Khao sat va ve do thi ham da thuc

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục toạ độ... a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 3.. b Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM ĐA THỨC

Dạng toán 1, HÀM SỐ BẬC BA Điểm uốn của đồ thị:

Cho y f x  có đạo hàm cấp 2 trên một khoảng (a;b) chứa điểm x0

Nếu f x0  0 và f " x đổi dấu khi x qua điếm x0 thì I x 0 ;f x 0  là điểm uốn của đường cong  C :y f x 

Điểm uốn I x 0 ;f x 0  của đường cong  C :y f x  thì một trong 2 khoảng a x, 0, x b0 , tiếp tuyến tại điểm I nằm phía trên đồ thị còn ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới

đồ thị

Nếu y p x y   r x  thì tung độ điểm uốn tại x0 là y0 r x 0

Sơ đồ chung về khảo sát và vẽ đồ thị: Gồm 3 bước:

- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục toạ độ

- Vẽ đúng đồ thị, hàm bậc 3 có tâm đối xứng là điểm uốn

2) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng g x m ,  0

Đưa phương trình về dạng f x   h m trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị

 C :y f x  số nghiệm là số giao điểm của đồ thị  C với đường thẳng yh m 

Bài toán 1 Cho hàm số 3 2  

yx  mx  m x (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C khi m  1 Chứng minh  C có tâm đối xứng b) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A1; 9  

Giải

a) Khi m  1 thì 3 2

yx  x Tập xác định D

Sự biến thiên lim

Chox   0 y 1

Chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến : 1

1

x X OI

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm phân biệt của phương trình 3

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 1 và 1; , nghịch biến trên khoảng  1;1 Hàm số đạt cực đại tại x   1, y CĐ 5 và đạt cực tiểu tại x 1, y CT   3

Đồ thị: y  12 ,x y    0 x 0 nên điểm uốn I 1; 0 là tâm đối

Dựa vào đồ thị (C), ta được:

- Nếu m 5 hoặc m  3 thì phương trình có 1 nghiệm

- Nếu m 5 hoặc m  3 thì phương trình có 2 nghiệm

- Nếu    3 m 5 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Bài toán 3 Cho hàm số 1 3   2  

3

y x  m x  m x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 0

b) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng  0;3

Sự biến thiên lim





Vì a   1 0 nên điều kiện đồng biến trên (0; 3):

Hàm số không có cực trị Bảng biến thiên:

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  3

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 1 và 1; , hàm số nghịch biến trên khoảng  1;1

Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại  2; 0 , cắt Oy tại điểm0; 2  ,

Vậy các đồ thị đi qua điểm cố định M 1;0

Bài toán 6 Cho hàm số: 1 3

3 4

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1

2) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;3 và   1; , hàm

nghịch biến trên khoảng   3; 1

Hàm số đạt cực đại tại x  3,y CÑ  1 và đạt cực tiểu tại

32 3,

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 1 và 3; ; nghịch biến trên khoảng  1;3

Hàm số đạt cực đại tại x  1, y CÑ 0 và đạt cực tiểu tại 3, 32

nên đồ thị  C giữ nguyên phần đồ

thị  C khi x 5 và lấy đối xứng phần x 5 của  C qua Ox

Bài toán 9 Cho hàm số 3 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 0

b) Tìm các giá trị m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng  0; 2

Ta có g x  6x 6,g x    0 x 1

Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm là m  3

Bài toán 10 Cho hàm số 3 2

yx  x  mx m  , m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 3

b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 4 65

a) Khi m 3 hàm số trở thành 3 2

yx  x  x Tập xác định D

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 và 3; , nghịch biến trên  1;3

Hàm số đạt cực đại khi x 1, y CÑ  3 và đạt cực tiểu tại x 3, y CT   1

Đồ thị:y  6x 12,y    0 x 2 nên tâm đối xứng là điểm uốn I 2;1

1 ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2

2) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị sao cho điểm I 3;1 nằm trên đường thẳng đi qua 2 cực trị

Giải

1) Khi m 2, hàm số trở thành 3 2

y x  x  Tập xác định D

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 0 và 1; , nghịch biến trên khoảng  0;1

Hàm số đạt cực đại tại x 0,y CÑ  2 và đạt cực tiểu tại x 1, y CT  1

Đồ thị: y  12x 6;

1 0

b) Biện ỉuận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2 3 2

Ta có y    5 x 1 hoặc x 5;y  27 khi x  3 hoặc x 3

Dựa vào đồ thị, ta có:

Khi m  3 hoặc m 5 thì PT có 1 nghiệm

Khi m  3 hoặc m = -1 hoặc m 5 hoặc m 3 thì PT có 2 nghiệm Khi    3 m 5,m  1,m 3 thì PT có 3 nghiệm

- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục toạ độ

- Vẽ đúng đồ thị, hàm trùng phương là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng

Các dạng đồ thị hàm trùng phương: 4 2

yax bx c a

Chú ý:

Điểm đặc biệt của họ đồ thị:  C m :y f x m , 

1) Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua:

Bài toán 1 Cho hàm số

4 2

1 2

4

x

y  x  a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Biện luận số nghiệm của phương trình:

4 2

Nếu m 1 thì phương trình có 3 nghiệm

Nếu 1 m 5 thì phương trình có 4 nghiệm

Nếu m 5 thì phương trình vô nghiệm

Bài toán 2 Cho hàm số 4 2 3 2

x  m với mọi x nên đồ thị không có 3 điểm cực trị

Nếu m 0 thì y  0 khi x 0,x  m nên đồ thị có 3 điểm cực trị

y  x   x nên đồ thị không có điểm uốn

Giao điểm với trục tung 0; 3

2

Giao điểm với trục hoành  1;0 và  1; 0

Bài toán 4 Cho hàm số 1 4 2





y x  x  được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách giữ nguyên

phần nằm phía trên Ox, còn phần nằm phía dưới Ox thì lấy đối xứng qua Ox

Số nghiệm của phương trình 1 4 2

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 cực trị là 3 đỉnh của tam giác đều

0

9 4



1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 3

2) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  3; 0,  3;  và

nghịch biến trên khoản   ; 3,  0; 3

Hàm số đạt cực đại tại x 0,y CÑ  5 đạt cực tiểu

Hàm số có 3 điểm cực trị y  0 có 3 nghiệm phân biệt m 0

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2

2) Tìm m để đồ thị hàm số cho có 3 điểm cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  1;0 và 1; ,

nghịch biến trên mỗi khoảng   ; 1 và  0;1

Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0, giá trị cực đại

 O và B đối xứng nhau qua

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 0

2) Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ

Giải

1) Khi m 0 hàm số trở thành 1 4 2

2 4

Hàm số đạt cực đại tại x 0 với y CÑ  2; hàm số đạt

cực tiểu tại x 2 và x  2 với y CT  1

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại A thuộc trục Oy, B, C đối xứng nhau qua Oy O

là trọng tâm của tam giác ABC

1 3

BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài toán 1 Cho hàm số 3   2  

yx   m x  m x m  (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 2

b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

Bài toán 3 Cho hàm số 3   2   1

yx  x  x  x  x  x   f x  nên đồ thị được suy ra từ

đồ thị đã vẽ theo phép tịnh tiến sang phải 1 đơn vị rồi lên trên 2 đơn vị

Bài toán 6 Cho hàm số

4 2

4

x

y a bx  (a và b là tham số)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a 2,b 3

b) Tìm a và b để hàm số đã cho đạt cực đại bằng 4 khi x 2

HD-ĐS

a) Khi a 2 và b 3 ta có hàm số

4 2

2 3

4

x

y  x Tập xác định D Hàm số chẵn

Sự biến thiên: lim

  

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 5

Với m 0 thì y    0 x 0 hoặc 2 1

4

x m

b) Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị Tìm phương trình parabol 2

yax bx c đi qua các điểm cực trị đó