CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 13 docx

Bài 13 MỘT TRƯỜNG HỢP RIÊNG QUAN TRỌNG CỦA TRƯỜNG XUYÊN TÂM... Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namMột trong những nhiệm vụ chính của Cơ học lượng tử là phải giải thích được cấu tạo và tí

Trang 1

307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

Trang 2

Bài 13 MỘT TRƯỜNG HỢP RIÊNG QUAN TRỌNG CỦA

TRƯỜNG XUYÊN TÂM

Trang 3

Một trong những nhiệm vụ chính của Cơ học lượng tử là phải giải thích được cấu tạo và tính chất của các nguyên tử Một trong những nhiệm vụ chính của Cơ học lượng tử là phải giải thích được cấu tạo và tính chất của các nguyên tử

Ở đây, ta xét một mô hình đơn giản của chuyển động electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử Ở đây, ta xét một mô hình đơn giản của chuyển động electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử

Phần cuối bài này dành riêng cho trường hợp đơn giản nhất: Nguyên tử hydrogen Phần cuối bài này dành riêng cho trường hợp đơn giản nhất: Nguyên tử hydrogen.

Trang 4

1 Chuyển động của một điện tích trong trường lực Coulomb của điện tích khác.

2 Các số lượng tử và hàm trạng thái

3 Phân bố xác suất theo khoảng cách, kinh độ và vĩ độ

4 Nguyên tử hydrogen

Trang 5

1 Chuyển động của một điện tích trong trường lực Coulomb của điện tích khác.

Như đã thấy, nếu hàm riêng của toán tử năng lượng trong trường

xuyên tâm U(r) là ψ = R ( r ) Ylm ( θ , ϕ )

thì chỉ có R(r) mới phụ thuộc vào biểu thức cụ thể của U(r).

Vì vậy, phương trình chuyển động trong trường xuyên tâm cụ thể

thực chất quy về phương trình cho R(r).

Xét trường hợp đặc biệt:

Chuyển động của electron (với điện tích –e) trong trường Coulomb

của điện tích hạt nhân (với điện tích +Ze) đặt cố định tại gốc tọa độ

Trang 6

Hàm thế năng trong trường hợp này là:

(13.1)

r

Ze r

U

2

) ( = −

và phương trình cho ρ = rR sẽ là:

(13.2)

0

) 1 (

2

2 2

Ze

E dr

4 2 2

2

ξ

ρ µ

ρ

d

e dr

d



=

Trang 7

và (13.2) trở thành

(13.3)

0

)1(

ε ξ

2 2 1

ξ

(13.2)

0

) 1 (

2

2 2

Ze

E dr

d



Trang 8

0

2 0

1

2 2

2

1 2

d

ξ ε

ξ

ε ξ

a l n

l n

Do đó, thay 2

2ξ

l

n

a l

ε

0 )

1 (

2

0

1 0

= +

−

=

− +

Trang 9

Cho tổng các hệ số của các số hạng cùng bậc bằng 0, ta được

n l

n

Z l

n a

) 1 (

2 1

2

1

+

− +

+ +

+

− +

2 + +

=

l n

Z

nl

εThật vậy, giả sử ε không có dạng (13.6)

Trang 10

Khi đó mọi a n đều khác 0, và n đủ lớn thì (13.5) có dạng gần đúng là:

do đó, các hệ số an cùng dấu, giảm dần về giá trị tuyệt đối giống như

a ξ biến thiên giống như e2 2 ε ξ

do đó ρ biến thiên giống như ξ l+1e 2εξtức là ρ → +∞ khi ξ → +∞

Điều này rõ ràng là phi lý về mặt vật lý

Từ đó suy ra rằng ε phải có dạng (13.6)

Trang 11

Nói một cách khác, E phải nhận một trong các giá trị:

( )2 (13.7)2

4 2

=

n

k k

Ngoài điều kiện (13.5), các hệ số a k được lựa chọn (mà suy cho cùng

là chỉ cần chọn a0) sao cho R thoã mãn điều kiện chuẩn hoá sau

(13.9)

R nl

Trang 12

2 Các số lượng tử và hàm trạng thái

Để cho tiện, ta sẽ thay đổi cách ký hiệu các số trong (13.7) như sau:

Trước hết, n được thay đổi bởi n r để nhẫn mạnh vào mối liên quan của

nó với phương trình dành cho hàm bán kính Như vậy, (13.7) trở thành:

( )2 (13.7' )2

4 2

e

Z E

l l

Trang 13

(13.10)

2

4 2

với n = n r +l+1 (thực chất đáng lẽ phải ký hiệu là R n-l-1;l)

Chú ý rằng mỗi mức năng lượng E n không phải chỉ ứng với một trạng thái mà ứng với nhiều nhiều trạng thái khác

nhau

Trang 14

Các trạng thái này được phân biệt với nhau bởi giá trị của l và

m (l ứng với trị riêng  l ( l + 1 )) của M ˆ 2, còn m ứng với trị riêng  m

Theo thông lệ, các số n, l, n r và m được gọi là các số lượng tử, trong

đó n là số lượng tử chính, l là số lượng tử phương vị, n r là số lượng

tử bán kính và m là số lượng tử từ, (chú ý phân biệt số lượng tử (quantum number) với số lượng các lượng tử (number of quanta))

Trang 15

Trạng thái ứng với các số lượng tử n, l, m, thường ký hiệu ngắn gọn là

nlm

Như vậy, trong biểu diễn toạ độ thì:

nl r Y R

nlm =

Còn một cách khác để ký hiệu trạng thái (của điện tích –e):

dùng một chữ số và một chữ cái; chữ số là giá trị của n, chữ cái là s,

p, d, f, hoặc g ứng với l = 0,1, 2, 3, 4

Như vậy 2s là trạng thái 20 (chưa có giá trị của m); 3d là trạng thái 32

Các trạng thái này cố nhiên suy biến, tức là chưa hoàn toàn xác định,

vì chưa có giá trị của m

Trang 16

3 Phân bố xác suất theo khoảng cách, kinh độ và vĩ độ

c Kinh độ ϕ phân bố đều, tức là mật độ xác suất ở kinh độ bằng ϕ

không phụ thuộc vào ϕ (và luôn bằng

π

2

1 ).

Trang 17

Công thức (12.10) cho electron trong nguyên tử hydrogen sẽ là:

(13.16)

2 2

Trang 18

Mỗi lần electron chuyển từ trạng thái với năng lượng E n sang trạng

thái với năng lượng E n’, biến thiên năng lượng của nguyên tử sẽ

λ = 2 c )

Trang 19

307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namChú ý rằng đại lượng

1 15 3

4

10 27 ,

3 4

Trang 20

I

Sơ đồ này hoàn toàn phù hợp với các số liệu thực nghiệm

Các đường thẳng đứng là các “bước nhảy” chuyển mức

Những con số ghi trên các đường thẳng đứng là các bước sóng (thu

hoặc phát); các bước sóng đó được chia thành 5dãy

Trang 21

Trang 22

Cuối cùng, xin nêu đồ thị ham mật độ xác suất của electron cho một

vài trạng thái

Ở đây, khoảng cách từ các điểm cực đạI đến gốc tọa độ tương ứng

với bán kính quỹ đạo trong mô hình của N Bohr

Đặc biệt, với n = 1 (năng lượng tối thiểu) thì khoảng cách đó bằng:

cm e

Trang 23

b) l = 1

43 32

Trang 25

Trang 27

Trang 29

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	0,98 MB