Skkn sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để giải và biện luận một số dạng toán về phương trình, bất phương trình

Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2Dạng 1: Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm để biện luận nghiệm bất phương trình 2 Loại 1: Bài toán cho bảng biến thiên của hàm số.. 7Dạng

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 22.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 22.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2

Dạng 1: Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm để biện

luận nghiệm bất phương trình

2

Loại 1: Bài toán cho bảng biến thiên của hàm số 2Loại 2: Bài toán cho đồ thị hàm số 7Dạng 2: Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm để biện

luận nghiệm phương trình

9

Loại 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 9Loại 2: Tìm ra hàm số dưới dạng tường minh 12Dạng 3: Cho bảng biến thiên, đồ thị hàm số y f x  để biện luận

bất phương trình

14

Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đã được Hội đồng chấm sáng

kiến kinh nghiệm cấp ngành xếp loại từ C trở lên

21

SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỂ GIẢI VÀ

BIỆN LUẬN MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Việc dạy học và tổ chức thi theo hình thức tự luận chuyển sang hình thức thi trắcnghiệm, đã tạo ra nhiều thay đổi trong quá trình giảng dạy và học tập Với việc ra

đề thi trắc nghiệm sẽ có rất nhiều dạng toán mới phát sinh, nhiều kiểu câu hỏi mớilạ… Nó luôn đặt ra yêu cầu cho mỗi giáo viên phải tìm hiểu, rèn luyện, tìm raphương án tối ưu cho việc giảng dạy để đạt hiệu quả tối ưu trong việc truyền tảikiến thức cho học sinh cũng như kỹ năng làm các bài thi trắc nghiệm

Trong chương trình toán THPT thì chương hàm số là một chương trọng tâm, chứa sốlượng câu hỏi trong ma trận đề lớn Chương hàm số chứa rất nhiều kiến thức quantrọng, chiếm phần lớn số lượng tiết dạy theo phân phối chương trình chung Mỗinăm, có rất nhiều câu hỏi hay, lạ phải sử dụng kiến thức trong chương hàm số để thựchiện

Năm 2019 bộ GD&ĐT đã ra đề thi minh họa cho kỳ thi THPT quốc gia nhằm địnhhướng cho giáo viên, học sinh cách ôn tập hợp lý Đề minh họa môn Toán năm nay

đã giới thiệu một số dạng toán, cách ra đề mới dựa trên bản chất là ứng dụng tính đơnđiệu của hàm số Nếu vẫn tập trung vào những phương pháp cũ, học sinh sẽ gặpnhiều khó khăn trong quá trình giải toán, cũng như rơi vào các phương án nhiễu của

đề ra

Với những lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài: “Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị

hàm số y f x  để giải và biện luận một số dạng toán về phương trình, bất phương trình”

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu ứng dụng của tính đơn điệu hàm số trong việc giải các bài toán vềphương trình, bất phương trình

- Đưa ra phương pháp giải hợp lý cho các bài toán, dạng toán cụ thể

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài toán giải phương trình, bất phương trình khi cho trước đồ thị hàm số

1.4 Đối tượng khảo sát, thực nghiệm

- Tìm hiểu sâu tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị hàm số , Kết hợp yêu cầu bài toán để sử dụng tính đơn điệu hàm số một cách hợp lý nhất

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến ứng dụng tính đơn điệu hàm số, các đề thi thửTHPT quốc gia năm 2019 từ đó đưa ra hướng giải quyết cho các bài toán dạng này

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong đề thi THPT Quốc gia của các năm bài toán giải phương trình, bất phươngtrình hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toán này lại là một trongnhững bài toán tương đối khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa,các tính chất của hàm số, các phương pháp biến đổi tương đương và hệ quả Nhiều

em học sinh còn bỡ ngỡ, gặp khó khăn trong việc tìm ra hướng giải quyết cho bàitoán Nếu các bài toán được phân dạng, sắp xếp theo một quy tắc nhất định, thì các

em dễ tiếp cận hơn và sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán dạng này trong đềthi sắp tới Do vậy, tôi viết đề tài nhằm đưa ra hướng tiếp cận mới đối với các bàitoán giải phương trình, bất phương, phương pháp giải các dạng toán lạ, độ khó caovừa xuất hiện sau khi có đề minh họa của bộ giáo dục đào tạo Đồng thời khai thác,phát triển các bài toán ứng dụng, dựa trên các bài toán ở đề minh họa và các đề thi thửTHPT Quốc gia

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi học đến lớp 12, học sinh khá – giỏi về cơ bản đã tiếp cận với bảng biến thiên –

đồ thị hàm số , tuy nhiên khi làm gặp bài toán có sự tham gia của đồ thị haybảng biến thiên của hàm số thì đa số các em sẽ bở ngỡ, lạ lẫm Mặt khácdạng toán bày thường đi cùng với loại bài toán tương đối khó vì nó cần đến sự ápdụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất của hàm số, các phương pháp biến đổitương đương và hệ quả Nếu các bài toán được phân dạng, sắp xếp theo một quy tắcnhất định, thì các em dễ tiếp cận hơn và sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toándạng này trong đề thi sắp tới

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Tôi viết đề tài nhằm đưa ra hướng tiếp cận mới đối với các bài toán giải phươngtrình, bất phương trình thông qua đồ thị hàm , đây dạng toán mới lạ vớicách cho giả thiết mới có độ khó cao vừa xuất hiện sau khi có đề minh họa của bộgiáo dục đào tạo Đồng thời khai thác, phát triển các bài toán ứng dụng, đưa ra cáchướng dự đoán trong đề thi THPT quốc gia dựa trên các bài toán ở đề minh họa

Dạng 1: Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm để biện luận nghiệm bất phương trình

Loại 1: Bài toán cho bảng biến thiên của hàm số

Ví dụ 1 [ĐỀ MINH HỌA BGD NĂM 2019] Cho hàm số Hàm số

có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình đúng với mọi khi và chỉ khi

Nhận xét: Đây là dạng toán hàm ẩn khá lạ mắt, lần đầu xuất hiện trong đề minh họa

năm 2019 của bộ giáo dục đào tạo Nhìn vào đề ra rất nhiều em sẽ bối rối trong việcđịnh hướng phương pháp giải bài toán Trước đó thường xuất hiện các bài toán sửdụng bảng biến thiên của hàm để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm

số, chưa từng sử dụng bảng biến thiên để biện luận bất phương trình Về mặt bảnchất, đây là một hướng phát triển mới của người ra đề trong việc ứng dụng phươngpháp hàm số trong giải phương trình Bài toán là sử dụng bảng biến thiên, đồ thịhàm số để xét sự đơn điệu của hàm số trên một khoảng nào đó, từ đó đưa

ra các kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng xác định

Bước 1: Cô lập chuyển bài toán về dạng

Bước 2: Tùy theo yêu cầu cụ thể của từng bài toán mà kết luận

Nhận xét: Qua ví dụ này ta thấy hai bài toán gần như tương tự nhau nhưng khi cho

ra kết quả lại trái ngược, dẫn đến rối loạn trong lập luận của các em học sinh Câuhỏi lớn nhất được đặt ra là: Khi nào thì dùng dấu “ ”? khi nào thì dùng “ ” ? Trảlời được câu hỏi này sẽ giúp học sinh tháo gỡ khó khăn, vướng mắc trong loạt toánnày, cũng như các bài toán phát triển, biến tướng của nó

Đối với các lớp bài toán kiểu trên ta dùng phương pháp hàm số với lưu ý rằng:Xét bất phương trình đúng với mọi

+) Trường hợp đơn điệu ( không đổi dấu) trên và hàm liêntục trên thì yêu cầu bài toán trở thành (bản chất là đạt giátrị lớn nhất tại điểm )

+) Trường hợp đạt giá trị lớn nhất tại điểm thì yêu cầu bài toán trở

+)

+)

+) có nghiệm trên

.+) có nghiệm trên

Ví dụ 3. Cho hàm số Hàm số có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình đúng với mọi khi và chỉ khi

Vậy ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình đúng với mọi

Nhận xét: Mở rộng bài toán trên, ta hoàn toàn có thể áp dụng phương pháp đối với

các bất phương trình hay với bài toán có dấu

Bài tập tương tự

Câu 1 [SGD ĐÀ NẴNG 2019] Cho hàm số Hàm số cóbảng biến thiên như hình

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi

Câu 3 [CỤM TP VŨNG TÀU 2019] Cho hàm số Hàm số

có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình đúng với mọi khi và chỉ khi:

Câu 4 [CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – ĐIỆN BIÊN - 2019] Cho hàm số

Hàm số có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình đúng với mọi khi và chỉ khi

Câu 5. Cho hàm số Có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Bất phương trình đúng khi chỉ khi

A B C D

Loại 2: Bài toán cho đồ thị hàm số

Ví dụ 1 [ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019 – MÃ ĐỀ 101] Cho hàm số, hàm số liên tục trên và có đồ thị như

hình vẽ bên Bất phương trình ( là tham số

thực) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng Do đó

Nhận xét: So với đề minh họa thì bài toán trong đề thi thật chỉ khác ở cách cho giả

thiết từ bảng biến thiên sang cho đồ thị hàm Nhưng về mặt bản chất bàitoán, và phương pháp làm không thay đổi Học sinh dựa vào đồ thị để nhận xét tínhđơn điệu của hàm số trên khoảng rồi từ đó đưa ra kết luận củabài toán

Tuy nhiên, bài toán sẽ khó khăn hơn nếu giả thiết bài toán cho đồ thị hàm

nhưng quá trình làm bài lại cần tới tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 2 [CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC 2019

– LẦN 5] Cho hàm số liên tục trên Hàm số có

Ta có Từ đồ thị ta có:

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có khi thì bất phương trình

đúng với mọi

Ví dụ 3.Cho hàm số liên tục trên Hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên Bất phương trình

đúng với mọi khi và chỉ khi

Ta có bảng biến thiên sau:

Bất phương trình đúng với mọi khi và chỉ khi

Nhận xét: Đối với các bài toán cần tới tính đơn điệu của hàm số ,

thay vì xét để kiểm tra tính đơn điệu thì ta xét

Trong đó có thể là một đường thẳng, một parabol,hay một đường tròn

Bất phương trình có nghiệm thuộc

đoạn khi và chỉ khi

Câu 4. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị

như hình vẽ Tập hợp tất cả các giá trị của để bất phương

Loại 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1.Cho hàm số thỏa mãn

Hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình

bên Với số nghiệm thực của phương trình

( là tham số thực) là

Nhận xét: Bản chất của bài toán là từ đồ thị hàm số và

các giả thiết liên quan ta lập được BBT của hàm số từ đó

biện luận phương trình …

Lời giải Chọn C

Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên sau:

Đặt

Vì nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt

đều (thỏa mãn điều kiện) Suy ra mỗi phương trình đều có 2 nghiệm phân biệt Vậy phương trình có tất

cả 6 nghiệm phân biệt với

Phương pháp giải

Bước 1: Lập bảng biến thiên hàm số

Bước 2: Biện luận số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thịhàm số và đường thẳng

Ví dụ 2. Cho hàm số Hàm số có bảng biến thiên như sau:

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

A B

Lời giải Chọn C

Nhận xét: Mấu chốt của các bài toán dạng này thường là áp dụng các giả thiết phụ để

kết hợp với đồ thị hàm lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1. Cho đồ thị hàm số xác định và có

đạo hàm trên Hàm số có đồ thị như

hình vẽ Số nghiệm nhiều nhất của phương trình

A B C D

Loại 2: Tìm ra hàm số dưới dạng tường minh

Phương pháp giải

Bước 1: Gọi hàm số dưới dạng tường minh, tính

Bước 2: Sử dụng các giả thiết của bài toán, giải phương trình, tìm các tham số của

Bước 3: Giải phương trình

Ví dụ 1 [CỤM 8 CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG HỒNG 2019] Cho hàm

đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng như

hình dưới đây Biết phương trình có nghiệm

khi và chỉ khi Khi đó bằng

Lời giải

Chọn D

Từ đồ thị (C) đã cho của hàm số ta suy ra được đồ thị (C’) của hàm số

bằng cách tịnh tiến (C) sang trái 1 đơn vị Khi đó (C’) đối xứng qua trục

Oy và do nó là đồ thị hàm đa thức bậc 4, nên (C’) là đồ thị hàm số trùng phươngdạng Ta có (C’) lần lượt đi qua các điểm ; ; nênlập hệ giải ra ta được

nghịch biến trên đoạn

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Nhận xét: Đối với các bài toán dạng này, chỉ cần linh hoạt sử dụng các giả thiết để

tìm ra dạng tường minh của hàm số thì ta sẽ giải quyết được vấn đề

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1. Cho hàm số

Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên Cótất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình

có hai ngiệm phân biệt?

với Biết hàm số có đồ thị như

hình vẽ, đạt cực trị tại điểm và cắt truc hoành tại

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên để

phương trình có bốn nghiệm phân biệt

Dạng 3: Cho bảng biến thiên, đồ thị hàm số y f x  để biện luận bất phương trình

Loại 1: Không chứa tham số m

Phương pháp giải:

Bước 1: Chuyển bất phương trình về 1 vế và lập bảng biến thiên

Bước 2: Dựa vào bảng biến thiến của hàm số và xét dấu của hàm số

Bước 3: Dựa vào đồ thị hàm số và vẽ đồ thị của hàm số để kếtluận nghiệm

Kiến thức cơ sở:

1) Hàm số cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số

đồng biến(nghịch biến) trên K 2) Nếu hàm số đồng biến(nghịch biến) trên K thì:

+ Hàm số đồng biến(nghịch biến) trên K

+ Hàm số với nghịch biến (đồng biến) trên K

+ Hàm số nghịch biến(đồng biến) trên K.

Nhìn vào đồ thị dễ dàng thấy những điểm có hoành độ lớn

hơn hoặc bằng  1 đều có tung độ lớn hơn hoặc bằng  2

Chọn đáp án B

Ví dụ 2. Cho hàm số liên tục trên và có đồ

thị như hình vẽ Hãy tìm tập nghiệm của bất phương trình

Ta có bất phương trình nên nếu

vẽ đường thẳng trên cùng hệ trục với đồ thị hàm

số thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

tập hợp hoành độ các điểm sao cho đồ thị hàm số nằm phía trên đườngthẳng

Dựa vào đồ thị ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1. Cho hàm số có đồ thị như

hình vẽ Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm

nguyên thuộc đoạn

Câu 2. Cho hố số có đồ thị như hình vẽ

Số các nghiệm nguyên của bất phương trình

thực của tham số để bất phương trình

nghiệm đúng với mọi

Ta có bảng biến thiên sau:

Ví dụ 2 [SGD HÀ NỘI 2019] Cho hàm số có bảng biến thiên

Tìm tất cả các giá trị của để bất phương trình có nghiệm

thực hiện được việc đó cần phối hợp nhiều kiến thức

chuyên sâu như định lí viet đảo, bất đẳng thức, xét

hàm…

Ví dụ 3. Cho hàm số liên tục trên và

có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên

âm lớn hơn của tham số để bất phương trình

luôn đúng trên đoạn ?

Để bất phương trình luôn đúng trên ta phải có

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1 [SỞ PHÚ THỌ 2019] Cho hàm số y f x  liên

tục trên  và có đồ thị như hình vẽ Tổng tất cả giá trị nguyên

của tham số m để bất phương trình

9.6f x  4  f x .9f x  m  5m .4f x đúng   x là

Câu 2 [CỤM 8 CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG HỒNG 2019] Cho hàm

số có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình có nghiệm trên khoảng khi và chỉ khi

Câu 4 [CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2019 – LẦN 2] Cho hàm số

có đồ thị như hình bên Có bao nhiêu số nguyên

để bất phương trình

nghiệm đúng với mọi

2.4 Hiệu quả thực hiện

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2020-2021 Tiến hành giảng dạy ngoại khóa

và lồng vào các tiết dạy các nội dung theo đề tài: “Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để giải và biện luận phương trình, bất phương trình”.

Đề tài này đã được bản thân tôi và các đồng nghiệp cùng đơn vị thí điểm trên các

em học lực từ trung bình khá trở lên Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằmmục đích kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp rèn luyện cho họcsinh kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân; kiểm nghiệm tínhđúng đắn của Giả thuyết khoa học

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Quảng Xương 4

+ Lớp 12A (40 học sinh) không áp dụng sáng kiến

+ Lớp 12B (47 học sinh) áp dụng sáng kiến

Thực nghiệm được tiến hành trong tiết học theo yêu cầu về chủ đề ôn tập tổng quan

về hàm số và đồ thị (sau khi học xong chương 2, môn Giải tích 12 Sau khi dạy thựcnghiệm, Tôi cho học sinh làm bài kiểm tra Sau đây là nội dung đề kiểm tra:

Đề kiểm tra khảo sát 45 phút

Bài 1.Cho hàm số y f x   x3  3x2  2 có đồ thị như hình vẽ

Tìm tập nghiệm của bất phương trình

Bài 2. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây