Năm 2022 cũng là năm tiếp tục thực hiện công cuộc đổi mới căn bản, toàndiện giáo dục và đào tạo theo tinh thần Nghị quyết 29 và Nghị Quyết Đại hộiĐảng lần thứ XIII, trong đó, Bộ Giáo dục
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Hàm số bậc hai được cho bởi công thức
Tập xác định của hàm số này là
Hàm số đã học ở lớp 9 là một trường hợp riêng của hàm số này.
2.1.2 Đồ thị của hàm số bậc hai. Đồ thị của hàm số là một đường parabol có đỉnh là điểm , có trục đối xứng là đường thẳng , Parabol này quay bề lõm lên trên nếu , xuống dưới nếu
Cách vẽ Để vẽ parabol , ta thực hiện các bước:
1) Xác định tọa độ của đỉnh
3) Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm ) và trục hoành (nếu có).
Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn.
Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số ( bề lõm quay lên trên, bề lõm quay xuống dưới).
2.1.3 Chiều biến thiên của hàm số.
Dựa vào đồ thị của hàm số , ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp và như sau:
Từ đó, ta có định lí dưới đây Định lí
* Nếu thì hàm số nghịch biến trên khoảng ; đồng biến trên khoảng
* Nếu thì hàm số đồng biến trên khoảng ; nghịch biến trên khoảng
2.1.4 Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = f x ( ) và trục hoành.
Giao điểm của đồ thị hàm số y= f x( ) với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f x( ) =0.
( ) y= f x có đồ thị như hình bên
Suy ra phương trình f x( )=0 có hai nghiệm
Chú ý: Muốn tìm giao điểm của hai đồ thị và Ta xét phương trình hoành độ giao điểm (1).
+ Nếu phương trình (1) có nghiệm thì hai đồ thị có điểm chung.
+ Để tìm tung độ giao điểm ta thay nghiệm vào hoặc để tính
2.1.5 Phép biến đổi đồ thị.
Cho hàm số có đồ thị (C) Khi đó, với số a > 0 ta có:
1) Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên a đơn vị.
2) Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị.
3) Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị.
4) Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải a đơn vị.
5) Hàm số có đồ thị (C’) bằng cách: x y
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy , bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái Oy
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy
6) Hàm số có đồ thị (C’) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.1 Thực trạng của vấn đề
Trong chương trình toán THPT, đặc biệt là phần Đại số lớp 10, hàm số đóng vai trò là kiến thức nền tảng quan trọng giúp học sinh khám phá các bài toán liên quan và ứng dụng thực tế Tuy nhiên, các sách giáo khoa, sách bài tập cũng như sách đọc thêm vẫn chưa khai thác hết những tiềm năng và ưu điểm của nội dung này, khiến học sinh chưa tận dụng tối đa khả năng của hàm số trong học tập và thực tiễn.
Nhiều học sinh nắm vững kiến thức toán học về lý thuyết nhưng gặp khó khăn trong việc vận dụng vào các dạng bài tập thực tế, đặc biệt là học sinh lớp 10 mới chuyển từ lớp 9 Đặc biệt, các em còn lúng túng khi tiếp cận nội dung về hàm số và cách khai thác đồ thị hàm số, như đồ thị hàm số bậc hai để giải các bài tập trắc nghiệm Việc đọc yếu tố đồ thị, xác định tương giao, cực đại, cực tiểu, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên là những kỹ năng mà học sinh cần được hướng dẫn rõ ràng hơn.
Trong phương pháp đổi mới thi cử hiện nay, việc đề cập đến các bài toán đồ thị đa dạng từ nhận biết đến vận dụng cao đòi hỏi học sinh không chỉ thành thạo các công thức toán học mà còn cần xây dựng nền móng kiến thức vững chắc từ lớp 10 Học sinh cần luyện tập thường xuyên và tích lũy nhiều kinh nghiệm để rèn luyện kỹ năng suy luận và giải quyết các bài toán một cách chính xác, đầy đủ.
Trước những thách thức của việc giúp học sinh lớp 10 mới lên gặp khó khăn với các bài toán phức tạp, tôi đặt câu hỏi làm thế nào để các em có thể vượt qua và phát triển kiến thức vững chắc cho kỳ thi lớp 12 Việc xây dựng nền tảng kiến thức nền tảng và kỹ năng tư duy logic là điều cần thiết để giúp học sinh tự tin đối mặt với các dạng bài toán khó khăn hơn trong tương lai Đồng thời, tạo ra các phương pháp giảng dạy phù hợp và hiệu quả là chìa khóa để thúc đẩy sự tiến bộ của các em trong hành trình học tập.
Các học sinh còn gặp khó khăn trong việc vận dụng linh hoạt kiến thức về hàm số bậc hai để giải quyết các dạng bài tập liên quan một cách hiệu quả Việc nắm vững và áp dụng đúng các công thức, quy tắc liên quan đến hàm số bậc hai sẽ giúp các em khai thác tối đa khả năng trong giải quyết các dạng toán liên quan Để nâng cao kỹ năng xử lý các bài tập về hàm số, các em cần luyện tập đều đặn và rèn luyện tư duy logic linh hoạt hơn trong việc vận dụng kiến thức.
- Thời gian để làm dạng này còn chưa nhanh, đang còn lúng túng.
Nhiều người học chỉ nắm kiến thức một cách máy móc và hình thức, dẫn đến dễ mắc lỗi trong việc xác định dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số và hàm số bậc hai Việc hiểu đúng bản chất và cấu trúc của các dạng bài tập này là rất quan trọng để tránh những sai lầm phổ biến và đạt được hiệu quả cao trong quá trình học tập.
Hiện tại, hơn 90% bài tập trong bộ sách giáo khoa hiện hành là dạng tự luận và được thiết kế theo phương pháp truyền thống Các bài tập khai thác giải bài toán liên quan đến đồ thị hàm số, thường xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia, lại không có trong SGK và SBT Do đó, chúng tôi đã điều chỉnh phương pháp dạy phần này bằng cách áp dụng các hướng tiếp cận phù hợp để giúp học sinh làm quen và chuẩn bị tốt hơn cho các dạng bài tập thực tế và đề thi.
Để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải các dạng toán khai thác đồ thị hàm số, học sinh cần tham khảo các tài liệu, đề thi kiểm tra giữa kỳ, cuối kỳ và khảo sát chất lượng theo hướng thi Tốt nghiệp THPT hàng năm của các trường Việc trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp giúp hình thành một chuyên đề về dạng toán này, tạo nền tảng vững chắc để các em dễ dàng khai thác đồ thị các hàm số lớp 12 trong tương lai.
Trong thời gian rảnh trên lớp, trong các giờ chính khóa và giờ học thêm, giáo viên tập trung hướng dẫn học sinh kỹ năng khai thác đồ thị hàm số và giải các bài toán liên quan, giúp nâng cao khả năng phân tích và hiểu sâu về đồ thị hàm số Đồng thời, giáo viên xây dựng hệ thống bài tập phong phú để học sinh thực hành, từ đó củng cố kiến thức và nâng cao khả năng vận dụng trong các bài tập thực tế.
Hiện nay, số lượng bài tập dạng này còn hạn chế và thời lượng chưa đủ, chủ yếu dựa vào việc tích lũy các đề thi rải rác trên toàn quốc Điều này khiến các giáo viên gặp nhiều khó khăn trong quá trình giảng dạy, do thiếu tài liệu phù hợp để nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập.
2.2.4 Kết quả của thực trạng.
Dựa trên thực tế này, tôi đã tiến hành khảo sát học sinh tại các lớp 10B5 và 10B6 sau khi hoàn thành chương 2 - Hàm số bậc nhất và bậc hai của môn Toán lớp 10 Trong bài kiểm tra kéo dài 45 phút, các em được kiểm tra kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai, đặc biệt là bài toán về phép xác định giao điểm của hai đồ thị hàm số Đề bài được đưa ra dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm từ nhận biết đến vận dụng cao, đồng thời yêu cầu các em trình bày lời giải rõ ràng để tránh tình trạng lụi đáp án Phương pháp khảo sát này giúp đánh giá chính xác khả năng của học sinh trong việc vận dụng kiến thức về đồ thị hàm số bậc hai trong các dạng bài tập khác nhau.
Kết quả như sau: Bảng thống kê điểm kiểm tra
Giải quyết vấn đề
Sự tương giao giữa parabol với đồ thị các hàm số khác.
2.3.1 Dạng 1 Sự tương giao đồ thị của các hàm số tường minh số liệu
Phương pháp: Giao điểm của đồ thị hàm số y= f x( ) với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f x ( ) =0.
Chú ý: Muốn tìm giao điểm của hai đồ thị và Ta xét phương trình hoành độ giao điểm (1).
+ Nếu phương trình (1) có nghiệm thì hai đồ thị có điểm chung.
+ Ta thay nghiệm vào hoặc để tìm tung độ giao điểm
Ví dụ 1 Giao điểm của parabol với đườg thẳng là
Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm:
Ví dụ 2 Hoành độ giao điểm của đườg thẳg với là
Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm:
Ví dụ 3 Gọi và là tọa độ giao điểm của và
Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm:
Ví dụ 4 Cho parabol có phương trình thỏa mãn
Số giao điểm của và trục hoành là
Phương trình có nên có hai nghiệm phân biệt Vậy cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt Chọn C.
Ví dụ 5 Cho hai parabol có phương trình và Biết hai parabol cắt nhau tại hai điểm A và B ( ) Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol:
Do đó hai giao điểm là và
2.3.2 Dạng 2 Biện luận tương giao đồ thị theo tham số m
- Dựa vào đồ thị của hàm số hoặc bảng biến thiên của hàm số để xác định số nghiệm của phương trình
Số nghiệm của phương trình tương ứng với số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = c, đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c Để xác định số nghiệm, ta cần tìm số điểm mà đồ thị của hàm số và đường thẳng y = c giao nhau trên mặt phẳng tọa độ Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng này, phản ánh chính xác số nghiệm của phương trình đã cho.
Chú ý: Có thể dùng phương pháp giải và biện luận phương trình theo biệt số
Ví dụ 1 Giá trị nào của thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ?
Hướng dẫn Cho (1) Để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Chọn D.
Ví dụ 2.Hàm số có đồ thị như hình bên Tìm các giá trị để phương trình vô nghiệm. x y
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của parabol và đường thẳng Yêu cầu đề bài Chọn D.
Ví dụ 3 tập trung vào việc xác định số lượng giá trị của m nguyên trong một nửa khoảng sao cho đường thẳng cắt parabola tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía với trục tung Để giải bài toán này, cần phân tích điều kiện của phương trình cắt parabola, đồng thời tìm các giá trị m thỏa mãn phù hợp với yêu cầu đề bài Việc xác định số lượng giá trị nguyên m trong khoảng cho phép hiểu rõ về mối quan hệ giữa đường thẳng và parabola, đảm bảo hai điểm cắt nằm cùng phía trục tung Bài toán này mang ý nghĩa quan trọng trong việc ứng dụng lý thuyết hình học và phương trình trong môn toán học, đồng thời giúp nâng cao khả năng phân tích và tư duy logic của học sinh.
Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của d và :
. d cắt tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt cùng đấu
Vậy có 6 giá trị m nguyên trong nửa khoảng thỏa mãn đề bài Chọn A.
Ví dụ 4 trình bày về parabol và đường thẳng có tham số m, trong đó khi parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N, tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN thể hiện mối liên hệ đặc biệt Đây là một bài toán điển hình giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa hình học và tham số m trong các bài toán tọa độ Việc xác định trung điểm I của đoạn MN giúp mở rộng kiến thức về tính chất các điểm trung bình trong hình học phân tích Các kết quả này hỗ trợ trong việc vận dụng lý thuyết để giải các bài toán liên quan đến parabol, đường thẳng và các hệ quả của chúng.
A một parabol B một đường thẳng C một đoạn thẳng D một điểm.
Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của và :
Hai hệ số có giá trị a và c trái dấu nên luôn cho hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m Do đó, đồ thị của các hàm số này luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt Điều này đảm bảo rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cho mọi m, giúp xác định các nghiệm một cách rõ ràng và chính xác.
Theo Viet ta có Ta có
Vậy I luôn thuộc parabol với mọi m Đáp án A.
Chú ý: Cho hai điểm , Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
Ví dụ 5 trình bày về hàm số có đồ thị cụ thể, xác định tập hợp các giá trị của tham số sao cho đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt, với điều kiện trung điểm I của đoạn thẳng nằm trên đường thẳng Bài toán yêu cầu tính tổng bình phương các phần tử của một tập hợp đặc biệt liên quan đến các tham số và vị trí của trung điểm trong mối quan hệ với đường thẳng và đồ thị hàm số Điều này giúp hiểu rõ hơn về các điều kiện cắt và vị trí của các điểm giao nhau giữa đường thẳng và đồ thị hàm số.
Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của và là:
(1). Đề d cắt tại 2 điểm phân biệt
Gọi là 2 nghiệm của phương trình (1), khi đó ,
Theo Viét ta có nên
2.3.3 Dạng 3 Bài toán tương giao đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp:
* Hàm số có đồ thị (C’) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy , bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái Oy
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy
* Hàm số có đồ thị (C’) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox
Ví dụ 1 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt?
Cách 1: Số nghiệm của là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng
Dễ thấy hàm số là một hàm số chẵn, do đó có đồ thị đối xứng qua trục Oy Mặt khác ta có với
Từ đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số như sau:
- Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số ;
- Bước 2: Xóa phần nằm bên trái trục tung (ứng với ) của đồ thị hàm số
- Bước 3: Lấy đối xứng phần nằm bên phải trục tung (ứng với ) của đồ thị hàm số qua trục tung.
Quan sát đồ thị cho thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt Điều này đồng nghĩa với việc không tồn tại giá trị nguyên nào của m khiến phương trình có đủ bốn nghiệm phân biệt, phản ánh tính chất quan trọng của m trong phân tích đồ thị hàm số và nghiệm của phương trình.
Cách 2: Đặt Phương trình đã cho trở thành (**).
Ta thấy với thì , với thì
Do đó để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì (**) phải có hai nghiệm dương phân biệt
Do đó không có giá trị nguyên nào của m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Với những giá trị nào của tham số thì phương trình có đúng nghiệm phân biệt.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị và đường thẳng Ta có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây.
Do đó phương trình có đúng nghiệm phân biệt
Ví dụ 3 Biết là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đườg thẳng cắt đồ thị hàm số tại bốn điểm phân biệt Tìm
Từ đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số
- Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số ;
- Bước 2: Giữ nguyên phần nằm trên trục Ox của đồ thị hàm số ;
- Bước 3: Lấy đối xứg phần nằm dưới trục Ox của đồ thị hàm số
Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi Vậy Suy ra
Ví dụ 4 Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 6 nghiệm phân biệt là khoảng Tính
Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng
Vẽ đồ thị hàm số :
- Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số
- Bước 2: Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số
- Bước 3: Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số
Quan sát đồ thị ta thấy phương trình có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Vậy Chọn C.
Ví dụ 5 Cho hàm số có đồ thị (như hình vẽ) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm phân biệt?
Hướng dẫn Từ đồ thị suy ra đồ thị của hàm số gồm 2 phần: Phần 1 giữ nguyên phần bên phải trục ; phần 2 lấy đối xứng phần
Từ đồ thị phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt, khác hai 2 nghiệm của phương trình x y
Từ đồ thị , ta có
Do đó có 3 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn B.
Ví dụ 6 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Hỏi với những giá trị nào của tham số thực thì phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt x y
Hướng dẫn Đồ thị hàm số cắt tại Đồ thị hàm số nhận làm đỉnh nên ta có
Ta có đồ thị hàm như hình vẽ.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng Chọn A.
Ví dụ 7 Tìm tất cả các giá trị của để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 4 điểm phân biệt.
Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta đặt x = a và y = b để phân tích Khi đó, ta sử dụng phương trình (2) để xác định các điểm giao nhau của đồ thị hàm số với đường thẳng Đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt, đảm bảo các giao điểm này đều nằm trong khoảng giá trị phù hợp của hàm số.
Cách 2: Vẽ đồ thị hàm số
Dựa vào đồ thị suy ra đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi
Ví dụ 8 Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình có 3 nghiệm thực?
Vẽ đồ thị hàm số và trên cùng 1 hệ trục tọa độ: x y
Từ đồ thị suy ra để phương trình có 3 nghiệm thì Chọn C.
Ví dụ 9 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có đúng ba nghiệm.
Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt GTNN bằng tại và có hệ số Ta biểu diễn được:
Vậy GTNN của bằng tại
BBT của hàm số có dạng:
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng
Dựa vào BBT ta thấy phương trình có đúng ba nghiệm khi Chọn B.
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên, bài toán yêu cầu xác định tất cả các giá trị của tham số sao cho đồ thị hàm số cắt đường thẳng nằm trên cùng một hệ trục tọa độ tại 4 điểm phân biệt Việc tìm các giá trị của tham số này giúp xác định các vị trí giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng, đảm bảo rằng chúng có đúng 4 điểm cắt phân biệt trên cùng hệ trục tọa độ Điều này đòi hỏi phân tích và khai thác điều kiện để hàm số và đường thẳng có đủ các giao điểm phân biệt, phục vụ mục đích nghiên cứu và vẽ đồ thị chính xác.
Từ đồ thị hàm số , ta suy ra cách vẽ đồ thị hàm số như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số ở phía trên trục hoành.
- Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành qua trục hoành.
- Xóa phần đồ thị phía dưới trục hoành.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt
Ví dụ 11 Cho hàm số có đồ thị (như hình vẽ):
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm phân biệt?
Để vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác, bạn cần giữ nguyên phần đồ thị nằm phía bên phải trục tọa độ Sau đó, loại bỏ phần đồ thị nằm bên trái trục và lấy đối xứng phần đồ thị bên phải qua trục để hoàn thiện hình dạng Hướng dẫn này giúp dễ dàng xác định và vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác và trực quan.
* Từ đồ thị , ta có:
- Phương trình có hai nghiệm là
- Yêu cầu đề bài phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác suy ra đường thẳng cắt đồ thị tại bốn điểm phân biệt khác
Ví dụ 12 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
Vẽ đồ thị hàm số
Số nghiệm của bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng , từ đồ thị hàm số ta suy ra có nghiệm phân biệt.
Phương trình có tổng cộng 6 nghiệm phân biệt, được xác định dựa trên số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng Từ đồ thị hàm số, ta nhận thấy số nghiệm của phương trình bằng số điểm cắt của đồ thị với đường thẳng Điều này cho thấy phương trình đã có 6 nghiệm phân biệt, đảm bảo tính phân biệt của các nghiệm này.
Ví dụ 13 Cho đồ thị hàm số như hình bên Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của trong đoạn để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
Từ suy ra như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị của bên phải trục tung.
- Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung.
Từ suy ra như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành.
- Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Khi đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm giữa và đường thẳng Vì vậy đề phương trình có hai nghiệm phân biệt
Vậy có giá trị nguyên của thỏa mãn đề bài Chọn A.
Ví dụ 14 Cho hàm số ,
( : tham số) Số giá trị của để đồ thị nhận trục làm trục đối xứng là
Hướng dẫn Tập xác định: , Đồ thị nhận trục làm trục đối xứng khi
Ví dụ 15 Số các giá trị nguyên của tham số để phương trình:
Với không phải là nghiệm của phương trình.
Với phương trình trở thành Đặt
Phương trình (2) trở thành: Để pt(1) có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm và đường thẳng Xét hàm số có đồ thị như hình vẽ
Dựa vào đồ thị hàm số, để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng suy ra
Suy ra số các giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm là Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Xem phần phụ lục).
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Các giải pháp đã được kiểm nghiệm thực tế trong năm học 2021-2022 tại lớp 10B5, 10B6, cho thấy việc ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về sự tương giao giữa các đồ thị hàm số và hàm số bậc hai mang lại kết quả tích cực Kết quả đánh giá phần này đạt mức độ từ dễ đến khó, chứng tỏ phương pháp dạy học hiệu quả trong việc nâng cao năng lực của học sinh.
Qua điều tra, đa số học sinh đã nắm vững cách giải các bài toán khai thác đồ thị, đặc biệt là trong các dạng liên quan đến đồ thị hàm số và hàm số bậc hai.
Các em học sinh lớp 10 THPT tự tin thực hành làm bài tập và luyện đề trên lớp cũng như ở nhà, góp phần chuẩn bị tốt kiến thức và kỹ năng học tập Việc này giúp các em lĩnh hội kiến thức mới, xây dựng nền tảng vững chắc về phần đồ thị, và khai thác đồ thị trong các bài toán liên quan Những kỹ năng này là nền tảng quan trọng để các em ôn luyện hiệu quả cho kỳ thi lớp 12 sắp tới.
Tôi đã chia sẻ kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng giải các bài toán khai thác đồ thị và các bài toán liên quan đến sự giao thoa giữa các đồ thị hàm số và hàm số bậc hai với các đồng nghiệp môn Toán trong và ngoài trường Nhiều giáo viên đánh giá cao tính khoa học và thực tiễn của đề tài, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập trong lĩnh vực Toán học.