cặp (à, f) : R 2 ,0 →
J^1(R,R) ⊂ R × PT^*R^2 được gọi là một hệ holonomic có tích phân đầu bất độc lập Điều này cho thấy f|_{a}^{-1}(t) là một nhúng Legendrian có ảnh nằm trong ảnh của f Nếu π ∘ f|_{a}^{-1}(t) là một phép nhúng không suy biến với mọi t thuộc (ℝ, a(0)) thì các nhúng f|_{a}^{-1}(t) duy trì tính holonomic và các tích phân đầu vẫn độc lập.
R là một họ sơ đồ các nghiệm không suy biến của ảnh f bởi các argument trước Một hệ như vậy được gọi là một phương trình dạng Clairaut Khi đó có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.4.5 Cho (à, g) là một cặp của phụi ỏnh xạ g : R 2 ,0 →
R 2 ,0 và phụi nhỳng chỡm à: R 2 ,0 →(R,0) Khi đú sơ đồ
(R,0) ←− à R 2 ,0 −→ g R 2 ,0 được gọi là sơ đồ tích phân nếu tồn tại một phương trình f : R 2 ,0 →
P T ∗ R 2 sao cho (à, f) là một phụi phương trỡnh cú tớch phõn đầu khụng phụ thuộc và π ◦f = g Khi đú, sơ đồ tớch phõn (à, g) được tối giản bởi f.
Nếu f là một phương trỡnh dạng Clairaut, thỡ (à, π ◦f) được gọi là dạng Clairaut Khi đó, đưa vào một quan hệ tương đương sơ đồ tích phân như sau:
Cho (à, g) và (à 0 , g 0 ) là cỏc sơ đồ tớch phõn, (à, g) và (à 0 , g 0 ) là tương đương nếu sơ đồ
? giao hoỏn, với κ, ψ và φ là cỏc vi phụi Nếu vi phụi κ = id R thỡ (à, g) và (à 0 , g 0 ) là tương đương ngặt. Định lý 2.4.4 trình bày sự phân loại chung của các phương trình dạng Clairaut theo khái niệm của các sơ đồ tích phân. Định lý 2.4.6 Cho phương trình dạng Clairaut tổng quát
(à, f) : (R 2 ,0) →RìJ 1 (R,R) sơ đồ tớch phõn (à, π◦f) là tương đương ngặt với sơ đồ tớch phõn của cỏc mầm trong các trường hợp dưới đây:
(3) à α = v +α◦g với α ∈ M (x,y) , g = (u, v 3 +uv); Điểm lựi Clairaut.
Chứng minh: Giả sử (à, f) là một phương trình ở dạng Clairaut và tương ứng với nó là dạng Legendre Do các lập luận đã trình bày ở phần trước, ta có một mầm hàm F: R^2 → R sao cho ảnh của j^1F trùng với ảnh của (à,f) Vì vậy, ta xét các đặc trưng chung của F(t,x) Theo định nghĩa, j^1F là một mầm nhúng chìm nếu và chỉ nếu tại mọi điểm của miền xác định, rank của Jacobian của F không bị giảm và các đạo hàm riêng phần của F tạo thành một hệ độc lập tuyến tính Từ đó rút ra các điều kiện cần và đủ cho tính nhúng của j^1F và làm sáng tỏ mối liên hệ giữa hai dạng Clairaut và Legendre.
Với điều kiện này, ta có đặc trưng của các điểm gấp và điểm lùi củaπ◦j 1 1 F như sau (xem [10],[12]): i, π ◦j 1 1 F là mầm gấp nếu và chỉ nếu ∂F ∂t (0) = 0 và ∂ ∂t 2 F 2 (0)6= 0.
Khi j 1 1 F không là một mầm nhúng chìm, ta có đặc tính của mũ chéo: ii, π ◦ j 1 1 F là mầm điểm lùi nếu và chỉ nếu ∂F ∂t (0) = ∂ ∂t 2 F 2 (0) = 0 và
∂t∂x (0) ∂ ∂t 3 F 3 (0)6= 0. iii, j 1 1 F là một mầm mũ chéo nếu và chỉ nếu ∂F ∂t (0) = ∂t∂x ∂ 2 F (0) = 0 và
Ở điểm thứ nhất, ta trình bày các dạng chuẩn tắc dựa trên ba giả thiết (i), (ii) và (iii) Giữ lại giả thiết (iii), trong trường hợp này mầm hàm sẽ có dạng đặc trưng được trình bày ở phần tiếp theo.
F (t, x) = at 2 +bx 2 +ctx 2 +h(t, x) trong đó a 6= 0, c 6= 0 và h(0,0) = 0 Khi đó F (t,0) = at 2 + h(t,0) là
Trong bài toán này, C được xem là tương đương với t^2 và F(t, x) là P–C tương đương với một biến dạng của t^2 Dựa vào các luận cứ trước đó, biến đổi riêng lẻ của t^2 do C thực hiện cho ra t^2 + v1 t + v2 Vì vậy, F(t, x) được chứng minh là P–C tương đương với mầm hàm ở dạng t^2 + v1 t + v2.
Xét G(t,x) = t^2 + t φ1(x) + φ2(x) Với một mầm chéo j1 G và φ1(x) = α x^2 + các hạng cao hơn, α ≠ 0, nhờ phép vi đồng phôi địa phương theo biến x, ta có φ1(x) được chuẩn hóa thành x^2 Điều này cho thấy F(t,x) là một mầm hàm tương đương với dạng t^2 + t x^2 + φ(x); ta có thể đặt F(t,x) = t^2 + t x^2 + φ(x) Trong trường hợp này, j1 F(t,x) gồm các thành phần là t, x, t^2 + t x^2 + φ(x), 2t, x^2 và 2 t x + φ'(x) Sơ đồ tích phân tương ứng được cho bởi g(u1,u2) = (u2, u2^2 + u1 u2 + φ(u2)); trên mặt phẳng (x,y) tồn tại một mầm vi đồng phôi Ψ: ℝ^2,0 → ℝ^2,0 được xác định bởi Ψ(x,y) = (x, 1/4 y + 1/4 x^4 − φ(x)) Khi đó, Ψ ∘ g(u1,u2) cho ra một dạng chuẩn hóa, cho thấy sự tương đương địa phương giữa các thành phần và có thể được sử dụng để phân tích mầm và cấu trúc tích phân của hệ.