CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 14b pot

Như vậy, vế trái của 14.5 chính là tốc độ biến thiên của mật độ xác suất tìm thấy hạt... Biểu diễn gradient trong hệ toạ độ địa phươngĐể bài toán về dòng trong trường xuyên tâm bớt phức

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

Bài 14 DÒNG ĐIỆN VÀ MOMENT

TỪ

1.Mật độ dòng

Xét phương trình

Schrödinger

(14.1)

ψ

ψ µ

*

* 2

Nhân (14.1) với

*

ψ và (14.2) với ψ rồi lấy phương trình này trừ phương trình kia, ta được:

∂



t t

i

Vế trái của phương trình này chính là

ψ ψ

ψ

t

i t

y y

x x

z z

y y

x x

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

ψ ψ

ψ ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ψ ψ

ψ ψ

và tương tự với các thành phần toạ độ y và z nên (14.4) trở

thành:

2 2

ψµ

ψψψ

ψ

Do đó, (14.3) có thể được viết lại như

sau:

[ ] (14.5) 2

*

* 2

ψψψ

ψµ

Như vậy, vế trái của (14.5) chính là tốc độ biến thiên của mật độ xác suất tìm thấy hạt.

khi đó (14.5) trở thành:

(14.6)

2 Biểu diễn gradient trong hệ toạ độ địa phương

Để bài toán về dòng trong trường xuyên tâm bớt phức tạp, ta cần biểu diễn gradient của hàm trạng thái trong một hệ toạ độ đặc biệt

Tại mỗi điểm M0 trong không gian với ba toạ độ r0, θ0 , ϕ0

ta xét một hệ gồm ba trục toạ độ xác định hư dưới đây

Trước hét xét mặt cầu r = r0

Trên hình vẽ, đường viền của mặt cầu này là đường tròn mầu đen

Ta hình dung mặt cầu này là “trong suốt”, nghĩa là các đường bên

trong nó không cần vữ đứt đoạn

∂ 1

,

ϕ

ψ

θ d r

∂ sin 1

3 Dòng điện trong trường xuyên tâm

Quay lại bài toán về chuyển động của điện tích –e trong trường xuyên tâm của điện tích Ze và xét trạng thái dừng với

m

Trước hét xét mặt cầu r = r0

nlm R r .P~ cos e

4

1

nlm = R r P~ cos e−

4

1

*

Bây giờ ta tìm các toạ độ của vector j

trong hệ toạ độ địa phương tại M(r,θ,ϕ) Dễ thấy hai toạ độ đầu trên

các trục r, θ là:

0 2

0 2

θ

ψ ψ

µ

ψ ψ

ψ ψ

µ

nlm nlm

nlm nlm

r

r

i j

r r

i j

nlm nlm

im

im

ψϕ

ψ

ψϕ

Vì vậy, toạ độ thứ ba của j

là:

sin sin

m r

im i

θ µ

ψ ψ

ψ

ψ θ µ

ϕ





= +

−

=

Do j r và jθ bằng 0 nên có thể nói rằng không có dòng điện chạy xa

dây dẫn hoặc lại gần so với gốc toạ độ (tức là điểm đặt điện tích Ze)

cũng không có dòng chạy theo “kinh tuyến”, mà chỉ có dòng điện chạy vònh trên các mặt phẳng vuông góc với phương mà trên đó mà hình chiếu của Mˆ  có giá trị xác định (ở đây là trục Oz)

Với r và θ xác định thì mật độ dòng tỷ lệ thuận với mật độ xác suất tìm thấy hạt

Như vậy, bức tranh về dòng điện phù hợp với cách hình dung cổ điển về chuyển động trong trường xuyên tâm

Khác biệt duy nhất ở đây là sự không xác định của vị trí và quỹ đạo

5 Moment từ của dòng điện tròn

Ta hãy tính moment từ của dòng điện với mật độ J = −ej trong đó

j



cho bởi ba toạ độ j r = jθ = 0 và jϕ

cho bởi (14.9), theo mẫu của Vật lý cổ điển

Cường độ dòng điện chuyển qua tiết diện vuông góc với phương của dòng điện bằng:

(14.10)

σ

ϕd ej

−

trong đó c là vận tốc ánh sang trong chân không, S là diện tích hình

dM z =

hình tròn này nằm trên mặt phẳng vuông góc với Oz, tâm hình tròn là giao điểm O’ của mặt phẳng này với Oz và biên đi qua một điểm M của tiết diện dσ (do tiết diện là nhỏ nên M có thể lấy bất kỳ trong đó)

Như vậy, ta có:

(14.12)

σ

ψ µ

θ π

σ θ

π

c

r d

j

e c

r

nlm

2 2