Khao sat va ve do thi ham huu ti

Bước 3: Vẽ đồ thị - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ.. - Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.. 1 Khảo sát sự biến thi

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM HỮU TỈ Dạng toán 1 HÀM HỮU TỈ BẬC 1/1

Sơ đồ chung về khảo sát và vẽ đồ thị: Gồm 3 bước:

- Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

- Tính đạo hàm cấp một, dấu luôn dương hay âm

- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra các khoảng đồng biến, hay các khoảng nghịch biến Bước 3: Vẽ đồ thị

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ

- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

 



 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

2) Tìm trên (H) các điểm có tọa độ nguyên

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2 và 2; 

● Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại  1; 0 , cắt trục tung tại 0; 1

2

  

  và nhận giao điểm I2; 1   của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

Vậy điểm M x y ; thuộc (H) có tọa độ x,y nguyên là M3; 2   và M 1;0

Bài toán 2 Cho hàm số 3

2

x y

x





 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng

b) Giao điểm của hai tiệm cận là I2; 1  

Áp dụng công thức chuyển hệ bằng phép tịnh tiến vectơ : 2

1

x X OI

  là hàm lẻ nên đồ thị nhận gốc I là tâm đối xứng

Bài toán 3 Cho hàm số 2

1

x y x







1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x  2 x 1 3 m

Bảng biến

thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 , 1;  

● Đồ thị: Đồ thị (C) cắt Ox tại  2; 0 , cắt Oy tại  0; 2 , (C) nhận giao điểm I 1;1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

2) Vì x 1 không là nghiệm nên phương

khi x x





 gồm phần

của (C) ứng với x 2 và đối xứng phần (C)

ứng với x 2 qua trục hoành

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm

       thì phương trình vô nghiệm

Bài toán 4 Cho hàm số 2 1

1

x y x







a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là số nguyên

Đồ thị nhận giao điểm I 1; 2 của hai đường

tiệm cận làm tâm đối xứng

b) Tìm các điểm cố định của đồ thị (1) và các điểm mà các đồ thị (1) không đi qua với mọi

Đồ thị cắt trục tung tại điểm A 0; 2

Đồ thị nhận giao điểm I 0; 2 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

b) Gọi M x y o; o là điểm cố định của đồ thị (1): 4 , 0

2 2

o o

x

y mx

Vậy các đồ thị (1) luôn luôn đi qua điểm cố định M 0; 2

Gọi N x y o; o là điểm mà các đồ thị (1) không đi qua:

0 4

2 2

o o

x

y mx

Vậy tập hợp các điểm mà các đồ thị (1) không đi qua là đường thẳng x 0 (trục tung) trừ điểm cố định M 0; 2

Bài toán 6 Cho hàm số: 3

1

x y x







1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Tính khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến đường thẳng d y:  2x 5

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 1 và   1; 

● Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại  3; 0 ; cắt Oy tại 0; 3   và nhận giao điểm I 1;1 của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

2) Phương trình d: y  2 x 5   2 x y 5    0

Tâm đối xứng là điểm I 1;1

x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

x x

khi x x x

nên đồ thị (C’) giữ nguyên phần đồ thị (C) ở

phía trên Ox, còn phần dưới Ox lấy đối xứng qua Ox

Bài toán 8 Cho hàm số 1

1

x y x





 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;1 , 1;  

● Đồ thị: Đồ thị (C) cắt Ox tại  1;0, cắt Oy tại 0; 1  và nhận giao điểm I 1;1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ

- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận đứng và tiệm cận xiên

BBT

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 2 và

2; , nghịch biến trên mỗi khoảng  2;0 và

 0;2

Hàm số đạt cực đại tại điểm x  2,y CÑ   4

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 2,y CT  4.

● Đồ thị:

Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận O 0;0

Bài toán 2 Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số:

2

1 x

y x

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;0 và 0; 

 Đồ thị: y    0 x 1 Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận O 0;0

Bài toán 3 Cho hàm số

1

x x y

x





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:

Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận I 1;0 

b) Vì x  1 không là nghiệm nên phương trình

đã cho tương đương với:

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

x





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Tìm các điểm trên  C có tọa độ là số nguyên Chứng minh đồ thị  C có tâm đối xứng

x là ước số của của 3 nên x    2 1, 3.

Do đó  C có 4 điểm có tọa độ nguyên:

    1;4 , 3;0 , 1;0   và  5;4

Giao điểm 2 tiệm cận I 2;2 chuyển trục bằng

phép tịnh tiến vectơ

2 :

Vì Y F X X : 3

X

  là hàm số lẻ nên đồ thị  C nhận gốc I 2;2 làm tâm đối xứng

Bài toán 5 Cho hàm số

x y x



a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tính góc giữa 2 tiệm cận

b) Biện luận m số nghiệm của PT:

Hàm số đồng biến trên   ; 1 , 1;  , nghịch biến trên  1;0 , 0;1   

Hàm số đạt CĐ   1; 2 , CT 1;2

 Đồ thị: Đối xứng nhau qua gốc O

TCĐ: x 0, TCX: y x nên hai tiệm cận hợp nhau góc 45 

b) Khi m 0thì PT vô nghiệm

Khi m 0thì số nghiệm phương trình

x





 có đồ thị  C a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của C và suy ra đồ thị

b) Đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị là:

x x y

 là hàm số chẵn nên đồ thị  C đối xứng nhau qua Oy

Khi x 0  thì lấy phần đồ thị  C , sau đó lấy đối xứng phần đó qua Oy thì được đồ thị  C

Bài toán 8 Cho hàm số 2  1 2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m 2.

b) Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x x1 2   3.

Giải

x y x

 





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Chứng minh  C có tâm đối xứng

b) Tiệm cận đứng x  2 Tiệm cận ngang y  1.

Chuyển trục đến giao điểm 2 tiệm cận I  2; 1 

Kết quả I  2; 1 

Bài tập 2: Cho hàm số 3 1.

1

x y x





 (với m là tham số) (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1

b) Tìm các giá trị của m để trên đồ thị của hàm số (1) có ít nhất môt điểm cách đều hai trục tọa độ, đồng thời hoành độ và tung độ của điểm này trái dấu nhau

HD-ĐS

a) Khi m 1 thì 1

2

x y x







tiệm cận đứng x 2  Tiệm cận ngang y 1.

b) Gọi M x y ; thuộc đồ thị và cách đều 2 trục:

b) Xét x 2 thì phương trình vô nghiệm

Xét x 2 thì phương trình

2

x x

m x

x x y

x

 



  C a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C .

b) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị  C đến hai đường tiệm cận của nó luôn là một hằng số

HD-ĐS