Một số khái niệm
Một hệ ẩn của các phương trình vi phân cấp 1 trên một đa tạp trơn n chiều được xác định bởi cấp 0, được gọi là mặt hệ, thông qua một ánh xạ trơn F từ chùm tiếp xúc của đa tạp đó đến không gian Đề-các n chiều.
Trong tọa độ địa phương x = (x1, , xn) gần một điểm trên đa tạp, một hệ có thể được diễn đạt dưới dạng chuẩn F(x,x) = 0 Định nghĩa 1.1.2 cho biết rằng một hệ ẩn có các đạo hàm bị chặn địa phương nếu sự hạn chế của phép chiếu chùm đến mặt hệ tạo thành một ánh xạ riêng, và sự hạn chế này được gọi là sự gấp hệ.
Trong luận văn này, chúng tôi chỉ xem xét các hệ thống có đạo hàm bị chặn địa phương Đồng thời, chúng tôi đồng nhất không gian của các hệ thống này với không gian của các ánh xạ F tương ứng.
Hệ đủ tổng quát là hệ được cấu thành từ các tập con mở trù mật trong không gian của những hệ có đạo hàm bị chặn địa phương theo Topo mịn Whitney Đối với một hệ ẩn, ánh xạ khả vi x : t7→ x(t) từ một khoảng của đường thẳng thực đến đa tạp cơ sở tạo ra đường cong nghiệm, là ảnh của ánh xạ (x(t), x˙(t)) đến chùm tiếp xúc thuộc bề mặt hệ Đường cong pha là kết quả của ánh xạ x(t) khả vi, trong khi quỹ đạo là ảnh của lực nâng ánh xạ đó Hệ 1-gấp là sự thu hẹp của phép xạ ảnh chùm tiếp xúc tới mặt hệ Một hệ ẩn được gọi là dạng Clairaut khi mặt hệ là trơn, và đối với mỗi điểm tới hạn của sự gấp hệ, vận tốc tương ứng là khác 0 và nằm trong ảnh của không gian tiếp xúc đến mặt hệ bởi đạo hàm của sự gấp, tương tự như các phương trình Clairaut cổ điển.
Bằng cách giảm bớt điều kiện, bất kỳ hệ ẩn dạng Clairaut nào cũng có thể được chuyển đổi thành hệ dạng Clairaut thông qua phép chiếu các quỹ đạo trơn vào các đường cong nghiệm không kì dị Định nghĩa 1.1.6 chỉ ra rằng với ánh xạ F tổng quát, khi x˙ khác 0 và F(x,x) = 0, hệ có thể được chiếu đến phương trình vi phân ẩn cấp 1.
Với {F = 0} → P TR 2 = 3 thì xuất hiện ô Whitney.
Các dạng chuẩn tắc của phương trình vi phân ẩn trên ô Whitney:
2 Dạng phương trình: dx dy 2 = x(x−y) 2
Các điểm kì dị đơn giản
Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa
Các nghiệm của phương trình (1.4) là thực và khác nhau, dẫn đến ba trường hợp có thể xảy ra Trường hợp đầu tiên là khi k1 và k2 đều nhỏ hơn 0, lúc này điểm kỳ dị sẽ ổn định tiệm cận, tức là điểm nút ổn định (Hình 1.1a).
Hình 1.1: ii k1 > 0;k2 > 0 Điểm cân bằng sẽ không ổn định (điểm nút không ổn định, Hình 1.1b). iii k1 > 0;k2 < 0 Điểm cân bằng không ổn định (điểm yên ngựa, Hình1.2a).
Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm
Các nghiệm của phương trình (1.4) là số phức, cụ thể là k1 = p + qi và k2 = p - qi Có ba trường hợp chính cần xem xét: Thứ nhất, khi p < 0 và q ≠ 0, điểm cân bằng ổn định tiệm cận được hình thành, được gọi là tiêu điểm ổn định (Hình 1.2b) Thứ hai, khi p > 0 và q ≠ 0, điểm cân bằng trở nên không ổn định, được gọi là tiêu điểm không ổn định (Hình 1.3a).
Hình 1.3: iii p = 0;q 6= 0 Điểm cân bằng là ổn định, nhưng không ổn định tiệm cận (tâm điểm, Hình 1.3b).
Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định
Phương trình (1.4) có nghiệm kép với hai trường hợp chính Thứ nhất, khi k1 = k2 < 0, điểm cân bằng ổn định xuất hiện trên tiệm cận, biểu thị bằng điểm nút (suy biến) ổn định như trong Hình 1.4a-b Thứ hai, khi k1 = k2 > 0, điểm cân bằng trở nên không ổn định, thể hiện qua điểm nút (suy biến) không ổn định trong Hình 1.4c.
Nếu cả hai nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) đều có phần thực âm, điểm cân bằng sẽ ổn định tiệm cận Ngược lại, nếu ít nhất một nghiệm có phần thực dương, điểm cân bằng sẽ không ổn định.
2 Những kết luận tương tự cũng đúng với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng dxi dt n
3 Để ngắn gọn đôi khi viết x˙ (y,˙ z, ) thay cho˙ dx dt (dy dt,dz dt, ).
Phôi và điểm kì dị
Hai đối tượng có tính chất tương đồng, như các tập hợp, trường véctơ, họ đường cong, hay phép ánh xạ, được xem là tương đương tại một điểm nếu chúng trùng nhau trong một lân cận xung quanh điểm đó.
Lớp tương đương của một đối tượng tại một điểm được gọi là phôi của nó tại điểm đó.
Ví dụ 1.3.2 Các hàm số một biến g1(x) = x và g2(x) = x+ |x|
Tại mỗi điểm của nửa trục x dương, tồn tại một phôi chung, trong khi các phôi khác được phân bố tại các điểm khác nhau Định nghĩa 1.3.3 chỉ ra rằng hai phôi có tính chất tương tự được gọi là phép.
Phép C k −vi đồng phôi tồn tại khi có một phôi dịch chuyển từ phôi thứ nhất sang phôi thứ hai Các phôi trong phép C k −vi đồng phôi được gọi là điểm C k −kì dị, hay đơn giản là kì dị.
Một phép C k-vi đồng phôi là ánh xạ 1-1, trong đó nghịch đảo của nó cũng khả vi k lần Trong khi đó, phép C 0-vi đồng phôi được gọi là phép đồng phôi.
Ví dụ 1.3.5 Tập hợp y = x 2 −1 trong mặt phẳng có điểm kì dị như nhau tại các điểm (−1,0)và(1,0)trùng với điểm kì dị của tập hợp y = |x| tại O (Hình 1.5).
Hai sự biến dạng phôi của phương trình ẩn được gọi là tương đương trơn nếu chúng tạo thành một trong các phép vi đồng phôi trơn khác Sự biến dạng phôi của phương trình vi phân ẩn được xem là quy nạp từ phôi khác khi phôi đầu tiên nhận được ánh xạ trơn từ phôi cơ sở trong phôi cơ sở thứ hai.
Các dạng chuẩn tắc
Các ánh xạ đối hợp tốt
Một trường hướng trên một mặt được gọi là trơn nếu tại mỗi điểm trong lân cận của mặt, nó là trường hướng của một phương trình vi phân trơn dạng a(u,w)du+b(u,w)dw = 0, trong đó u và w là các tọa độ địa phương.
Các điểm mà ở đó các hệ số a và b đồng thời triệt tiêu được gọi là các điểm kì dị của trường hướng.
Trường hướng được gọi là không suy biến khi có thể chọn các hàm số a và b sao cho mọi giá trị riêng của sự tuyến tính hóa trường véctơ (−b, a) tại điểm đó đều khác 0, và tỉ số của các giá trị riêng không bằng ±1 Các hướng của các véctơ riêng tương ứng được gọi là các hướng riêng của trường hướng.
Cho v là một trường hướng có một điểm kỳ dị không suy biến tại O Một ánh xạ đối hợp có một đường của các điểm cố định đi qua O được gọi là tương thích với trường v nếu và chỉ nếu trên đường thẳng này, các hướng của trường và ảnh của nó dưới ánh xạ đối hợp trùng nhau Định nghĩa 1.4.1: Một ánh xạ đối hợp tương ứng với trường v được gọi là v−tốt nếu các hướng riêng của trường v và đạo hàm của ánh xạ đối hợp tại O là riêng biệt từng đôi.
Ví dụ 1.4.2 Giả sử coi x vàp như các tọa độ trên mặt của phương trình
2y = p 2 + χx 2 , 0 6= χ 6= 1/4 O là một điểm kì dị không suy biến của trường hướng v của phương trình Ánh xạ đối hợp (x, p) 7→ (x,−p) của mặt này là v−tốt.
Hai đối tượng được gọi là tương đương dọc trường v hoặc v−tương đương nếu chúng có thể biến đổi thành nhau thông qua một phép C ∞ −vi đồng phôi của mặt phẳng, với điều kiện mỗi đường cong tích phân của trường là ánh xạ vào chính nó.
Bổ đề 1.4.3 Trường véctơ h là trường của sự biến dạng vi phân của phép đối hợp σ nếu và chỉ nếu σ ∗ h = −h.
Bổ đề 1.4.4 nêu rõ rằng nếu g là biến dạng của phép biến đổi đồng nhất với vận tốc h, thì phép đối hợp biến dạng sẽ có vận tốc h−σ ∗ h Điều này áp dụng khi phép vi đồng phôi g đối hợp σ dẫn đến phép đối hợp ghg − 1.
Bổ đề 1.4.5 Các phôi của hai phép đối hợp v−tốt tại O với một và chỉ một đường của các điểm cố định là các v−tương đương.
Chứng minh Cho σ1 và σ2 là các đối hợp v−tốt có một đường của các điểm cố định Lấy hàm số trơn ϕ, ϕ(0) = 0, có đạo hàm khác không tại
Trong nghiên cứu về các đối hợp σ1 và σ2 tại điểm O, các tọa độ được xác định bởi x = ϕ + σ1 * ϕ và y = ϕ - σ1 * ϕ Các phép đối hợp này có dạng σ1 : (x, y) 7→ (x, −y) và σ2 : (x, y) 7→ (x + y/2 * r(x, y), −y + y/2 * s(x, y)), với r và s là các hàm số trơn Cả hai phép đối hợp có một đường duy nhất của các điểm cố định và đạo hàm của chúng tương đồng trên đường này khi x và y nhỏ Điều này cho thấy cả σ1 và σ2 đều là v− tốt Từ đó, tồn tại tọa độ ξ = x + y/2 * R(x, y) và η = y + y/2 * S(x, y), với R và S là các hàm số trơn, dẫn đến phép đối hợp σ2 có dạng σ2 : (ξ, η) 7→ (ξ, −η).
Xét sự biến dạng trơn γt : (ξt, ηt) 7→(ξt,−ηt) địa phương trong lân cận
O của đối hợp σ1 trong σ2 với ξt = x+ty 2 R(x, y), ηt = y+ty 2 S(x, y) Ta có γ0 = σ1, γ1 = σ2 Ký hiệu Vt là vận tốc của sự biến dạng này.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét trường véctơ trơn ˜v, với ˜v là trường hướng có điểm kì dị không suy biến tại O Bổ đề 1.4.5 được chứng minh trong trường hợp địa phương gần đoạn [0,1] trên trục t, trong đó vận tốc của sự biến dạng được biểu diễn dưới dạng cụ thể.
Vt = ftv˜−(γ t ∗ ft)γ t ∗v,˜ (1.6) với ft là hàm số trơn phụ thuộc t của các biến x, y Chỉ ra rằng, sự biểu diễn như vậy quả thực xảy ra.
Sự giải được của phương trình đồng điều (1.6) liên quan đến ft được xây dựng trên trường ˜v, với ảnh của trường dưới phép đối hợp γt không cộng tuyến ở ngoài đường của các điểm cố định.
Vận tốc của sự biến dạng V (chỉ số t bỏ đi), ta thấy có O trên đường cong y = 0(η = 0) Do Bổ đề 1.4.3, ta có γ ∗ V = −V nên
∂η, (1.7) với p và q là các hàm số trơn.
Trên đường của các điểm cố định với phép đối hợp γ ta có γ ∗ v˜ = −v.˜
Giả sử f là tổng của các hàm chẵn và không lẻ theo η, với điều kiện f(ξ, η²) = u(ξ, η²) + ηω(ξ, η²), trong đó u và ω là các hàm số trơn Đây là giả thiết cho phép thế đối với f và các biểu thức (1.7) và (1.8) trong phương trình (1.6), dẫn đến hệ phương trình mới cho u và ω.
Chia cả hai vế của phương trình thứ nhất trong hệ trên choη, nhận được hệ tuyến tính đối vớiu, ω Định thức của hệ này có dạngη 2 (4l(0,0)mη(0,0)+
Hàm số H(ξ, η 2) là một hàm số trơn, với điều kiện m(0,0) = 0 và l(0,0)mη(0,0) ≠ 0, cho thấy điểm kì dị này không suy biến Tiếp theo, khi xem xét vế phải của hệ phương trình sau khi chia cho η 2, có thể xác định rằng trong lân cận của đoạn [0,1] trên trục t tồn tại nghiệm trơn u, ω cho hệ này Bổ đề 1.4.5 đã được chứng minh.
Bổ đề 1.4.6 khẳng định rằng hai phôi tại điểm O của hai đường cong trơn nhúng tiếp xúc nhau tại O là v-tương đương, nếu như một đường cong trơn của trường v theo hướng riêng không tiếp xúc với các đường cong này tại O.
Chứng minh rằng, với trường véctơ v có các hướng v và điểm kì dị suy biến tại O, ánh xạ g t của luồng pha của trường này tại thời gian t được xác định rõ ràng.
Quá trình σ với trung tâm tại O có hai đường cong trơn, đi qua một điểm trên trục hoành, tạo thành cặp phép chiếu trực tiếp Tại điểm này, trường véctơ kéo dài và tiếp tuyến được dính trực tiếp Thời gian chuyển động từ một đường cong sang đường cong khác là hàm số trơn τ của đường cong đầu tiên Để tìm v−tương đương, cần sử dụng ánh xạ g T (.) (.), với T là kéo dài trơn của hàm số τ trong mặt phẳng Bổ đề 1.4.6 đã được chứng minh.
Bổ đề 1.4.7 nêu rõ rằng hai hướng tại điểm O của các v−tương đương khác nhau có thể được nối với nhau trong không gian của các hướng tại O, nếu và chỉ nếu sự nối này được thực hiện thông qua một đường cong liên tục, không đi qua các hướng riêng của trường v tại O.
Phép vi đồng phôi chuyển dịch trong không gian của các hướng trong C cho phép phân chia hướng riêng của trường v tại điểm O Mỗi đường cong tích phân của trường v được chuyển dịch qua các hình quạt mở, tạo ra sự liên kết giữa các hình quạt này trong không gian phép chiếu một chiều.
Các điểm kì dị chuẩn tắc
Số mũ của điểm kỳ dị không suy biến của trường hướng được xác định bằng tỷ số giữa giá trị riêng và các môđun cực đại của sự tuyến tính trường vectơ tương ứng, cùng với giá trị riêng và các môđun cực tiểu đối với yên ngựa hoặc điểm nút Tỷ số này liên quan đến phần ảo và phần thực của giá trị riêng tại một tiêu điểm; các số mũ này được bảo tồn dưới các phép vi đồng phôi.
Một điểm kì dị không suy biến của trường hướng được gọi là C k −chuẩn tắc nếu tại điểm này, các đường cong tích phân của trường là phép C k −phép vi đồng phôi đến phôi tại O của họ các quỹ đạo pha của các trường vectơ tuyến tính v2, v2 hoặc v3, tương ứng với yên ngựa, điểm nút hoặc tiêu điểm Trong đó, v2(x, y) = 1 0.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét số mũ α của các điểm kỳ dị và cách các ký hiệu v2 và v3 được sử dụng để biểu thị các trường hướng được xác định bởi các phương trình vi phân liên quan đến các trường vectơ này.
Phép đối hợp θ1 : (x, y) 7→ (((α + 1)x−2αy)/(α−1),(2x−(α+ 1)y)/(α −1)) là v 2 −tốt và phép đối hợp θ 2 : (x, y) 7→ (x−2αy/α,−y) là v 3 −tốt.
Điểm O là một điểm kì dị C ∞ −chuẩn tắc của trường v với số mũ α Theo định lý 1.4.11, các phôi tại O của trường hướng v có các đường cong tích phân và ánh xạ đối hợp v−tốt, được rút gọn bởi một phép C ∞ −vi đồng phôi từ mặt phẳng tới các phôi tại O của trường các hướng v2 (v3) với các đường cong tích phân và ánh xạ đối hợp θ1 (θ2), tương ứng với yên ngựa và điểm nút (tiêu điểm).
Nhận xét 1.4.12 Các điều kiện của C ∞ −chuẩn tắc yêu cầu trong Định lý 1.4.11 hầu như luôn được thỏa mãn Nghĩa là:
1 Theo Định lý Siegel, một yên ngựa là C ∞ −chuẩn tắc nếu (1, α) là một điểm của dạng (M, v) (nghĩa là min{|1−m1 −m2α|},|1−m1 −m2α| ≥M/|m| v đối với tất cả các vectơ tích phân m = (m1, m2) với các số mũ không âm, m1 + m2 ≥ 2) Độ đo của tập hợp các điểm mà không là các điểm dạng (M, v) với M > 0 bất kì là bằng 0 nếu v > 1.
2 Một điểm nút là C ∞ −chuẩn tắc nếu số mũ của nó không là số tự nhiên Đối với một trường vectơ trơn trong mặt phẳng thuộc về tập trong không gian của các trường như vậy (trong tôpô mịn Whitney), tập này là mở trong tôpô C 1 và trù mật hầu khắp nơi trong tôpô C ∞ , điều kiện này được thực hiện tại mỗi điểm nút của trường.
3 Các tiêu điểm không suy biến luôn là C ∞ −chuẩn tắc Sử dụng các phép đồng phôi (hoặc các phépC 0 −vi đồng phôi) cũng có thể "khử bỏ" số mũ α của điểm kì dị không yêu cầu C ∞ − chuẩn tắc của điểm Giả sử
Điểm O là một điểm kì dị không suy biến trong trường vector v Theo định lý 1.4.13, các phôi tại O của trường hướng v có thể được rút gọn thành các phôi tại O của trường hướng v2 thông qua phép đồng phôi của mặt phẳng, đồng thời chúng cũng là các đường cong tích phân hoặc ánh xạ đối hợp v−tốt.
(v2 hoặc v3) của họ các đường cong tích phân hoặc của phép đối hợp θ1
(θ 1 hoặc θ2) với α = −2 (α = 2, α = 1) đối với yên ngựa (tương ứng điểm nút và tiêu điểm).
Các điểm kì dị gấp và lùi
Các ánh xạ gấp của phương trình F(x, y, p) = 0 xác định phép đối hợp gấp trong lân cận của điểm tới hạn, được gọi là gấp Whitney Trên mặt của phương trình, phép đối hợp hoán đổi vị trí các điểm mà ảnh của nó dưới ánh xạ gấp trùng nhau Một điểm kì dị không chính quy của phương trình F(x, y, p) = 0, tại đó sự gấp có một điểm tới hạn, được gọi là yên ngựa gấp, nút gấp hoặc tiêu điểm gấp nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện.
1 Trường hướng v của phương trình có điểm yên ngựa không suy biến, điểm nút không suy biến, tiêu điểm không suy biến tương ứng tại điểm này.
2 Phép đối hợp gấp của phương trình xác định trong lân cận của điểm kì dị đó là v−tốt.
Các điểm kì dị của ba dạng trên được gọi là các điểm kì dị gấp. Ở Ví dụ 1.4.2 có
4χ = 0 do đó có yên ngựa gấp với χ < 0 , nút gấp với 0< χ < 1/4 và tiêu điểm gấp với tại O tương ứng 1/4< χ.
Phôi của phép đối hợp gấp tại một điểm kì dị gấp của phương trình
F(x, y, p) = 0 là điều kiện cần thiết cho trường hướng của phương trình Ngược lại, nếu trường hướng có một điểm kì dị không suy biến tại O và phép đối hợp v−tốt, thì phôi tại O của v và v−tốt sẽ là phép.
C ∞ −vi đồng phôi tới phôi tại điểm kì dị gấp của trường hướng và phép đối hợp gấp của phương trình F (x, y, p) = 0.
Điểm kì dị không chính quy của phương trình F(x, y, p) = 0 được gọi là điểm kì dị lùi, hay tính kì dị điểm lùi của phương trình Phôi của mặt phương trình là một yếu tố quan trọng trong việc nghiên cứu các đặc điểm của điểm kì dị này.
Hàm F (x, y, p) = 0 tại điểm kì dị lùi trùng với phôi tại O của mặt x = pf (x, p), với f là hàm trơn và f (0,0) = fp(0,0) = 0 < fpp(0,0) Trong hệ tọa độ thích hợp của mặt phẳng (x, y), điểm kì dị lùi được phân loại là elliptic nếu fy(0,0) < 0 và hyperbolic nếu fy(0,0) > 0 Cả hai loại điểm kì dị lùi này đều không phụ thuộc vào việc chọn hệ tọa độ.
Các tính kì dị gấp chuẩn tắc
Điểm kì dị gấp của phương trình F(x, y, p) = 0 được gọi là C ∞ −chuẩn tắc khi nó là điểm kì dị C ∞ −chuẩn tắc của trường hướng của phương trình Theo Định lý 1.4.15, ảnh phôi của họ các đường cong tích phân tại điểm kì dị gấp C ∞ −chuẩn tắc là yên ngựa, điểm nút hoặc tiêu điểm, nếu ánh xạ gấp của phương trình là phép C ∞ −vi đồng phôi tới phôi tại O của họ các đường cong.
±α√y = Rsin(αlnR+c) x±√yRcos(αlnR+c) ,0≤ c ≤ 2π, (1.13) trong đó R q x±√y 2 +α 2 y, ở đây α là số mũ của điểm kì dị (tỉ số của các đường cong trong nghịch ảnh và ảnh có thể đồng nhất)
Phôi của phương trình F = 0 được gọi là phép C k−vi đồng phôi tới phôi của phương trình F1 = 0 nếu tồn tại phép C k−vi đồng phôi trong lân cận phép chiếu quỹ đạo các điểm này trên mặt phẳng (x, y), biến đổi các phôi của các quỹ đạo pha thành các phôi khác (0 ≤ k; với k = 0, các phôi này được coi là tương đương tôpô) Dạng chuẩn tắc trơn p^2 = x của phôi trong trường hợp giải tích của phương trình F(x, y, p) = 0 tại điểm kì dị chính quy đã được Cibrario tìm thấy và được trình bày lại bởi Bruce I W và Dara L., trong đó Bruce I W sử dụng dạng p^2 = xE(x, y), với E là một hàm trơn do Thom cung cấp Định lý 1.4.16 đề cập đến phôi của phương trình F(x, y, p) = 0 tại điểm kì dị gấp.
C ∞ −chuẩn tắc là phép đồng phôi C ∞ tới phôi tại O của phương trình (p+kx)² = y, với k được xác định bởi k = α(α + 1) − 2 / 2 và k = 1 + α² / 8 Trong đó, α là số mũ của điểm kỳ dị liên quan đến yên ngựa, tương ứng với điểm nút (tiêu điểm).
Trong hai mục trước, các điều kiện của Định lý 1.4.15 và Định lý 1.4.16 luôn được đáp ứng Cụ thể, tất cả các nút gấp và tiêu điểm gấp của phương trình điển hình F(x, y, p) = 0 đều là C ∞ -chuẩn tắc.
2 Sự thay đổi các biến số x˜= x, y˜= 2 y +kx 2 /2 quy về dạng chuẩn tắc (p+kx) 2 = y đến dạng chuẩn tắc Dara y = p 2 +χx 2 /2 với χ = 2k, trong đó k < 0, 0 < k < 1/8 và1/8< k tương ứng đối với yên ngựa, điểm nút, tiêu điểm.
3 Phương trình vi phân của họ các đường cong trong Định lý 1.4.15 được quy về dạng chuẩn tắc được chỉ ra trong Định lý 1.4.16 bởi sự kéo căng x˜ = ax,y˜= ay với a = 4(α+ 1) 2 α − 2 (tương ứng, a = 16 1 +α 2 − 2 ). Định lý 1.4.18 Các phôi của phương trình F (x, y, p) = 0 tại điểm kì dị gấp của phương trình là tương đương tôpô tới phôi tại 0 của phương trình (p−x) 2 = y đối với yên ngựa, (p+x/9) 2 = y đối với điểm nút hoặc(p+x/4) 2 = y đối với tiêu điểm.
Phân loại tính kì dị
Chương này tập trung vào việc phân tích các tính chất kỳ dị điểm của hệ ẩn cấp 1 trên các đa tạp 2 chiều, với mục tiêu chuyển đổi chúng về một quỹ đạo trơn Nghiên cứu bao gồm cả trường hợp tổng quát và trường hợp Clairaut tổng quát, từ đó cho phép thực hiện sự phân loại địa phương và đưa ra hệ thống trên mặt phẳng R².
2.1 Các phương trình dạng Clairaut và lý thuyết kì dị Legendre
Legendrian không gấp
Xét chùm 1 −tia J 1 (R×R,R) và 1 −dạng chính tắc Θ trên không gian, với tọa độ chính tắc (t, x) trên R ×R và tọa độ tương ứng (t, x, y, q, p) trên J 1 (R×R,R) 1 −dạng chính tắc được xác định bởi Θ = dy −pdx−qdt = θ−qdt Phép chiếu tự nhiên Π : J 1 (R×R,R) → R×R×R được định nghĩa bởi Π (t, x, y, q, p) = (t, x, y) Chùm 1 −tia này được gọi là chùm 1 −tia khụng gấp Đối với phương trình (à, f) có tích phân đầy đủ, tồn tại duy nhất một phôi hàm h : R 2 ,0 → R sao cho f ∗ θ = hdà Cuối cùng, xác định một phụi ỏnh xạ.
Khi đú, nếu (à, f) là một phương trỡnh dạng Clairaut, thỡ ℓ (à,f ) là một phụi nhỳng chỡm Legendrian Gọi ℓ (à,f ) là Legendrian khụng gấp đầy đủ liờn kết với (à, f).
Mệnh đề 2.1.1 cho rằng hàm số (à, f) từ R²,0 tới RìJ 1 (R,R) ⊂ P T ∗ R² là một phương trình với tích phân đầy đủ Trong trường hợp này, ℓ(à,f) được coi là một phương trình dạng Clairaut nếu và chỉ nếu ℓ(à,f) là một phụ thuộc những chỗ Legendrian không kỳ dị.
Legendrian khụng gấp đầy đủ ℓ (à,f ) liờn kết với (à, f) được gọi là Leg- endrian khụng gấp dạng Clairaut nếuℓ (à,f ) là phương trỡnh dạng Clairaut.
Tính tổng quát
Quay trở lại nghiên cứu các phương trình có tích phân đầy đủ, chúng ta xây dựng khái niệm về tích phân tổng quát Theo định nghĩa 2.1.2, cho U ⊂ R² là một tập mở, Int U, R×J¹(R, R) được định nghĩa là tập hợp các hệ có tích phân đầy đủ (à, f) : U → R trong J¹(R, R).
L U, J 1 (RìR,R) là tập Legendrian khụng gấp đầy đủ ℓ (à,f ) : U →
Các không gian Tôpô này được trang bị Tôpô Whitney C ∞ Một tập con trong mỗi không gian được xem là tổng quát nếu nó là tập con mở trù mật.
Tính chất tổng quát của các phôi được định nghĩa như sau:
Giả sử P là một tính chất của các phôi phương trình với tích phân đầy đủ (à, f) : R 2 ,0 → R ì J 1 (R,R) (tương ứng, Legendrian khụng gấp ℓ (à,f ) : R 2 ,0 → J 1 (RìR,R)) Với mỗi tập mở U ⊂ R 2 , kớ hiệu
P (U) là một tập của (à, f) ∈ Int U,RìJ 1 (R,R) (tương ứng, ℓ(à,f ) ∈
L U, J 1 (RìR,R) là một không gian sao cho tại x, biểu diễn được cho bởi (à, f) và ℓ (à,f) có tính chất P với x ∈ U bất kỳ Tính chất P được định nghĩa là tổng quát nếu với mỗi lân cận U của 0 trong R 2, tập P (U) là tập con trong Int U,R×J 1 (R,R) Ánh xạ liên tục là một yếu tố quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất này.
(Π1) :L U, J 1 (R×R,R) → Int U,R×J 1 (R,R) được xác định bởi bởi
= Π1 ◦ℓ(à,f ) = (à, f) trong đó Π1 : J 1 (R×R,R) → J 1 (R,R) là phép chiếu chính tắc Định nghĩa trên đã chứng tỏ định lý cơ bản sau: Định lý 2.1.4 Ánh xạ liên tục
(Π1) ∗ :L U, J 1 (R×R,R) → Int U,R×J 1 (R,R) là một phép đồng phôi.
Trong các hệ tham số đối với nhóm các phép biến đổi điểm, hai phương trình f và f' được coi là tương đương nếu tồn tại một phép vi đồng phôi φ, cho phép chuyển đổi giữa các không gian tiếp tuyến tại các điểm f(0) và f'(0) Cụ thể, điều này có nghĩa là có một phép biến đổi chính tắc φˆ, sao cho φˆ◦f = f'◦ψ, với ψ là phép vi đồng phôi từ R²,0 đến R²,0.
Mệnh đề 2.1.6 nêu rằng giả sử f và f ′ là các phương trình tích phân đầy đủ với điều kiện tách phân đầu không phụ thuộc Nếu π ◦f và π ◦f ′ có các tập kì dị không đâu trù mật, thì f và f ′ sẽ tương đương đối với nhóm các phép biến đổi nếu và chỉ nếu các sơ đồ tích phân cảm sinh (à, π ◦f) và (à ′ , π ◦f ′ ) cũng tương đương.
Chứng minh rằng hai giả thiết (à, π ◦f) và (à′, π ◦f′) là tương đương thông qua các phép vi đồng phôi (k, ψ, φ) Ánh xạ các đường cong tích phân φ từ π f à − 1 (à(u, v)) qua π(f(u, v)) đến π f ′ à ′− 1 (k(à(u, v))) = π f ′ à ′− 1 (à ′ (ψ(u, v))) và π(f ′ (ψ(u, v))) cho thấy các đường thẳng kết nối chúng Từ đó, tập hợp các điểm kỳ dị tiếp xúc nằm trong tập hợp các điểm tới hạn của phép chiếu π, dẫn đến việc φˆ◦f = f ′ ◦ψ, và suy ra rằng f và f ′ là tương đương đối với nhóm các phép biến đổi điểm.
Trong trường hợp ℓ (à,f) là một phụi nhỳng chỗm Legendrian, theo định lý của Arnol’d – Zakalyukin’s, tồn tại một họ sinh của ℓ (à,f) Họ sinh này được xây dựng một cách tự nhiên từ một họ 1.
−tham số của cỏc họ sinh liờn kết với (à, ℓ) Cho F : (RìR)ìR k ,0 → (R,0) là một phôi hàm sao cho d2F|0×R ×R k là không kì dị, trong đó d2F (t, x, q) = ∂q ∂F
1 (t, x, q), , ∂q ∂F k (t, x, q) Gọi F là một họ Morse thì
C(F) = d2F − 1 (0) là một phôi mặt trơn và πF : (C(F),0) → R là một phôi nhúng chìm, trong đó πF (t, x, q) =t Ta gọi đa tạp con C(F) là một tập catastrophe của F. Định nghĩa Φ˜F : (C(F),0) →J 1 (R,R) bởi Φ˜F (t, x, q) x, F (t, x, q),∂F
∗ θ = ∂F ∂t |C (F).dt|C(F) = 0 Bằng định nghĩa, ΦF là một Legendrian không gấp liên kết với họ Legendrian πF,Φ˜F
Do đó có nhận xét sau:
Nhận xét 2.1.7 Tất cả các phôi Legendrian không gấp đều được xây dựng bằng phương pháp tương tự định lý Arnol’d-Zakalyukin ([1]).
Giả sử (à, f) là một phương trỡnh dạng Clairaut Theo Mệnh đề 2.1.1,
ℓ (à,f ) là một sự nhỳng chỡm Legendrian, cho phép chọn một họ các phụi hàm F : (RìR,0) → (R,0) sao cho ảnh j 1 Ft = f à − 1 (t) với t ∈ bất kỳ Phôi ánh xạ j 1 1 F : (R×R,0) → J 1 (R,R) xác định bởi j 1 1 F (t, x) = j 1 Ft(x) không nhất thiết là một phôi nhúng chìm Trong trường hợp này, có (C(F),0) = (R×R,0) và ΦF = j 1 F : (R×R,0) → J 1 (R×R, R) sao cho nó là Legendrian không gấp đầy đủ liên kết với π1, j 1 1 F Do đó, họ sinh của một Legendrian không gấp dạng Clairaut được cho bởi phôi ở trên.
Cho (à, g) và (à ′ , g ′ ) là cỏc sơ đồ tớch phõn Khi đú (à, g) và (à ′ , g ′ ) là
R + −tương đương được định nghĩa thông qua sự tồn tại của một phôi vi đồng phôi Ψ : (R×(R×R),0)→ (R×(R×R),0) với công thức Ψ (t, x, y) = (t+α(x, y), ψ(x, y)) và một phụi vi đồng phụi Φ : R 2 ,0 → R 2 ,0 thỏa mãn điều kiện Ψ ◦(à, g) (à ′ , g ′ )◦Φ Nếu (à, g) và (à ′ , g ′ ) là R + −tương đương, thì có thể xác định rằng (u)+α◦g(u) =à ′ ◦Φ (u) và ψ◦g(u) = g ′ ◦Φ (u) với u ∈ R 2 ,0 bất kỳ Do đó, sơ đồ (à+ α◦g, g) là tương đương chặt chẽ với (à ′ , g ′ ) Đối với các Legendrian không gấp, ℓ (à,f ) và ℓ (à ′ ,f ′ ) : R 2 ,0 → J 1 (RìR,R) được coi là S.P + −tương đương Legendrian (hoặc S.P−tương đương Legendrian) nếu tồn tại một phôi vi đồng phôi tiếp xúc.
, một phôi vi đồng phôi Φ : R 2 ,0 → R 2 ,0 và một phôi vi đồng phôi Ψ : (R×(R×R),Π (z0)) → (R×(R×R),Π (z ′ 0)) sao cho Ψ (t, x, y) = (t+α(x, y), ψ(x, y))
(tương ứng Ψ (t, x, y) = (t, ψ(x, y)) thỏa mãn Π◦K = Ψ◦Π và K ◦L L ′ ◦ Φ Khi đú, nếu ℓ(à,f ) và ℓ(à ′ ,f ′ ) là S.P + −tương đương Legendrian (tương ứng, S.P−tương đương Legendrian) thỡ (à, π ◦f) và (à ′ , π ◦f ′ ) là
R + −tương đương (tương ứng tương đương chặt).
Theo [15], điều ngược lại cũng đỳng đối với (à, f) và (à ′ , f ′ ) tổng quát Khái niệm về sự ổn định của các Legendrian không gấp đối với
S.P + −tương đương Legendrian (tương ứng S.P−tương đương Legen- drian) là tương tự với khái niệm thường dùng của sự ổn định các phôi nhúng chìm Legendrian đối với tương đương Legendrian Mặt khác, có thể giải thích quan hệ tương đương ở trên trong các số hạng và các họ sinh. Với mục đích đó, sử dụng một số kí hiệu và kết quả trong [1]. Định nghĩa 2.1.9 Cho F ,˜ G˜ : (R×(R×R),0) →(R,0) là các họ sinh của Legendrian không gấp dạng Clairaut Khi đó F˜ và G˜ được gọi là
P − C + −tương đương (tương ứng P − C −tương đương) nếu tồn tại một phôi vi đồng phôi Φ : (R×(R×R),0) →(R×(R×R),0) sao cho Φ (t, x, y) = (t+α(x, y), φ 1 (x, y), φ 2 (x, y))
(tương ứng, Φ (t, x, y) = (t, φ1(x, y), φ2(x, y))) thỏa mãn hF ◦Φiε (t,x,y) hGiε (t,x,y), trong đó hGiε (t,x,y) iđean sinh bởi G trong vành địa phương của các phôi hàm ε (t,x,y) với các biến (t, x, y).
F˜(t, x, y)gọi làC + (tương ứngC)−sự biến dạng riêng lẻ củaf = F|R×0 nếu εt df dt
R). Định lý 2.1.10 Giả sử F ,˜ G˜ : (R×(R×R),0) → (R,0) là các họ sinh của các Legendrian không gấp dạng Clairaut ΦF,ΦG tương ứng Khi đó:
(1) ΦF và ΦG là S.P + (tương ứng, S.P ) −tương đương Legendrian nếu và chỉ nếu F˜ và G˜ là C + (tương ứng, C) −tương đương.
ΦF là S.P + (tương ứng, S.P) − ổn định Legendrian nếu và chỉ nếu F˜ là P − C + (tương ứng, C) − sự biến dạng riêng lẻ của f = F|R× {0} Định lý 2.1.11 cho biết rằng nếu F, G là các họ sinh của Legendrian không gấp dạng Clairaut, với ΦF, ΦG là S.P + (tương ứng S.P) − ổn định Legendrian, thì ΦF, ΦG cũng sẽ là S.P + (tương ứng S.P).
−tương đương Legendrian nếu và chỉ nếu f = F|R× {0}, g = G|R× {0} là C −tương đương (hfiε = hgiε ). Đối với mỗi phôi hàm f : (R,0)→ (R,0), ta đặt
Khi đó, ta có phân loại dưới đây (xem [18]).
Bổ đề 2.1.12 Cho f : (R,0)→ (R,0) là một phôi hàm với κ−cod(f) 0}, chúng ta nghiên cứu phương trình ẩn cấp 1 với hai trường hướng trơn dx dy = f1(y) và dy dx = f2(y) Trong đó, f1 và f2 là các hàm số trơn, với điều kiện f1(0) = f2(0) = 0 do h(0,0) = 0.
Bổ đề Hadamard cho phép các hàm có dạng f1(y) = y ˜f1(y), với f˜1 và f˜2 là các hàm số trơn Trường hướng gần gốc được biểu diễn bởi dy/dx = (y − x) ˜f1(y) + x f˜2(y), từ đó cung cấp sự mở rộng trơn đồng thời cho hai trường này.
Phân loại trong trường hợp Clairaut
Kí hiệu chùm tiếp xúc của mặt phẳng R² là TR², trong khi {0} đại diện cho thiết diện không của mặt phẳng này Phép chiếu chính tắc từ chùm tiếp xúc và mặt ngoài của thiết diện {0} tới đa tạp của các phần tử tiếp xúc trên mặt phẳng được ký hiệu là Π: TR² \ {0} → PT∗R² Ở đây, PT∗R² là phép xạ ảnh fiber-wise của chùm đường cong T∗R² trên không gian R² Phép chiếu Π sinh ra các ánh xạ 1-gấp từ các mặt trong TR² \ {0}, và cần lưu ý rằng không tồn tại phép đẳng cấu chính tắc giữa chùm tiếp xúc.
TR 2 và chùm đường cong T ∗ R 2 tồn tại phép đẳng cấu chính tắc giữa P TR 2 và P T ∗ R 2, tương tự như đa tạp của các phần tử tiếp xúc trên mặt phẳng Sự xác định này được thực hiện thông qua ánh xạ hướng tiếp tuyến trên R 2 vào R 2 có hướng như hạch Dưới quỹ đạo trơn, sự phân loại các mặt trong TR 2 \ {0} được quy về thông qua 1-gấp lên trên sự định hướng của các quỹ đạo, dẫn đến sự phân loại bởi các vi đồng phôi tiếp xúc trên P T ∗ R 2, bảo toàn sự phân thớ chính tắc π: P T ∗ R 2 → R 2.
Xét hệ dạng Clairaut trong TR 2 \ {0} và 1−không gấp của hệ đó trong
Trong không gian P T ∗ R 2, quỹ tích Σc đại diện cho các điểm kì dị tiếp xúc, nơi mà dạng tiếp xúc triệt tiêu tại các điểm tương ứng Quỹ tích Σπ biểu thị các điểm kì dị trên mặt hệ thông qua phép chiếu π : TR 2 → R 2 Hệ được gọi là dạng Clairaut nếu và chỉ nếu ánh xạ gấp tới R 2 có cùng hạng tại hầu hết các điểm trong hệ, đồng thời Σc và Σπ trùng nhau.
Dara L đã định nghĩa các phương trình dạng Clairaut cho các mặt trơn trong không gian R³ thuộc P T* R² với các tọa độ x, y, p, p˙y/x˙ Cụ thể, một hệ ẩn G(x, y, p) = 0 được gọi là có dạng Clairaut nếu thỏa mãn điều kiện Gx + pGy = AG + BGp, trong đó A(x, y, p) và B(x, y, p) là các hàm phôi cố định.
Theo định nghĩa, một hệ là dạng Clairaut nếu có Σc = Σπ Trong tài liệu [14], đã chứng minh rằng một hệ không suy biến G(x, y, p) = 0 là dạng Clairaut nếu và chỉ nếu nó có hệ các nghiệm đầy đủ, bao gồm các nghiệm cổ điển (trơn) Đặc biệt, mỗi phép chiếu quỹ đạo tới một đường cong không suy biến đều được xác định bởi sự gấp Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng trong trường hợp tổng quát.
Hệ G(x, y, p) = y − 2p³ = 0 không phải là dạng Clairaut theo Định nghĩa 2.4.1, mặc dù thỏa mãn điều kiện Σc = Σπ Hệ này có nghiệm đầy đủ Γ(t, c) = (x, y, p) = (3t² + c, 2t³, t) và mỗi điểm lùi đường cong nghiệm tiếp xúc với biệt thức π(Σπ) = {y = 0} trên mặt phẳng (x, y) Do đó, hệ này thực tế là dạng Clairaut Lưu ý rằng quỹ tích suy biến của ánh xạ gấp xác định bởi p² = 0 trên mặt hệ y = 2p³ = x có các thành phần bội Một hệ dạng Clairaut được gọi là tối giản nếu định thức Jacobian của ánh xạ gấp không có các thành phần bội.
Bất kỳ hệ tối giản dạng Clairaut nào đều có thể được xấp xỉ bởi một hệ Clairaut với đặc điểm là mỗi phép chiếu quỹ đạo đến một đường cong không suy biến đều qua sự gấp Định lý 2.4.4 chỉ ra rằng, đối với một hệ tối giản tổng quát dạng Clairaut trên mặt phẳng có các đạo hàm bị chặn địa phương, ta có thể nhận được các dạng chuẩn tắc gần gốc lên quỹ đạo trơn tương đương trong Bảng 2.3.
Phân loại tính kì dị Các dạng chuẩn tắc Sự hạn chế Điểm không kì dị x˙ = 1,y˙ = 0
Gấp Clairaut x˙ = 1,( ˙y) 2 = y Điểm lùi Clairaut x˙ = 1, y = ˙yϕ(x,y)˙ ϕ(0,0) = ϕy ˙(0,0) = 0 ϕy ˙ y ˙(0,0)ϕx(0,0)6= 0 Ô Whitney Clairaut x˙ = 1,( ˙y) 2 = x 2 y
Có thể phân loại các hệ dạng Clairaut bởi việc xét các mặt tham số trong P T ∗ R 2
Một phôi phương trình vi phân cấp 1 được xác định bởi ánh xạ f: R²,₀ → J¹(R, R) ⊂ P T* R² F được coi là hoàn toàn khả tích nếu tồn tại một phụi nhỳng chỗ mà R²,₀ → R thỏa mãn điều kiện ∧f*θ = 0, với θ = dy - p dx là ký hiệu của 1-đẳng thức tiếp xúc chính tắc trên J¹(R, R) Gọi à là tích phân đầu khụng phụ thuộc f và cặp (à, f): R²,₀ →.
Hệ J 1 (R,R) ⊂ R×P T ∗ R 2 được gọi là holonomic với tích phân đầu không phụ thuộc Ở đây, f|à − 1 (t) đại diện cho sự nhúng chém Legendrian có ảnh trong f Nếu π◦f|à − 1 (t) là ánh xạ không suy biến cho mỗi t ∈ (R, à(0)), thì f|à − 1 (t) t ∈ R trở thành một họ sơ đồ các nghiệm không suy biến của ảnh f theo các lập luận đã nêu Một hệ như vậy được xác định là phương trình dạng Clairaut Định nghĩa này được trình bày như sau: cho (à, g) là một cặp của phụ ánh xạ g : R 2 ,0 →.
R 2 ,0 và phụi nhỳng chỡm à: R 2 ,0 →(R,0) Khi đú sơ đồ
(R,0) ←− à R 2 ,0 −→ g R 2 ,0 được gọi là sơ đồ tích phân nếu tồn tại một phương trình f : R 2 ,0 →
P T ∗ R 2 sao cho (à, f) là một phụi phương trỡnh cú tớch phõn đầu khụng phụ thuộc và π ◦f = g Khi đú, sơ đồ tớch phõn (à, g) được tối giản bởi f.
Nếu f là một phương trỡnh dạng Clairaut, thỡ (à, π ◦f) được gọi là dạng Clairaut Khi đó, đưa vào một quan hệ tương đương sơ đồ tích phân như sau:
Cho (à, g) và (à ′ , g ′ ) là cỏc sơ đồ tớch phõn, (à, g) và (à ′ , g ′ ) là tương đương nếu sơ đồ
Giao hoán với các vi phụ κ, ψ và φ là các vi phụ Nếu vi phụ κ = idR, thì các cặp (à, g) và (à′, g′) là tương đương ngặt Định lý 2.4.4 trình bày sự phân loại chung của các phương trình dạng Clairaut dựa trên khái niệm của các sơ đồ tích phân Định lý 2.4.6 đề cập đến phương trình dạng Clairaut tổng quát.
(à, f) : (R 2 ,0) →RìJ 1 (R,R) sơ đồ tớch phõn (à, π◦f) là tương đương ngặt với sơ đồ tớch phõn của cỏc mầm trong các trường hợp dưới đây:
(3) àα = v +α◦g với α ∈ M (x,y), g = (u, v 3 +uv); Điểm lựi Clairaut.
Giả sử (à, f) là một phương trình dạng Clairaut và Legendre không gấp ℓ(à, f) tương ứng Theo các lập luận trước, tồn tại một mầm hàm F: (R², 0) → (R, 0) sao cho ảnh j¹F bằng ảnh ℓ(à, f) Do đó, chúng ta cần xem xét tính chất chung của F(t, x) Theo định nghĩa, j¹F là một mầm nhúng chìm nếu và chỉ nếu.
Với điều kiện này, ta có đặc trưng của các điểm gấp và điểm lùi củaπ◦j 1 1 F như sau (xem [10],[12]): i, π ◦j 1 1 F là mầm gấp nếu và chỉ nếu ∂F ∂t (0) = 0 và ∂ ∂t 2 F 2 (0)6= 0.
Khi j 1 1 F không là một mầm nhúng chìm, ta có đặc tính của mũ chéo: ii, π ◦ j 1 1 F là mầm điểm lùi nếu và chỉ nếu ∂F ∂t (0) = ∂ ∂t 2 F 2 (0) = 0 và
∂t∂x (0) ∂ ∂t 3 F 3 (0)6= 0. iii, j 1 1 F là một mầm mũ chéo nếu và chỉ nếu ∂F ∂t (0) = ∂t∂x ∂ 2 F (0) = 0 và
Tại điểm thứ nhất, chúng ta xem xét các dạng chuẩn tắc với các giả thiết là các điều kiện (i), (ii), (iii) Nếu giả định rằng điều kiện (iii) được giữ nguyên, thì mầm hàm sẽ có dạng như sau: ∂t∂x 2 (0) ∂ ∂t 2 F 2 (0) 6= 0.
F (t, x) = at 2 +bx 2 +ctx 2 +h(t, x) trong đó a 6= 0, c 6= 0 và h(0,0) = 0 Khi đó F (t,0) = at 2 + h(t,0) là
C−tương đương với t 2, F(t, x) là P−C−tương đương đến một sự biến dạng của t 2 Theo các lập luận trước đó, C−sự biến dạng riêng lẻ của t 2 được biểu diễn là t 2 + v1t + v2 Do đó, F(t, x) là P−C−tương đương đến mầm hàm theo dạng này.
G(t, x) = t² + tφ₁(x) + φ₂(x) cho thấy j₁G là một mầm mũ chéo, với φ₁(x) = αx² và α ≠ 0 Qua phép vi đồng phôi địa phương của biến x, ta có φ₁(x) = x², dẫn đến F(t, x) là P-C-tương đương với mầm hàm t² + tx² + φ(x) Do đó, F(t, x) có thể được viết là t² + tx² + φ(x) Trong trường hợp này, j₁F(t, x) = t, x, t² + tx² + φ(x), 2t + x², 2tx + φ′(x), với sơ đồ tích phân g(u₁, u₂) = u₂, u₁² + u₁u₂² + φ(u₂) trên mặt phẳng (x, y) có phôi vi đồng phôi Ψ: R²,0 → R²,0 xác định bởi Ψ(x, y) = x, 1/4y + 1/4x⁴ - φ(x) Khi đó, Ψ◦g(u₁, u₂) = u₂, 1/4u₁ + 1/2u₂² Đây là dạng chuẩn tắc trong Định lý 2.4.6, sau khi đặt (u, v) = u₂, u₁ + 1/2u₂² Đối với trường hợp (i), các lập luận tương tự có thể áp dụng để đạt được dạng chuẩn tắc của (2) trong Định lý 2.4.6 Tuy nhiên, trong trường hợp (ii), hàm F(t, 0) là C-tương đương với t³, và các lập luận trước đó không thể áp dụng vì C+-biến dạng riêng lẻ của t³ là t³ + v₁t + v₂.
Do đó có thể áp dụng hầu hết các argument như vậy ở trên và sơ đồ tích phân tương ứng là R + −tương đương đến à(u1, u2) = u2, g(u1, u2) = u2, u 3 2 +u1u2
. Điều này có nghĩa sơ đồ là tương đương chặt đến dạng chuẩn tắc (3) trong Định lý 2.4.6.
Tập hợp hàm F (t, x) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii) hoặc (R) tại một điểm bất kỳ trong không gian các hàm với tô pô Whitney C ∞ Điều kiện (R) được định nghĩa là ∂F/∂t (0) khác 0 Xét J 3 (2,1) như một tập hợp của 3 tia của các mầm hàm h: R²,0 → (R,0) Đồng thời, chúng ta xem xét hai tập con đại số của J 3 (2,1): Σ1 j 3 h(0)|∂h.
Xét hợp W = Σ1 ∪ Σ2 thì W cũng là một tập con đại số của J 3 (2,1).