Khao sat va ve do thi ham so bac ba 1wfkf

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA I Phương pháp giải Điểm uốn của đồ thị Cho  y f x có đạo hàm cấp 2 trên một khoảng (a;b) chứa điểm 0x Nếu  0 0f x  và  "f x đổi dấu khi x qua điếm 0x thì[.]

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA

I Phương pháp giải

Điểm uốn của đồ thị:

Cho y f x  có đạo hàm cấp 2 trên một khoảng (a;b) chứa điểm x0

Nếu f x0  0 và f" x đổi dấu khi x qua điếm x0 thì I x 0 ;f x 0  là điểm uốn của đường cong  C :y f x 

Điểm uốn I x 0 ;f x 0  của đường cong  C :y f x  thì một trong 2 khoảng a x, 0, x b0 ,  tiếp tuyến tại điểm I nằm phía trên đồ thị còn ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

Nếu y p x y   r x  thì tung độ điểm uốn tại x0 là y0 r x 0

Sơ đồ chung về khảo sát và vẽ đồ thị: Gồm 3 bước:

Bước 1: Tập xác định

- Tập xác định D

- Xét tính chẵn, lẻ nếu có

Bước 2: Chiều biến thiên

- Tính các giới hạn

- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu

- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu

Bước 3: Vẽ đồ thị

- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục toạ độ

- Vẽ đúng đồ thị, hàm bậc 3 có tâm đối xứng là điểm uốn

Các dạng đồ thị hàm bậc 3: 3 2

yax bx cxd a

Tâm đối xứng là điểm uốn

Chú ý:

1) Từ đồ thị  C :y f x  suy ra các đồ thị:

 

y f x bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành

 

y f x bằng cách lấy đối xứng qua trục tung

 

y f x bằng cách lấy đối xứng qua gốc tọa độ

 

y f x bằng cách lấy phần đồ thị ở phía trên trục hoành, còn phần phía dưới trục hoành thì đối xứng qua trục hoành

 

y f x là hàm số chẵn, bằng cách lấy phần đồ thị ở phía bên phải trục tung, rồi lấy đối xứng phần đó qua trục tung

2) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng g x m ,  0

Đưa phương trình về dạng f x h m  trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị

 C :y f x  số nghiệm là số giao điểm của đồ thị  C với đường thẳng yh m 

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Cho hàm số 3 2  

yx  mx  m x (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C khi m  1 Chứng minh  C có tâm đối xứng b) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A1; 9  

Giải

a) Khi m  1 thì 3 2

yx  x  Tập xác định D

Sự biến thiên lim

   và lim

  

2

y  x  x y   x hoặc x 2

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 0 và 2; , hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) Hàm số đạt CĐ (0; 1), CT(2; -3)

• Đồ thị: y  6x 6, y    0 x 1nên đồ thị có điểm uốn I1; 1  

Chox   0 y 1

Chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến : 1

1

x X OI

y Y



  

Thế vào (C) thành:  3  2 3

Ta có   3

6

Y F X  X  X là hàm số lẻ  đpcm

b) Đồ thị hàm số 3 2  

yx  mx  m x đi qua điểm A1; 9   khi    9 1 3m m    1 1 4m     12 m 3

Bài toán 2 Cho hàm số 3

y x  x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm phân biệt của phương trình 3

2x  6x   1 m 0

Giải

a) Tập xác định D

Sự biến thiên lim

   và lim

  

Đạo hàm: 2

y  x  y    x hoặc x 1

y       x y    x

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 1 và 1; , nghịch biến trên khoảng  1;1 Hàm số đạt cực đại tại x   1, y  5 và đạt cực tiểu tại x 1, y   3

Đồ thị: y  12 ,x y    0 x 0 nên điểm uốn I 1; 0 là tâm đối xứng Đồ thị cắt trục Oy tại điểm  0;1

b) Phương trình đã cho tương đương 3

2x  6x  1 m Do đó,

số nghiệm của phương trình đã cho bằng số điểm chung của

đồ thị (C) và đường thẳng ym

Dựa vào đồ thị (C), ta được:

- Nếu m 5 hoặc m  3 thì phương trình có 1 nghiệm

- Nếu m 5 hoặc m  3 thì phương trình có 2 nghiệm

- Nếu    3 m 5 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Bài toán 3 Cho hàm số 1 3   2  

3

y x  m x  m x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 0 b) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng  0;3

Giải

a) Khi m 0 thì 1 3 2

3

y  x  x x Tập xác định D

Sự biến thiên lim

   và lim

  

2

y  x x y  x hoặc x 3

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên  3;1, nghịch biến trên mỗi khoảng   ; 3 và 1;  Hàm số đạt cực đại tại:   7

3

Hàm số đạt cực tiểu tại: x 3, y CT  y    3 13

Đồ thị: y    2x 2, y     0 x 1 nên điểm uốn 1; 23

3

I  

  là tâm đối xứng

Đồ thị cắt trục Oy tại điểm 0; 4  

y   x m x m ;

2

4 0,



      nên y luôn có hai nghiệm phân biệt

Vì a   1 0 nên điều kiện đồng biến trên (0; 3):

 

0, 0;3

y   x

 

 

3

12

7

7

m

m m

 



Vậy 12

7

m

Bài toán 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

1

a) 3 2

yx  x  x

Giải

a) Tập xác định D

Sự biến thiên lim

   và lim

  

Ta có: 2

3 6 4 0,

y   x  x  x nên hàm số nghịch biến trên

Hàm số không có cực trị Bảng biến thiên:

y 

y 



Đồ thị: y    6x 6, y    0 x 1 nên đồ thị có điểm uốn I 1; 0

Cho x   0 y 2 Cho y 0

   2 

b) Tập xác định D

Sự biến thiên lim

   và lim

  

y  x  x  x  x nên hàm số đồng biến trên , hàm số không có cực trị

Bảng biến thiên:

x  1 

y  0 

y





Đồ thị: y  6x 6, y    0 x 1 nên đồ thị có điểm uốn I 1; 2

Cho x    0 y 1

Bài toán 5 Cho hàm số: 3

1

yx mx m , với m là tham số thực

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  3

2) Tìm điểm cố định của các đồ thị hàm số

Giải

1) Khi m  3, hàm số trở thành 3

3 2

yx  x Tập xác định D

Sự biến thiên: 2

y  x 

Ta có 0 1

1

x y

x





     

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 1 và 1; , hàm số nghịch biến trên khoảng  1;1

Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại  2; 0 , cắt Oy tại điểm0; 2  ,

y  x y   x nên đồ thị nhận điểm uốn I0; 2   làm tâm đối xứng

2) Gọi M x y 0 ; 0 là điểm cố định của các đồ thị:

3

0

0 0

0 1

y



Vậy các đồ thị đi qua điểm cố định M 1; 0

Bài toán 6 Cho hàm số: 1 3

3 4

y x  x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Chứng minh bất đẳng thức 1 3

4x  x  với mọi x  2

Giải

1) Tập xác định D Hàm số lẻ

Sự biến thiên: 3 2

4

BBT

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 2 và 2; , nghịch

biến  2; 2

Hàm số đạt cực đại tại  2; 4, cực tiểu tại 2; 4  

Đồ thị: 3 , 0 0

2

uốn

Cho y   0 x 0 hoặc x  2 3

b) Dựa vào BBT thì ta có y  4 với mọi x  2

3

1

    với mọi x  2

Vậy 1 3

4x  x  , với mọi x  2

Bài toán 7 Cho hàm số: 3   2  2 

yx  m x  m  m x , m là tham số

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1

2) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn x1 x2 x x1 2  7

Giải

1) Với m 1 hàm số trở thành 3 2

yx  x  x Tập xác định D

Sự biến thiên: 2

3 12 x 9

y  x  

y       x x

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;3 và   1; , hàm

nghịch biến trên khoảng   3; 1

Hàm số đạt cực đại tại x  3,y CÑ  1 và đạt cực tiểu tại

1, CT 3

x  y  

 Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1)

y  x ,

y    x nên điểm uốn I  2; 1 là tâm đối xứng của đồ

thị

2) D

y  x  m x m  m

Hàm số có cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2

3



1 2 2 3 ; 1 2 3 5

x x  m x x m  m

x  x x x   m  m 

2

m

Kết hợp thì chọn:1 4

3

Bài toán 8 Cho các đồ thị   1 3 2 5

m

a) Tìm các điểm cố định của đồ thị

b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m 1

Suy ra đồ thị   1 3 2 5

C y x x  x

Giải

Gọi M x y 0 ; 0 là điểm cố định của các đồ thị  C m :

2

2

5 0,

3

32 3,

3







Vậy các đồ thị đi qua 2 điểm cố định: 1 0; 5

3

M   

32 3;

3

M   

b) Khi m 1 thì 1 3 2 5

3

y x  x x

Tập xác định D

Sự biến thiên lim

  

  

2

y x   y    x hoặc x 3

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 1 và 3;; nghịch biến trên khoảng  1;3

Hàm số đạt cực đại tại x  1,y CÑ 0 và đạt cực tiểu tại 3, 32

3

CT

 Đồ thị: y  2x 2,y    0 x 1nên đồ thị có điểm uốn 1; 16

3

I  

3

Ta có

3 2

3 2

3 2

3 khi 5

3

3 khi 5





nên đồ thị  C giữ nguyên phần đồ

thị  C khi x 5 và lấy đối xứng phần x 5 của  C qua Ox

Bài toán 9 Cho hàm số 3 2

y  x x mx (1), m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 0

b) Tìm các giá trị m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng  0; 2

Giải

a) Khi m 0 hàm số trở thành 3 2

Tập xác định D

Sự biến thiên lim

  

  

Đạo hàm: 2

y   x  x Ta có: y    0 x 0 hoặcx 2

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên  0; 2 , nghịch biến trên  ; 0 , 2;   và

có điểm CÑ 2; 2 ,CT0; 2  

Đồ thị: y    6x 6,

y   x

Điểm uốn I 1; 0

b) Ta có 3

y   x  xm

Hàm số nghịch biến trên  0; 2 khi và chỉ khi y    0, x  0; 2

  2

3 6 , 0; 2

Ta có g x  6x 6,g x    0 x 1

Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm là m  3

Bài toán 10 Cho hàm số 3 2

yx  x  mx m  , m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 3

b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 4 65

Giải

a) Khi m 3 hàm số trở thành 3 2

yx  x  x Tập xác định D

Sự biến thiên: 2

3 12 9

y  x  x

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 và 3; , nghịch biến trên  1;3

Hàm số đạt cực đại khi x 1,y CÑ  3 và đạt cực tiểu tại x 3, y CT   1

Đồ thị:y  6x 12,y    0 x 2 nên tâm đối xứng là điểm uốn I 2;1

Cho x 0 thì y  1

b) Ta có 2

3 12 3

Đồ thị của hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt

36 9m 0 m 4



Gọi các điểm cực trị là A x y 1 ; 1 ,B x y2 ; 2

Theo định lý Viet 1 1

1 1

4

x x

x x m

 



Ta có y1 2m 8x1  m 2, y2 2m 8x2  m 2

  2  2 2

AB x x  m x x

 

Vậy m 0

Bài toán 11 Cho hàm số: 3   2

y x  m x m, với m là tham số

1 ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2

2) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị sao cho điểm I 3;1 nằm trên đường thẳng đi qua 2 cực trị

Giải

1) Khi m 2, hàm số trở thành 3 2

y x  x  Tập xác định D

Sự biến thiên: 2

y  x  x

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 0 và 1; , nghịch biến trên khoảng  0;1 Hàm số đạt cực đại tại x 0,y CÑ  2 và đạt cực tiểu tại x 1, y CT  1

Đồ thị: y  12x 6;

1 0

2

2 2

I 

  làm tâm

đối xứng

2) Ta có 2  

y  x  m x

y   x hay x m 1

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B  m 1

Khi đó hai điểm cực trị của đồ thị là A0; m và   3

B m m m Với m 1, ba điểm I, A, B thẳng hàng khi và chỉ khi IAk IB

 

 3

1

k m



Bài toán 12 Cho hàm số 3 2

yx  x  x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Biện ỉuận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2 3 2

x  x  xm  m  m

Giải

a) Tập xác định D

Sự biến thiên 2

y  x  x , y     0 x 1 hoặc x 3 Bảng biến thiên

Đồ thị có cực đại A 1;5, cực tiểu B3; 27  

Đồ thị: y  6x 6,y    0 x 1 nên đồ thị có điểm uốn I1; 11  

Cho x 0 thì y 0

b) Đặt   3 2

f x x  x  x thì phương trình: f x  f m 

Ta có y    5 x 1 hoặc x 5;y  27 khi x  3 hoặc x 3

Dựa vào đồ thị, ta có:

Khi m  3 hoặc m 5 thì PT có 1 nghiệm

Khi m  3 hoặc m = -1 hoặc m 5 hoặc m 3 thì PT có 2 nghiệm

Khi    3 m 5,m  1,m 3 thì PT có 3 nghiệm