CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 27 docx

Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT... Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Để khảo sát một chuyển động, ta phải biết cách giải phương trình Schrödi

Trang 1

HONG DUC UNIVERSITY

307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

Trang 2

Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT

Trang 3

Để khảo sát một chuyển động, ta phải biết cách giải phương trình Schrödinger

Nhưng việc giải chính xác phương trình như vậy chỉ có thể thực hiện được trong vài

trường hợp rất đặc biệt

Trong những trường hợp khác, ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng

Trong chương này, ta sẽ là quen với một trong những phương pháp giải gần đúng quan trọng nhất:

Coi hamiltonian Hˆ của hạt (hoặc hệ hạt) như là nhận được từ một hamiltonian Hˆ 0

(ứng với một phương trình có thể giải chính xác) bằng tác dụng một “nhiễu loạn”

{Hˆ − Hˆ 0} lên hệ, sau dó “điều chỉnh” nghiệm chính xác ứng với Hˆ0 theo nhiẽu loạn

Trong bài này ta chỉ xét “nhiễu loạn dừng”

tức là {Hˆ − Hˆ 0} không phụ thuộc thời gian

Trang 4

307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

1 Nội dung của phương pháp nhiễu loạn thứ nhất

Như đã nói trên, giả sử

là hamiltonian ứng với phương trình Schrödinger giả được chính xác

Khi đó, ta có thể tìm được các trạng thái dừng

Wˆ là một toán tử cho trước, ε là một hằng số rất nhỏ (từ “rất nhỏ” có ý nghĩa cụ

thể trong những bài toán cụ thể) gọi là tham số nhiễu loạn

Nhiệm vụ của chúng ta là tìm hiểu E và ψ sao cho:

Trang 5

(27.3)

ψ ψ E Hˆ = hay: (Hˆ0 + εWˆ )ψ = Eψ (27.4) Nghiệm của (27.3) sẽ được tìm dưới dạng: (27.5)

∑

=

n

n n

a ψ 0

ψ

Thế (27.5) vào (27.4), ta thu được:

n

n n

a ˆ 0ψ 0 ε ˆψ 0 ψ 0

n

n n

n

a 0ψ 0 ε ˆψ 0 ψ 0

suy ra: ∑ [ ˆ + ( − 0) ] 0 = 0 (27.6)

n n

n

n W E E

Nhân hai vế (27.6) với ψ n*rồi lấy tích phân trong toàn không gian, với giả thiết là hệ

{ }0

n

ψ đã được trực giao và chuẩn hóa (trực chuẩn), ta được:

Trang 6

[ − 0 + ] = 0 ( 27.7)

n

a W

E

δ

trong đó: W mn = ∫ψ m0 *Wˆ ψ n0dv (27.8)

là phần tử của ma trận Wˆ

Các đẳng thức (27.7) cho ta một hệ phương trình bậc nhất với vô số phương trình

(m=1, 2, 3, …) và vô số ẩn số (a 1 , a 2 , a 3,…)

Nhớ rằng các hệ số a 1 , a 2 , a 3 ,…và E là phụ thuộc ε, tức là chúng là các hàm của biến ε,

ta viết chúng dưới dạng chuõi lũy thừa theo ε :

(27.9)

∑+∞ = = 0 ) ( k k k m m a a ε (27.10)

∑+∞

=

0

) (

k

k k

E

Trang 7

Thế (27.9) và (27.10) vào (27.7), hay tiện hơn, thế chúng vào đẳng thức sau (cố nhiên là tương đương với (27.7)):

( 0 − + ) + ∑ = 0 (27.7' )

≠m n

n mn mm

m

ta được

( ) ( )

(27.11)

0

) 0 ( ) 2 ( )

1 ( )

2 ( ) 0 ( 0

) 1 ( ) 1 ( 2

) 0 ( )

1 ( ) 0 ( 0

) 0 ( ) 1 ( )

0 ( ) 0 (

0

= +

+







+







+

−

∑

≠

m n

m

n mn m

m m

mn

n m

n mn m

m m

mn m

m

a E a

W a

E E

a E W

a W a

E E

a E W

a E

E

ε ε

(Ở chỗ dấu chấm (…) là tất cả các số hạng từ bậc 3 trở lên)

Nếu bỏ qua các số hạng từ bậc k+1 trở lên trong khi giải, ta sẽ có xấp xỉ bậc k.

2 Xấp xỉ bậc 0 và bậc 1

Bỏ qua tất cả các số hạng chứa ε, từ (27.9), (27.10), (27.11) ta được

Trang 8

) (27.9'

) 0 ( m m a a = ) (27.10'

) 0 ( E E = (E m( 0 ) - E( 0 ) )a m( 0 ) = 0 (27.11' ) Vì hàm trạng thái = ∑ n n n a ψ 0 ψ không thể đồng nhất bằng 0 nên ít nhất phải có một hệ số a k nào đó khác không Nhưng khi đó, từ (27.11’) ta có E(0) = E m0 với mọi m ≠ k; do đó am ≡ am(0) = 0 với mọi m ≠ k Như vậy, ψ trùng với một trong các trạng thái ψ n0 Bây giờ ta giữ lại thêm số hạng chứa ε (và bỏ qua các số hạng chứa các lũy thừa bậc 2 trở lên) Khi đó. ) ' (27.9'

εa a a m = m(0) + ( m1) ) ' (27.10'

) 1 ( )

0

E

( ( 0 ) - ( 0 )) ( 0 ) + ( − ( 1 )) ( 0 ) + ( ( 0 ) - ( 0 ) ) ( 1 ) + ∑n≠m ( 0 )  = 0 (27.11' ' )

n mn m

m m

mn m

Trang 9

Hong Duc University

k m

mk mn

mk k

mk mn m

k m

Trang 10

với m ≠ k, cũng từ (27.12) ta có: (E m0 - E k0 )a m(1) +W mk = 0

suy ra (với m ≠ k): ( ) (27.14) - 0 0 ) 1 ( k m mk m E E W a = Ta còn phải xác định a k(1) Muốn thế, ta viết lại hàm trạng thái ψ như sau (với a n lấy gần đúng bằng ) 1 ( ) 0 ( n n a a + ε ): ( ) ∑ ∑ (27.15) ∑ ∑ = + = + = n n n n n n n n n n n n n a a a a a ψ 0 (0) ε (1) ψ 0 (0)ψ 0 ε (1)ψ 0 ψ Do a n( 0 ) = δnk nên (27.15) có thể viết lại thành: (27.16)

∑

+

=

n

n n

k0 ε a(1)ψ 0 ψ

ψ

Trang 11

Ta yêu cầu ψ cũng phải được chuẩn hóa

(27.17)

∫ϕ*ψdv = ϕ ψ

và chú ý rằng

ψ ϕ α αψ

ϕ = và αϕ ψ = α * ϕ ψ , ta có:

( ) (27.18)

2

∑

+ +

+

=

= +













+ +

=

n

n n

k k

n

n n m

m m n

n n k

k n

n n k

k

a a

) 1 ( )*

1 ( 2

) 1 ( )*

1 (

0 ) 1 ( 0

) 1 ( 0

0 0

) 1 ( 0

0

1

ε ε

ψ ψ

ε ψ

ψ ψ

ψ ε

ψ

Khi đó, với cách viết:

Trang 12

Bỏ qua số hạng bậc hai trong (27.18), ta được ( ak(1)* + ak(1) ) = 0

, tức là phần thực của ak(1) bằng 0 Nhưng vì luôn có thể chọn ( 1 )

m

a

thực nên ta có:

(29.19)

0 ) 1 ( = k a Ta hãy viết lại hệ thức (27.11) cho m = k (hãy luôn nhớ: k cố định!) và bỏ qua các số hạng bậc cao hơn 2 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (27.11)

0

) 0 ( ) 2 ( )

1 ( )

2 ( ) 0 ( 0

) 1 ( ) 1 ( 2

) 0 ( )

1 ( ) 0 ( 0

) 0 ( ) 1 ( )

0 ( ) 0

(

0

= +

+







+







+

−

∑

≠

m n

m

n mn m

m m

mn

n m

n mn m

m m

mn m

m

a E a

W a

E E

a E W

a W a

E E

a E W

a E

E

ε ε

Trang 13

) '' (27.11'

0

) 0 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 0 ( 0 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( 0 ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( 0 = + +     − + − + − + +     − + − + + − ∑ ∑ ≠ ≠ k k n n kn k k k kk k n n kn k k k kk k k a E a W a E E a E W a W a E E a E W a E E ε ε Thế các giá trị trong xấp xỉ bậc 0 và 1 vào đây ( E(0) = Ek0 , ak(0) = δnk , E(1) = Wkk , ak(1) = 0 ) ta được: ∑ ≠ = k n n kn a E W (1) (2) suy ra: (27.20)

∑

=

k

nk nk

E E

W W

E(2) 0 0

Trang 14

còn a k(2) vẫn được tìm từ điều kiện chuẩn hóa đối với hàm trạng thái

Tuy nhiên, việc tính a k(2)

không thật quan trọng, nếu ta không tiến hành các bước xấp xỉ bậc cao hơn nữa

Ở xấp xỉ bậc 2, năng lượng được tính theo công thức:

(27.22)

∑

−+

k

E E

W

W W

E

E 0 ε ε 2 0 0

Trang 15

Chú ý:

1 Ta có εW kk (số hạng hiệu chỉnh năng lượng bậc 1) chính là

dv

k k

∫ ψ 0 *εψ 0 tức là giá trị trung bình của nhiễu loạn,

2 Do Wkn = Wn* nên W kn W nk = W kn 2

Vì vậy “hiệu chỉnh bậc 2” của năng lượng luôn âm khi k là trạng

thái nền, tức là trạng thái với mức năng lượng thấp nhất

nếu trạng thái tương ứng là trạng thái cơ bản thứ k (cố định) đối với

hạt “không bị nhiễu loạn”

Trang 16

4 Trường hợp suy biến

Bây giờ ta xét trường hợp trong đó các mức năng lượng chưa bị

nhiễu loạn có thể suy biến, nghĩa là mỗi mức năng lượng E n0

ứng với một số hàm riêng độc lập tuyến tính 02 0

0

1 , , ,

n np n n ψ ψ ψ (suy biến cấp p n) Khi đó, thay cho (27.7’) ta có: ( 0 + , − ) + ∑ , = 0 (27.23) ≠mp mp nq nq nq mp mp m mp E W E a W a ε ε trong đó, đương nhiên: (27.24)

∫

= ψ W ψ dv

W mp,nq mp0* ˆ nq0

Lý giải tương tự trường hợp không suy biến, ta được:

0 , (0)

0 )

0

( = Ek akp ≠

E với mọi p=1, 2, 3,…, p n;

0

)

0

( =

kp

a với m ≠ k.

Trang 17

kq kp kq

kp kp

Trang 18

(27.26)

0 =

−+

E εW

E W

W E

εW E

W

W W

E εW

E

pk pk pk

pk pk

mk k k

, k k

,k k ,k

k k

,k k

,k k ,k

k ,k

k k

1 1

21 1

2 2

1

1 2

1

0

0 0

εε

Trang 19

Đẳng thức này chính là phương trình bậc (p k ) đối với ẩn E

Vì khi khai triển định thức, ta được đa thức cấp p k đối với E nên

(27.26) có p k nghiệm (tính α lần, nếu là nghiệm bội α)

K ý hiệu các nghiệm đó là E p =E kp (p=1, 2, …, p k ) Do ε rất nhỏ nên

các nghiệm này rất gần nhau

Như vậy, nếu trong trường hợp không có nhiễu loạn, mức năng lượng

thưa k có cấp suy biến là p k (p k trạng thái cùng ứng với năng lượng ) 0

k E

thì khi có nhiễu loạn, chính mức năng lượng này cũng bị tách

thành nhiều mức ( p k mức) rất gần nhau!

Trang 20

Bây giờ ta xét một trường hợp riêng: suy biến cấp 2 Khi đó, (27.26) trở thành:

2 2 1

2

2 1 1

1

,

0 ,

, ,

0

=

−+

−

+

E W

W E

k k k

k k

k k k

k k

εε

2

2 1 1

1

, ,

k

k k k

k

W W

Trang 21

Phương trình (27.28) có hai nghiệm:

( ) 2 (27.29)

,

2 ,

, ,

, 2

,

2 2 1

1 2

2 1

1

4

k k k

k k

k

W

W W

W

+

±

+

=

δ

Từ (27.29) tính được hai mức năng lượng mới tách ra từ mức Ek0 là:

(27.30a)

1 0 1 = k + εδ k E E (27.30b)

2 0 2 = k + εδ k E E Các hàm trạng thái tương ứng có thể lấy bằng: (27.31a)

0 0 2 1 1 cos i k sin i k k α e ψ α e ψ ϕ = β + − β (27.31b)

0 0

2 1

2 sin i k cos i k

Trang 22

=

0 0

0

2 1

1

2 1 1

1 1

2

1

k k

k

k k k

k k

E

ψψ

=

0 0

0

2 1

2

2 1 1

1 2

2

1

k k

k

k k k

k k

E

ψψ

ϕ

ε

Trang 23

Trang 24

Trang 25

Trang 26

Trang 27

Trang 28

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	826,5 KB