Khao sat va ve do thi ham huu ti bac nhat tren bac nhat

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM HỮU TỈ BẬC 1/1 I Phương pháp giải Sơ đồ chung về khảo sát và vẽ đồ thị Gồm 3 bước Bước 1 Tập xác định Tìm tập xác định Xét tính chẵn, lẻ nếu có Bước 2 Chiều biến thiên Tính c[.]

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM HỮU TỈ BẬC 1/1

I Phương pháp giải

Sơ đồ chung về khảo sát và vẽ đồ thị: Gồm 3 bước:

Bước 1: Tập xác định

- Tìm tập xác định

- Xét tính chẵn, lẻ nếu có

Bước 2: Chiều biến thiên

- Tính các giới hạn

- Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

- Tính đạo hàm cấp một, dấu luôn dương hay âm

- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra các khoảng đồng biến, hay các khoảng nghịch biến Bước 3: Vẽ đồ thị

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ

- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Các dạng đồ thị hàm hữu tỉ 1/1: y ax b

cx d





 với c0,adbc0

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Cho hàm số 1

2

x y x

 



 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

2) Tìm trên (H) các điểm có tọa độ nguyên

Giải

1) ● Tập xác định D \ 2 

● Sự biến thiên:

2

lim

x y

2

lim

x  y

   nên đường tiệm cận đứng là x 2 lim y 1

   nên đường tiệm cận ngang là y  1

 2

1

2

x

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2 và 2; 

● Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại  1; 0 , cắt trục tung tại 0; 1

2

  

  và nhận giao điểm

2; 1

I  của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

2) Ta có 1 2 1 1 1

y

Điểm M x y ;  thuộc (H) có tọa độ x,y nguyên khi x 2 là ước của 1: x  2 1 hay

x    x hay x 1

Vậy điểm M x y ;  thuộc (H) có tọa độ x,y nguyên là M3; 2   và M 1; 0

Bài toán 2 Cho hàm số 3

2

x y

x





 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng

Giải

a) ● Tập xác định D \ 2 

● Sự biến thiên:

2

lim

x

2

lim

x

y nên đường thẳng x 2 là tiệm cận đứng

lim y 1

   nên đường thẳng y  1 là tiệm cận ngang

 2  

1

2

x



 : Hàm số không có cực trị, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

 ; 2 và 2; 

Bảng biến thiên

● Đồ thị:

2

x   y ;

y  x

b) Giao điểm của hai tiệm cận là I2; 1  

Áp dụng công thức chuyển hệ bằng phép tịnh tiến vectơ : 2

1

x X OI

y Y

 



  

Đồ thị (C) trong hệ tọa độ  

X

 

Vì   1

Y F X

X

  là hàm lẻ nên đồ thị nhận gốc I là tâm đối xứng

Bài toán 3 Cho hàm số 2

1

x y x





 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x  2 x 1 3 m

Giải

1) ● Tập xác định D \ 1 

● Sự biến thiên: Ta có

1

lim

x

y



1

lim

x

y



Do đó đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng

Vì lim lim 1

    nên đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang

Ta có

 2

1

1

x

Bảng biến

thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 , 1;  

● Đồ thị: Đồ thị (C) cắt Ox tại  2; 0 , cắt Oy tại  0; 2 , (C) nhận giao điểm I 1;1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

2) Vì x 1 không là nghiệm nên phương

trình

1

x

x



Ta có:

2

2

2 1

1

x

khi x

y

x x

khi x x







Suy ra đồ thị (C’) của 2

1

x y x





 gồm phần của (C) ứng với x 2 và đối xứng phần (C)

ứng với x 2 qua trục hoành

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm

của đồ thị (C’) và đường thẳng y 3m:

Xét 3m 1 hay 3m 0 hay 3m  1

1

3

m

  hay m 0 hay 1

3

m  thì phương trình có 1 nghiệm

Xét 0 3 1 0 1

3

     thì phương trình có 2 nghiệm

Xét 1 3 0 1 0

3

       thì phương trình vô nghiệm

Bài toán 4 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là số nguyên

Giải

a) ● Tập xác định D

● Sự biến thiên:

      nên tiệm cận đứng: x 1 Ta có lim 2

  nên tiệm cận ngang y 2

 2

1

1

x



 Hàm số không có cực trị

BBT

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;1 và 1; 

● Đồ thị: Cho 0 1; 0 1

2

x  y y  x

Đồ thị nhận giao điểm I 1; 2 của hai đường

tiệm cận làm tâm đối xứng

b) 2 1 2 1

x

y



Điểm M x y ;    C có tọa độ nguyên khi

1 1

x   Suy ra (C) có 2 điểm  0;1 và

 2;3 có tọa độ là số nguyên

Bài toán 5 Cho hàm số 4

2

y

mx



 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m 1

b) Tìm các điểm cố định của đồ thị (1) và các điểm mà các đồ thị (1) không đi qua với mọi

m

Giải

a) Khi m 1 thì 4

2

y

x





● Tập xác định D \ 2 

● Sự biến thiên:

 2

4

2

x

 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

 ; 2 , 2;   Hàm số không có cực trị

Đường thẳng x 2 là tiệm cận đứng, vì

Đường thẳng y 0 (trục hoành) là tiệm cận

ngang vì

4

2

x

Bảng biến thiên

● Đồ thị:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm A 0; 2

Đồ thị nhận giao điểm I 0; 2 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

b) Gọi M x y o; o là điểm cố định của đồ thị (1): 4 , 0

2 2







o o

o o

x

y mx

Vậy các đồ thị (1) luôn luôn đi qua điểm cố định M 0; 2

Gọi N x y o; o là điểm mà các đồ thị (1) không đi qua:

0 4

2 2





     



o o

o o

x

y mx

Vậy tập hợp các điểm mà các đồ thị (1) không đi qua là đường thẳng x 0 (trục tung) trừ điểm cố định M 0; 2

Bài toán 6 Cho hàm số: 3

1

x y x





 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Tính khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến đường thẳng d y:  2x 5

Giải

1) ● Tập xác định D \  1

● Sự biến thiên:

  1   1

        nên tiệm cận đứng là x  1

lim 1; lim 1

    nên tiệm cận ngang là y 1

Ta có

 2

4

1

x

Bảng biến

thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 1 và   1; 

● Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại  3; 0 ; cắt Oy tại 0; 3   và nhận giao điểm I 1;1 của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

2) Phương trình d: y  2 x 5   2 x y 5    0

Tâm đối xứng là điểm I 1;1

Ta có khoảng cách   2 1 5 8

,

d I d   

Bài toán 7 Cho hàm số 3 2

1

x y

x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Suy ra đồ thị   3 2

' :

1

x

C y

x







Giải

a) ● Tập xác định D \ 1 

● Sự biến thiên:

 2

1

1

x

 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;1 và

1; 

1

lim

x

y



1

lim

x

y



   nên TCĐ: x 1

     nên TCN: y  2

Bảng biến thiên

● Đồ thị: cắt trục tung tại điểm 0; 3   và trục hoành tại điểm 3; 0

2

 

b) Ta có

1

1

1,

x khi x

y

x x

khi x x x







nên đồ thị (C’) giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía

trên Ox, còn phần dưới Ox lấy đối xứng qua Ox

Bài toán 8 Cho hàm số 1

1

x y x





 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng

1 2x y 4 0

     và   2 x 2y  2 0 là nhỏ nhất

Giải

1) ● Tập xác định D \ 1 

● Sự biến thiên:

Ta có

1

lim

x

y



1

lim

x

y



Do đó đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng

Vì lim lim

     nên đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang

Ta có

 2

2

1

x



Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;1 , 1;  

● Đồ thị: Đồ thị (C) cắt Ox tại  1; 0, cắt Oy tại 0; 1  và nhận giao điểm I 1;1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

Giả sử 0  

0

1

1

x

x

  Tổng khoảng cách là:

0

0

1

1

    



Dấu đẳng thức xảy ra 2 0

0

0

x x

x

  

 

Vậy điểm M thỏa mãn bài ra là: M1  2;1  2 , M 1  2;1  2