Skkn phương pháp song trục giải nhanh bài toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP SONG TRỤC GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM HÀM HỢP LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Họ và tên Nguyễn Thị Sâm Lĩnh vực[.]

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP SONG TRỤC GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM HÀM HỢP

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

1.5 Những điểm mới của SKKN 1

2 NỘI DUNG 2

2.1 Cơ sở lý luận 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3 Phương pháp song trục giải nhanh bài toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số 3

Dạng toán 1: Bài toán cho xét đơn điệu, cực trị hàm (thuận bậc nhất) 3

Dạng toán 2: Bài toán cho xét đơn điệu, cực trị hàm (thuận bậc hai) 6

Dạng toán 3: Cho hàm ngược xét đơn điệu, cực trị của hàm (Bài toán truy ngược hàm cùng bậc nhất) 10

Dạng toán 4: Cho hàm xét đơn điệu, cực trị hàm (u bậc nhất v bậc hai) 13

2.4 Hiệu quả của phương pháp song trục giải nhanh bài toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số 15

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 18

3.1 Kết luận 18

3.2 Kiến nghị 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 19

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong quá trình dạy học toán ở trường THPT Hoằng Hóa, tôi nhận thấy rằng phần bài tập về sự đơn điệu, cực trị của hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số là một trong những nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kì thi với nhiều dạng toán trắc nghiệm có mức độ khó khác nhau Đây luôn là phần bài tập hay và khó, đòi hỏi các em phải có một năng lực vận dụng,

kỹ năng tổng hợp kiến thức và giải nhanh mỗi bài trong bài thi trắc nghiệm Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng và nghiên cứu tài liệu tôi nhận thấy một số vấn đề sau:

Khi gặp các bài toán trắc nghiệm về xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị hay số điểm cực cực liên quan đến đồ thị của hàm số, học sinh thường cố gắng tính đạo hàm và vẽ bảng biến thiên Như vậy, khiến học sinh mất khá nhiều thời gian để giải một câu trắc nghiệm trong đề thi, mà nhiều khi không nhận

ra rằng, nếu áp dụng phương pháp song trục để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm hợp thì cách giải sẽ ngắn gọn và đơn giản hơn nhiều.

Bản thân tôi nhận thấy, nếu học sinh được rèn luyện các bài tập về sự đơn điệu và tìm cực trị của hàm hợp đơn giản đến phức tạp theo hướng tư duy tương tự hóa, khái quát hóa có hệ thống thì các em sẽ thấy rằng mảng kiến thức này không khó như hình dung của các em, từ đó sẽ tạo được niềm yêu thích và hứng thú trong học tập cho các em

Với những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài: “Phương pháp song trục giải

nhanh bài toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tạo ra hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần đơn điệu và cực trị của hàm hợp, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở các trường phổ thông nói chung và trường THPT Hoằng Hóa nói riêng.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp giải nhanh các bài toán trắc nghiệm về xét tính đơn điệu và cực trị của hàm số có liên quan đến đồ thị có thể giải được bằng phương pháp song trục, phát triển các bài toán có thể tổng quát hóa trong chương trình Giải tích 12 và trong các đề thi THPT QG, đề thi đánh giá năng lực

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận.

- Phương pháp điều tra quan sát.

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.

1.5 Những điểm mới của SKKN

Đề tài xây dựng phương pháp song trục để giải nhanh các bài toán trắc nghiệm về hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số từ dễ đến khó một cách có hệ

trắc nghiệm về tìm khoảng đơn điệu, điểm cực trị của hàm hợp liên quan đến

đồ thị hàm số một cách nhanh chóng, chính xác mà không cần phải tính toán trực tiếp Bên cạnh đó ta cũng có thể xây dựng, sáng tạo các bài toán mới hay hơn, khó hơn từ phương pháp song trục Để sử dụng phương pháp song trục trong bài toán hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số một cách hiệu quả, cần nắm vững các kiến thức sau:

Kí hiệu là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng.

2.1.1 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

i) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng thì

ii) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng thì

2.1.2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

i) Nếu với mọi thuộc thì hàm số đồng biến trên

ii) Nếu với mọi thuộc thì hàm số nghịch biến trên

iii) Nếu với mọi thuộc thì hàm số không đổi trên

2.1.3 Định lý

i) Nếu là điểm cực đại của

ii) Nếu là điểm cực tiểu của

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trước khi áp dụng tôi nhận thấy, khi giải các bài toán trắc nghiệm về tính đơn điệu, cực trị của hàm hợp, học sinh giải bằng nhiều phương pháp khác nhau như khảo sát hàm hợp, ghép trục,… có những bài các em làm rất dài và mất khá nhiều thời gian cho bài toán này trong đề thi trắc nghiệm THPT quốc gia, đề thi đánh giá năng lực các trường đại học Vì vậy, phương pháp song trục giúp học sinh giải được bài toán một cách nhanh, ngắn gọn đối với bài toán trắc nghiệm.

Trong quá trình dạy học giải các bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu và cực trị hàm hợp, nếu giáo viên chú trọng xây dựng các bài toán trắc nghiệm về tính đơn điệu, cực trị hàm hợp giải được theo phương pháp song trục và sắp xếp các bài toán một cách logic, có hệ thống, chỉ ra được các yếu tố đặc trưng của bài toán … thì học sinh sẽ dễ dàng tiếp nhận và giải tốt các bài tập trắc nghiệm về dạng này Từ đó, các em sẽ giải nhanh được các bài toán khó hơn,

xử lý linh hoạt hơn khi gặp các bài toán tương tự.

2.3 Phương pháp song trục giải nhanh bài toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số

Dạng toán 1: Bài toán cho xét đơn điệu, cực trị hàm

Bước 2: Kẻ trục thứ 2 là của hàm , ta giải các phương trình:

tìm ra các nghiệm rồi viết lên trục số.

Bước 3: Sao chép lại dáng điệu của hàm vào hàm

Chú ý: Nếu hệ số thì trục số cùng chiều, còn thì trục số ngược chiều

Bài toán 1: Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Giải:

Sử dụng song trục cho bài toán trắc nghiệm như sau:

Bước 1: Ta sẽ vẽ trục xét dấu của hàm (dòng trên ghi các giá trị của x, dòng dưới là dáng điệu đồ thị của )

2

0 2

-2

Bước 2: Ta giải các phương trình

Bước 3: Sao chép lại dáng điệu của hàm vào hàm , nhận

2 3

4 3

Đáp án A.

Bình luận: Đối với bước 2, ta chỉ làm nháp hoặc nhẩm, khi làm thực tế

ta chỉ cần vẽ song trục như hình dưới đây là đủ.

f(3x-2)

2 3

4 3

0 2

-2

Đáp án A.

Bài toán 2: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Giải:

Sử dụng song trục cho bài toán trắc nghiệm như sau:

Bước 1: Ta sẽ vẽ trục xét dấu của hàm (dòng trên ghi các giá trị của x, dòng dưới là dáng điệu đồ thị của )

8 2

-4

Bước 2: Ta giải các phương trình

Bước 3: Sao chép lại dáng điệu của hàm vào hàm

2 1

Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm sau?

Bài 2: Cho hàm số Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số

.

Bài 3: Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình vẽ.

Bước 2: Ta tìm nghiệm của đạo hàm của hàm là , kẻ

Bước 3: Tính , rồi đưa lên hàm , xảy ra hai trường hợp:

+) Nếu , cùng chiều thì bỏ phần bên trái.

+) Nếu , ngược chiều bỏ phần bên phải.

Bước 4: Ta giải các phương trình tìm ra các nghiệm rồi viết lên trục số.

+) Nếu , sao chép dáng điệu phần còn lại của vào phần bên phải , phần bên trái lấy đối xứng cho hợp lý (do tính chất của hàm bậc 2), nếu thì ngược lại.

Chú ý: đổi chiều trục số và mũi tên.

Bài toán 1: Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm số

Sử dụng song trục cho bài toán trắc nghiệm như sau:

Bước 1: (giống dạng 1) Ta sẽ vẽ trục xét dấu của hàm (dòng trên ghi các giá trị của x, dòng dưới là dáng điệu đồ thị của

Bước 2: Ta tìm nghiệm của đạo hàm của hàm là , kẻ trục của

Bước 3: Tính , rồi đưa lên hàm Do , cùng chiều thì

bỏ phần bên trái

Hàm số có 3 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.

Đáp án A.

Bài toán 2: Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Giải:

Sử dụng song trục cho bài toán trắc nghiệm như sau:

Bước 1: (giống dạng 1) Ta sẽ vẽ trục xét dấu của hàm (dòng trên ghi các giá trị của x, dòng dưới là dáng điệu đồ thị của

Bước 2: Ta tìm nghiệm của đạo hàm của hàm là , kẻ trục

Bước 3: Tính , rồi đưa lên hàm Do , ngược chiều thì

bỏ phần bên phải

Bước 4: Ta giải các phương trình rồi viết lên trục

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Bài 2: (Sở GD&ĐT Hà Nội - Lần 1 - 2018) Cho hàm số Biết

biến trên khoảng nào?

Bài toán 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , hàm số

có đồ thị như hình vẽ dưới đây Số điểm cực trị của hàm số là:

A 0 B 1 C 3 D 2.

Giải:

Sử dụng song trục cho bài toán trắc nghiệm như sau:

Bước 1: Ta sẽ vẽ trục xét dấu của hàm (dòng trên ghi các giá trị của x, dòng dưới là dáng điệu đồ thị của (nghiệm bội lẻ)

Bước 2: Thế -1 ; 0 vào x - 2 sau đó cho bằng -4x+2:

Bước 3: Sao chép lại dáng điệu (ngược chiều nên trục số và mũi tên đổi

chiều)

Đáp án D

Bài toán 2: Cho hàm số có đạo hàm trên Biết rằng hàm số

Bước 2: Thế -1 ; 0 vào 3 – 2x sau đó cho bằng x:

Bước 3: Sao chép lại dáng điệu ( nên trục số và mũi tên đổi chiều)

Đáp án B.

Bài toán 3: Cho hàm số liên tục trên Đồ thị như hình vẽ (dạng đồ thị của hàm số đa thức bậc ba) Hàm số nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?

Giải:

Sử dụng song trục cho bài toán trắc nghiệm như sau:

( nên mũi tên và trục số không đổi chiều)

Đáp án A.

Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho hàm số có đồ thị của hàm như hình vẽ sau.

Bước 3: Tính , rồi giải phương trình rồi mới đưa lên hàm , xảy ra hai trường hợp: cùng chiều thì bỏ phần bên trái ,

ngược chiều bỏ phần bên phải

Bước 4: Ta giải các phương trình tìm ra các nghiệm rồi viết lên trục số (nếu như đếm cực trị thôi thì không cần bước này) Nếu cùng chiều, sao chép dáng điệu phần còn lại của vào phần bên phải , phần bên trái lấy đối xứng cho hợp lý (do tính chất của hàm bậc 2), còn ngược chiều thì ngược lại.

Chú ý: Ngược chiều thì đổi chiều trục số và mũi tên (hai hệ số cao nhất

của u và v trái dấu)

Bài toán 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị

Giải:

Sử dụng song trục cho bài toán trắc nghiệm như sau:

Bước 1: (giống dạng 1) Ta sẽ vẽ trục xét dấu của hàm (dòng trên ghi các giá trị của x, dòng dưới là dáng điệu đồ thị của

Bước 2: Ta tìm nghiệm của đạo hàm của hàm là , kẻ

Bước 3: Tính , rồi giải phương trình rồi mới đưa

Bước 4: Ta giải các phương trình tìm ra các nghiệm rồi viết lên trục số (nếu như đếm cực trị thôi thì không cần bước này).

Chú ý: Ngược chiều thì đổi chiều trục số và mũi tên

Đáp án B.

Bài toán 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Biết hàm số

như hình bên Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Nội dung đề kiểm tra:

Câu 1: Cho hàm số có bảng dấu như sau:

Câu 2: Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên Hàm

Câu 3: Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:

Câu 4: Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới.

Câu 5: Cho hàm số có đạo hàm trên và có bảng xét dấu dưới đây:

Câu 8: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và hàm số

có bảng biến thiên như hình vẽ:

Căn cứ vào kết quả kiểm tra tôi nhận thấy, đề tài đã phát huy tác dụng trong việc nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề: Phương pháp song trục giải

nhanh bài toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số Khi chấm bài làm của học sinh tôi thấy các em đã tiếp thu khá tốt và biết cách vận dụng phương pháp vào giải các bài tập tương tự

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

“Phương pháp song trục giải nhanh bài toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số” phù hợp với nhận thức của học sinh trung bình, khá, giỏi lớp 12.

Việc dạy học sinh dùng phương pháp (chứ không phải dùng công cụ) đáp ứng và kích thích được sự hứng thú, ham tìm hiểu của học sinh khá, giỏi Phản ứng tích cực mà tôi nhận được từ các em học sinh đã làm cho tôi cảm nhận được niềm vui nghề nghiệp và làm cho quan hệ cô trò của chúng tôi gắn

bó hơn.

Ưu điểm của việc áp dụng phương pháp này là học sinh giải nhanh, chính xác bài toán trắc nghiệm hàm hợp liên quan đến đồ thị hàm số Nhược điểm là phương pháp này vẫn hạn chế giải một số dạng toán như: tìm giá trị cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

3.2 Kiến nghị

Đề tài này có thể là không lạ đối với những ai yêu và thích nghiên cứu Toán Nhưng với mong muốn đáp ứng tinh thần ham học, thích khám phá của học sinh và trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp trong trường, tôi xin đề nghị ban giám hiệu trường THPT Hoằng Hóa phổ biến sáng kiến kinh nghiệm này đến tổ bộ môn toán trong Trường.

Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này được quý thầy, cô, đồng nghiệp phát triển và dạy cho học sinh trung bình, khá, giỏi lớp 12 ở trường THPT Hoằng Hóa Trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự trao đổi của các em học sinh và góp ý của đồng nghiệp và hội đồng chuyên môn trong trường về đề tài này.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 5 tháng 5 năm 2022 Tôi cam đoan đây là SKKN của tôi viết, không sao chép nội dung của người khác.

Người viết

Nguyễn Thị Sâm

Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh Đoàn Quỳnh Ngô Xuân Sơn Đặng Hùng Thắng - Lưu Xuân Tình, Nhà xuất bản giáo dục.

-3 Rèn kĩ năng giải toán Trắc nghiệm 12, Trần Đình Thì - Thái Văn Quân, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.

4 Đề thi THPT Quốc gia các năm 2018 đến nay.

5 Tuyển tập các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường trên cả nước.

6 Đề thi học sinh giỏi lớp 12 các tỉnh và thành phố.