TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I... CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I.
Trang 1
1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp:
xét tính đ n đi u c a hàm s y = f(x) ta th c hi n các b c sau:
B c 1: Tìm t p xác đ nh c a hàm s
B c 2: Tính đ o hàm y’
B c 3: Gi i ph ng trình y’=0
B c 4: Tính các gi i h n ( n u c n)
B c 5: L p b ng bi n thiên c a hàm s T đĩ, đ a ra k t lu n
Chú ý: Trong tr ng h p ph ng trình y’ = 0 vơ nghi m, t c là hàm s luơn đ ng bi n ho c ngh ch bi n, ta cĩ th b qua b c 5 ( l p b ng bi n thiên )
Ví dụ:
Ví d 1: Cho hàm s (C ): y = 2x3 -3x2 + 1
a Kh o sát s bi n thiên c a (C ) ?
b Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình sau: 2x3
-3x2–m = 0 (1)
ả ng d n:
a/ - Mi n xác đ nh: D = IR
- o hàm: y’ = 6x2– 6x , Gi i ph ng trình: y’=0 <=> 6x2– 6x = 0 < = > x=0 v x= 1 ( nh n)
-Gi i h n:
y
y
xlim
- B ng bi n thiên:
V y: * Hàm s đ ng bi n trên các kho ng (;0) và (1; )
* Hàm s ngh ch bi n trên kho ng (0;1)
b/ Vi t l i ph ng trình d i d ng: 2x3
-3x2 + 1 = m +1 Khi đĩ , s nghi m c a ph ng trình bang s giao đi m c a (C ) v i đ ng th ng (d): y = m +1
D a vào b ng bi n thiên ta nh n đ c k t lu n:
* V i m + 1 < 0 m < -1: Ph ng trình (1) cĩ m t nghi m
*V i m +1 = 0 m =-1: Ph ng trình (1) cĩ 2 nghi m phân bi t
* V i 0<m+1<1 -1<m<0: Ph ng trình (1) cĩ ba nghi m phân bi t
* V i m+1 = 1 m = 0: Ph ng trình (1) cĩ hai nghi m phân bi t
* V i m +1 >1 m > 0: Ph ng trình (1) cĩ m t nghi m
Áp d ng: Cho hàm s y = x3– 3mx2
+ 3(m2– 1)x- (m2
-1) Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ hàm s c t
tr c Ox t i 3 đi m phân bi t v i hồnh đ d ng
Gi i
Mi n xác đ nh: D=IR , y’=3x2
-6m x +3(m2-1 ) ’ = m2 - m2+ 1 = 1 > 0 , v i m i m
y’=0 xm a x = m -1, xm i n = m +1
ph ng trình(1) cĩ 3 nghi m d ng phân bi t khi và khi:
0 ) 1 (
0 1 , 0 1
0 ) 1 2 )(
3 )(
1 (
0
0 ,
0
0 ,
0 '
2
2 2
2
min max
min max
m m
m m
m m m
m
d a
x x
y y
Trang 2Ví d 2:Cho hàm s y x 3
có đ th (C)
1.Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C)
2.Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đ ng th ng (d) : y = mx + 1 c t đ th c a hàm s đã cho t i hai
đi m phân bi t
Gi i:
1/ - TX D=R\ 2
- ; 2
)
2
(
1
x
y >0 v i m i x D
- TC x=2 vì
lim
; lim
x x
y y
- TCN y= 1 vì lim 1
x y
- B ng bi n thiên:
x=0 => y=3/2
y=0 => x=3
2/ Ph ng trình hoành đ c a (C ) và đ ng th ng y mx 1 :
x 3 mx 1 g(x) mx2 2mx 1 0 , x 1
x 2
(1)
(C ) và (d) c t nhau t i hai đi m phân bi t ph ng trình (1) có hai nghi m phân bi t khác 2 0 2 0 0 2 ; g m m m
0 1 1 0 0 m m m m0m1 Áp d ng: Cho hàm s y 1x4 2x2 4 có đ th (C) 1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho 2 Vi t ph ng trình các ti p tuy n c a đ th (C) t i đi m có hoành đ x0 th a y '' x 0 1 Gi i: a/ 1 4 2 y x 2x 4 , TX : D R , y ' x3 4x, 3 x 0 y 0 y ' 0 x 4x 0 x 2 y 4 - Gi i h n: x lim y ; x lim y B ng bi n thiên x −∞ −2 0 2 +∞
y' + 0 − 0 + 0 −
y 4 4
−∞ 0 −∞
*Hàm s đ ng bi n trên t ng kho ng (−∞;−2) và (0;2) *Hàm s ngh ch bi n trên t ng kho ng (−2;0) và (2;+∞) *Hàm s đ t c c đ i t i x 2, yC = 4 Hàm s đ t c c ti u t i x = 0, yCT = 0 * i m đ c bi t: 2;0 ; 2;0 b/Vi t ph ng trình các ti p tuy n c a đ th (C) t i đi m có hoành đ x0 th a y '' x 0 1 3 y ' x 4x, 2 y '' 3x 4 2 7 x 1 y 4 y '' 0 x 1 7 x 1 y 4 1
2
Pttt:
4
2
x y
-2
Trang 3
2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
B c 1: Tìm TX
B c 2: Tính y’
B c 3: Gi i ph ng trình y’ = 0
B c 4: L a ch n m t trong 2 h ng
ả ng 1: N u xét d u đ c y’ thì l p b ng bi n thiên r i đ a ra k t lu n vào đ nh lý:
nh lý i: N u hàm s y=f(x) cĩ đ o hàm trong kho ng (a;b) và y’(x0) = 0 v i x0 thu c (a;b)
a N u qua x0đ o hàm đ i d u t âm sang d ng thì hàm s đ t c c ti u t i xo
b N u qua x0đ o hàm đ i d u t d ng sang âm thì hàm s đ t c c đ i t i x0
ả ng 2: N u khơng xét d u đ c y’ thì :
Tìm đ o hàm b c hai y’’
Tính y’’(x0) r i đ a ra k t lu n d a vào đ nh lý:
nh lý ii: N u hàm s y=f(x) cĩ đ o hàm trong kho ng (a;b) và y’(x0) = 0 v i x0 thu c (a;b)
a N u y’’(x0) < 0 thì hàm s đ t c c đ i t i đi m x0
b N y y’’(x0) > 0 thì hàm s đ t c c ti u đ i đi m x0
Cách 1:
Ta cĩ đi u ki n: => D= [ ; ]
o hàm:
y’=
y’=0 => x =
B ng bi n thiên:
V y hàm s đ t c c đ i t i x = và đ t c c đ i c a hàm s là f( ) =
Cách 2:
Ta cĩ đi u ki n: => D= [ ; ]
o hàm:
y’=
y’=0 => x =
Ta cĩ: y’’ = => y’’(0) < 0
V y, hàm s đ t c c đ i t i x = và giá tr c c đ i c a hàm s là f( 0) =
Trang 4***_-_***
QUY T C QUAN TR NG TRONG BÀI TOÁN C C TR
Bài t p áp d ng:
1 Tìm c c tr , n u có, c a hàm s :
Y = (1+cosx).sinx
2 Tìm c c tr , n u có, c a hàm s :
2
3 2 cos sin
y
áp án:
1
- Mi n xác đ nh: D=
- o hàm: y’ =
y’’=
* y’=0
Ta có:
V i x = ta nh n đ c: y’’( ) = 0
=> x= không ph i là đi m c c tr c a hàm s
V i x = ta nh n đ c: y’’ ( ) < 0
=> Hàm s đ t c c đ i t i các đi m x = , k thu c Z
V i x = , ta nh n đ c: y’’( ) > 0
=> Hàm s đ t c c ti u t i các đi m x = , k thu c Z
1 Hàm s có c c tr h sau có nghi m thu c D
0 '
0 ' y y
2.Hàm s đ t c c ti u h sau có nghi m thu c D
0 '
0 ' y y
3.Hàm s có c c đ i h sau có nghi m thu c D
0 '
0 ' y y
4 Hàm s đ t c c ti u t i x0đi u ki n là:
0 ) ( ' 0
0 0
x y
han toi
điêi
là x
D x
5 Hàm s đ t c c đ i t i x0đi u ki n là:
0 ) ( ' 0
0 0
x y
han toi
điêi
là x
D x
Ngoài ra, v i hàm đa th c y = f(x) thì đi u ki n đ
“Hàm s đ t cu c tr t i đi m x0” là
0 ) ( '
0 ) ( '
0
0
x y x y