CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 11 docx

CHƯƠNG 3: MOMENT QUỸ ĐẠO.. TRƯỜNG XUYÊN TÂM BÀI 11 MOMENT QUỸ ĐẠO... Một trong những đại lượng vật lý mang nhiều thông tin quan trọng về chuyển động là MOMENT ĐỘNG LƯỢNG mà ở đây ta sẽ

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

CHƯƠNG 3:

MOMENT QUỸ ĐẠO TRƯỜNG XUYÊN TÂM

BÀI 11 MOMENT QUỸ ĐẠO

Một trong những đại lượng vật lý mang nhiều thông tin quan

trọng về chuyển động là MOMENT ĐỘNG LƯỢNG mà ở đây ta

sẽ gọi tắt là MOMENT hay MOMENT QUỸ ĐẠO để phân biệt với MOMENT SPIN mà ta sẽ xét ở các chương sau (chú ý rằng từ

“quỹ đạo” ở đây không ngụ ý rằng hạt chuyển động trên quỹ đạo xác định).

Một trong những đại lượng vật lý mang nhiều thông tin quan

trọng về chuyển động là MOMENT ĐỘNG LƯỢNG mà ở đây ta

sẽ gọi tắt là MOMENT hay MOMENT QUỸ ĐẠO để phân biệt với MOMENT SPIN mà ta sẽ xét ở các chương sau (chú ý rằng từ

“quỹ đạo” ở đây không ngụ ý rằng hạt chuyển động trên quỹ đạo xác định).

Đối với đại lượng này cũng có nhiều cách định nghĩa khác nhau;

và ở đây, ta cũng sẽ nêu định nghĩa ở dạng đơn giản nhất, như đã làm ban đầu trong Cơ học cổ điển.

Đối với đại lượng này cũng có nhiều cách định nghĩa khác nhau;

và ở đây, ta cũng sẽ nêu định nghĩa ở dạng đơn giản nhất, như đã làm ban đầu trong Cơ học cổ điển.

1.Định nghĩa moment quỹ đạo, các hệ thức giao hoán đối với các thành phần của moment quỹ đạo

Như đã nói, moment quỹ đạo của hạt là toán tử vector:

x i

p y p

x M

z

x x

z i

p x p

z M

y

z z

y i

p z p

y M

x y

z

z x

y

y z

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

Bây giờ ta tìm giao hoán tử của hai thành phần của Mˆ

Ta có:

[Mˆ x,Mˆ y ] = Mˆ x Mˆ y − Mˆ y Mˆ x

y z

z z

y x z

x z

y x

y z

z x

z z p y p x p z p z p z p x p z p y p z p z p x p y p x p z p p

yˆˆ ˆˆ − ˆˆ ˆˆ − ˆˆ ˆˆ + ˆˆ ˆˆ − ˆˆ ˆˆ + ˆˆ ˆˆ + ˆˆ ˆˆ − ˆˆ ˆˆ

=

( y ˆ p ˆ z − z ˆ p ˆ y ) ( z ˆ p ˆ x − x ˆ p ˆ z ) ( − z ˆ p ˆ x − x ˆ p ˆ z ) ( y ˆ p ˆ z − z ˆ p ˆ y )

=

[Mˆ x,Mˆ y] = yˆpˆz zˆpˆx + zˆpˆy xˆpˆz − zˆpˆx yˆpˆz − xˆpˆz zˆpˆy

z p x p p

z x p p

z y p z p y

x

y x

z

x z

y

M i

M M

M i

M M

M i

M M

ˆ ˆ

, ˆ

ˆ ˆ

, ˆ

ˆ ˆ

, ˆ







Các hệ thức trên cho thấy: KHÔNG THỂ CÓ TRẠNG THÁI MÀ HAI THÀNH PHẦN CỦA MOMENT ĐỀU CÓ GIÁ TRỊ CỤ THỂ.

Tuy nhiên, mỗi thành phần (và chỉ một thành phần) đều có thể đo

được cùng với bình phương moment

2 2

2

2

z y

M

Thật vậy, ta có:

[ ˆ 2, ˆ ] ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 3 ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2

z x y

x x

x z x

y x

x x

M

2 2

2

2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

z x x

z y

x x

y M M M M M M M

=

2 2

2

2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

z x z

x z z

x z x

z y

x y

x y y

x y x

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

x

y x

z

x z

y

M i M

M

M i M

M

M i M

M

ˆ ˆ

, ˆ

ˆ ˆ

, ˆ

ˆ ˆ

, ˆ

2 Moment trong toạ độ cầu

Trong nhiều bài toán, nhất là các bài toán về chuyển động trong

trường đối xứng tâm, tiện lợi hơn cả là ta dùng toạ độ cầu

=

+ +

z y

x

z

z y

x r

ϕ θ

2 2

2

2 2

2

arccos

cos

sin sin

cos sin

Việc này càng tỏ ra hữu hiệu khi thao tác với toán tử moment.Các công thức cho các thành phần moment trong toạ độ cầu sẽ là:

(11.2)

ϕ

ϕ

ϕ

θ θ

g i

M

g i

M

z y x

ˆ

sin cot

cos ˆ

cos cot

sin ˆ

z

Mˆ có thể coi là xung lượng suy rộng ứng với toạ độ ϕ

Điều này hoàn toàn phù hợp với quan điểm của Cơ học giải tích

cổ điển

Tiếp theo, ta có:

2

2 2

2 2

2 2

2

ϕ ϕ

ϕ

θ θ

ϕ ϕ

ϕ

θ θ

ϕ

ϕ

ϕ

θ θ

g i

M

g i

cos ˆ

cos cot

sin ˆ

2 2

2

2

z y

M

Sau một số bước biến đổi, ta được:

(11.3)

sin

1 ˆ

ϕ θ θ

θ θ

3 Trị riêng và hàm riêng của bình phương moment và một hình chiếu của nó

Ta chỉ có thể tìm các hàm mà vừa là hàm riêng

vừa là hàm riêng của một thành phần của nó, ví dụ Mˆz

Hệ phương trình để tìm các hàm như vậy là:

λψψ

ψ

λψ ϕ

ψ θ

θ

ψ θ θ

2

sin

1 sin

sin 1

Phương trInh đầu của (11.4’) có thể viét lại như sau:

(11.5)

0 sin

1 sin

θ

ψ θ θ

θ

Từ lý thuyết toán học về các hàm thế

ta biết rằng (11.5) có nghiệm khi và chỉ khi

)(

' = l l +1

λ , với l là số nguyên không âm

Như vậy, phương trình Mˆ2ψ = λψ

có nghiệm khi và chỉ khi λ =  2l ( l + 1 )

Mặt khác, do các toán tử trong (11.4’) chỉ tác dụng lên các biến θ và

ϕ mà không đụng chạm đến r, nên nghiệm sẽ có dạng

ψ=ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Y(θ, ϕ)

Do tính tuyến tính của phương trình nên khi thay ψ vào ở hai vế của

mỗi phương trình đều sẽ có thừa số R(r) không bị đụng chạm tới,

nên có thể rút gọn phương trình cho thừa số này

ϕ θ

ϕ θ ϕ

θ

,,

ˆ

,,

ˆ

Y Y

M

Y l

l Y

Phương trình thứ hai trong (11.6) chính là:

i

e Q

Y , (11.7)= ( )

Vì hai bộ toạ độ cầu (r, θ, ϕ) và (r, θ, ϕ +2π) xác định cùng một điểm

 là số nguyên

z

Điều này xảy ra khi và chỉ khi

Như vậy, các trị riêng của phải có dạng

Do đó, nghiệm của (11.6) có dạng:

( ) θ ϕ Q ( ) θ eimϕ (11.8)

Chú ý rằng giá trị của số nguyên m trong (11.8) không phải là tuỳ ý

mà phải thoã mãn điều kiện

(11.9)

l

Như vậy, với l đã cho thì m có thể lấy 2l + 1 giá trị nguyên khác nhau,

từ –l cho đến l.

Có thể chứng tỏ điều này một cách chặt chẽ từ các suy luận thuần

tuý toán học

Cũng có thể xuất phát từ ý nghĩa vật lý để đi đến khẳng định trên

Thật vậy, vi m chỉ là giá trị của một thành phần của Mˆ 

2

1

+

< l m

Vì m và l đều nguyên nên từ đây suy ra m ≤ l

' = l l +

λ

Bây giờ ta viết lại phương trình (11.5), nhưng với hàm ẩn là Y(θ,

ϕ) (sau khi đã rút gọn cho R(r)), và

(11.10)

0 )

1

( sin

1 sin

θ

θθ

θ

Thế (11.8) vào (11.10), ta đi đến phương trình cho Q(θ):

(11.11)

0)

1

(sin

sinsin

1

2

2

=+

d

θθ

θθ

θ

( )θ ϕ Q( )θ e imϕ (11.8)

dP x

1 1

2 2

2

l

x dx

d x

x P

x

l

m l

m l

m m

4

1 ,

( ) ( ( ) ) P ( )x (11.15)

m l

m

l l

x

l

m l

!

! 1

2

~

+

− +

ϕ θ θ ϕ

θ

2 0

0

2

1

d d

Y lm , sin

Sau đây là biểu thức cụ thể của các hàm P~l m( )x với l ≤ 3

1 2

1 2

( ) ( )2

3 2

Đây cố nhiên là một điều vô cùng kỳ lạ !!!

Có vẻ như những suy luận dựa vào lý thuyết toán tử là sự BỊA ĐẶT PHI VẬT LÝ

Tuy nhiên, các quan sát thực hiện trên những đối tượng vi mô lại

cho những kết quả đúng như vậy

Các giá trị hình chiếu của moment quỹ đạo

lên hướng của từ trường H

-1

102

-2

-1 1 0