Khao sat va ve do thi ham trung phuong

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG I Phương pháp giải Sơ đồ chung về khảo sát và vẽ đồ thị Gồm 3 bước Bước l Tập xác định Tập xác định D  Hàm số chẵn Bước 2 Chiều biến thiên Tính các giới hạn Tín[.]

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG

I Phương pháp giải

Sơ đồ chung về khảo sát và vẽ đồ thị: Gồm 3 bước:

Bước l: Tập xác định

- Tập xác định D Hàm số chẵn

Bước 2: Chiều biến thiên

- Tính các giới hạn

- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu

- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu

Bước 3: Vẽ đồ thị

- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục toạ độ

- Vẽ đúng đồ thị, hàm trùng phương là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng

Các dạng đồ thị hàm trùng phương: 4 2

, 0

yax bx c a

Chú ý:

Điểm đặc biệt của họ đồ thị:  C m :y f x m , 

1) Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua:

0 0 , 0  m ,   0  0 , 

2) Điểm mà họ không đi qua là điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua với mọi tham số:

0 0 , 0  m ,   0  0 , 

Nhóm theo tham số và áp dụng các mệnh đề sau:

2

Am Bm C    m A B C

Am B    m A B

2

Am Bm C    m A B C  hoặc 2

A  B  AC

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Cho hàm số

4 2

1 2

4

x

y  x  a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Biện luận số nghiệm của phương trình:

4 2

1 2

4

x

   theo tham số m

Giải

a) Tập xác định D Hàm số chẵn

Sự biến thiên: lim

x y

  

y  xx  x y   x hoặc x  2

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 2,  0; 2 và nghịch biến trên  2; 0, 2;  Hàm số đạt CĐ tại  2;5 và CT tại  0;1

 Đồ thị: 2

4 3

y   x , 0 2

3

y    x nên đồ thị có 2 điểm

uốn 2 ;29

9 3

  làm tâm đối xứng

b) Số nghiệm của phương trình:

4 2

1 2

4

x

   bằng số giao điểm của đường thẳng y = m và đường cong (C) Dựa

vào đồ thị trên ta có:

Nếu m 5 hoặc m 1 thì phương trình có 2 nghiệm

Nếu m 1 thì phương trình có 3 nghiệm

Nếu 1  m 5 thì phương trình có 4 nghiệm

Nếu m 5 thì phương trình vô nghiệm

Bài toán 2 Cho hàm số 4 2 3 2

2

yx  mx m m (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1

b) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị

Giải

a) Khi m 1 thì 4 2

2

yx  x

Tập xác định D Hàm số chẵn

Sự biến thiên: lim

x y

  

y  x  x x x  y   x hoặc x  1

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  1; 0, 1; , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

  ; 1,  0;1

Hàm số đạt cực đại tại x 0,y CÑ  0 đạt cực tiểu tại

1, CT 1

x  y  

Đồ thị: 2

12 4

3

y    x nên đồ thị có 2 điểm uốn

1 5

;

9

3

  

  làm tâm đối xứng

y  x  mx x x m

Nếu m 0 thì 2

0

x  m với mọi x nên đồ thị không có 3 điểm cực trị

Nếu m 0 thì y  0 khi x 0,x  m nên đồ thị có 3 điểm cực trị

Vậy m 0 là giá trị cần tìm

Bài toán 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

y  x x  b)

4

2 3

x

y x 

Giải

Tập xác định D Hàm số chẵn

Sự biến thiên: lim

  

x y và lim

  

x y

y   x  x  x x  y   x hoặc x  1

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 0 và nghịch biến trên

khoảng 0; 

Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0, y CÑ  5

 Đồ thị: 2

12 4 0,

y   x   x nên đồ thị không có điểm uốn Cho y    0 x 6 1 

b) Tập xác định D Hàm số chẵn

Sự biến thiên: lim

x y

  

y x x x x y x hoặc x  1

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng 0; , nghịch biến trên khoảng

 ; 0 và đạt cực tiểu tại 0; 3

2

  

 

Đồ thị: 2

6 2 0,

y  x   x nên đồ thị không có điểm uốn

Giao điểm với trục tung 0; 3

2

  

 

Giao điểm với trục hoành  1; 0 và  1; 0

Bài toán 4 Cho hàm số 1 4 2

4

y x  x 

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2) Tìm m để phương trình 4 2

8 12

x  x  m có 8 nghiệm phân biệt

Giải

1) Tập xác định D Hàm số chẵn

Sự biến thiên: 3  2 

y x  xx x 

0 0

y   x hay x  2

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  2; 0, 2; , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

  ; 2,  0; 2

Hàm số đạt cực đại tại x 0,y CÑ  3 đạt cực tiểu tại

2, CT 1

x  y  

Đồ thị:

Đồ thị (C) hàm số nhận Oy làm trục đối xứng

2) Ta có phương trình: 4 2 1 4 2

m

x  x   m x  x  

Đồ thị  C của hàm số 1 4 2

4

y x  x  được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách giữ nguyên phần nằm phía trên Ox, còn phần nằm phía dưới Ox thì lấy đối xứng qua Ox

Số nghiệm của phương trình 1 4 2

m

x  x   là giao điểm của đồ thị  C và đường thẳng

4

m

y

Dựa vào đồ thị, phương trình có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 1 0 4

4

m

m

    

Bài toán 5 Cho hàm số 1 4 3 2

y  x  mx (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 cực trị là 3 đỉnh của tam giác đều

Giải

a) Khi m 1 thì 1 4 3 2

y  x  x

Tập xác định D Hàm số chẵn

Sự biến thiên: lim

x y

  

y   x xx x    x hoặc x 0

y    x hoặc 0  x 3

Hàm số đồng biến trong các khoảng   ; 3 và  0; 3

y     x hoặc 3 x

Hàm số nghịch biến trong các khoảng  3;0,  3; 

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 3,  0; 3 và nghịch biến trên  3;0,  3; 

Hàm số đạt CĐ tại 3;9

4

 

  và CT tại  0; 0

Đồ thị: 2

y   x  , y     0 x 1 nên đồ thị có 2 điểm uốn 1;5

4

 

  Đồ thị cắt trục tung tại điểm  0; 0 , cắt trục hoành tại ba điểm  6;0,  0; 0

y   x mx x x  m

y   x hoặc 2

3

x  m

Điều kiện đồ thị (1) có 3 cực trị là 3m   0 m 0

Khi đó 3 điểm cực trị:   9 2 9 2

0; 0 , 3 ; , 3 ;

16







Bài toán 6 Cho hàm số: 4 2

yx  mx  m , với m là tham số

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 3

2) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông

Giải

1) Khi m 3, hàm số trở thành 4 2

yx  x  Tập xác định D , hàm số chẵn

Sự biến thiên: 3  2 

y  x  x x x 

y   x hoặc x  3

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  3;0,  3;  và

nghịch biến trên khoản   ; 3,  0; 3

Hàm số đạt cực đại tại x 0,y CÑ  5 đạt cực tiểu tại

  CT  

Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận Oy tại trục đối xứng

2) Ta có D ,  2 

4

y  x x m

y   x x m   x hoặc 2

x m

Hàm số có 3 điểm cực trị  y 0 có 3 nghiệm phân biệt m 0

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A  m m  m B m C m m  m

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại BOy A, và C đối xứng nhau qua Oy ABC là tam giác vuông  tam giác ABC vuông cân tại B

2

      hoặc m 0

Vậy chọn m 1

Bài toán 7 Cho hàm số: 4 2

2 1

yx mx  m , với m là tham số

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2

2) Tìm m để đồ thị hàm số cho có 3 điểm cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ

là 4 đỉnh của một hình thoi

Giải

1) Khi m 2, hàm số trở thành 4 2

yx  x  Tập xác định D , hàm số chẵn

Sự biến thiên: 3  2 

y  x  x x x 

y   x ,x  1

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  1; 0 và 1; , nghịch biến trên mỗi khoảng   ; 1 và

 0;1

Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0, giá trị cực đại

 3

CÑ

y ; hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x  1, giá

trị cực tiểu y CT  2

Đồ thị: 2

12 4

y  x  , y  0

Hai điểm uốn 1 ;22

9 3

 

Đồ thị đối xứng nhau qua Oy

2) 3

y  x  mx

3

2

0

2

x





       

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y  0 có 3 nghiệm phân biệt

0

m

 

Khi đó các điểm cực trị:

Vì tam giác ABC cân tại B AC, song song Ox nên O, A, B, C là 4 đỉnh hình thoi khi và chỉ khi OABC là hình thoi

 O và B đối xứng nhau qua

2

O B

A

2

2

2 1



Vậy m  2 2

Bài toán 8 Cho hàm số: 1 4   2  

4

y x  m x  m , với m là tham số

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 0

2) Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ

Giải

1) Khi m 0 hàm số trở thành 1 4 2

2 4

y x x 

Tập xác định D , hàm số chẵn

Sự biến thiên: 3  2 

y x  xx x 

y      x x

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng  2;0 và  2; , hàm số nghịch biến trên các khoảng

  ; 2 và  0; 2

Hàm số đạt cực đại tại x 0 với y CÑ  2; hàm số đạt cực tiểu tại x 2 và x  2 với y CT  1

Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối

xứng

y x  m xx x  m 

2

y    x x  m

Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

1

3 1 0

3

     

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị là:

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại A thuộc trục Oy, B, C đối xứng nhau qua Oy O là trọng tâm của tam giác ABC

 y Ay By C   m   m  m 

2

2 3

1 3

m

m

  



 



Chọn giá trị 1

3

m