CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 9 docx

Tuy nhiên, do yêu cầu tự nhiên về tính liên tục khi “khớp” nghiệm ở hai bên với nghiệm khoảng giữa nên nói chung các hệ số A và B trong 9.2 phải được chọn khác nhau cho khoảng x < 0 và

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

BÀI 9

RÀO THẾ VÀ HỐ THẾ

Ta xét tiếp hai ví dụ điển hình của chuyển động một chiều: chuyển động trong rào thế và hố thế.

U

a x

x x

U

0

00

0 nÕu

hoÆc

nÕu

,)

Tuy nhiên, do yêu cầu tự nhiên về tính liên tục khi “khớp” nghiệm ở

hai bên với nghiệm khoảng giữa nên nói chung các hệ số A và B

trong (9.2) phải được chọn khác nhau cho khoảng x < 0 và khoảng x > a.

Do đó, nghiệm cho khoảng bên trái sẽ là:

ikx

ikx

L = A1e + B1e−

ϕ

và cho khoảng bên phải là: ϕR = A2eikx + B2e−ikx

ở khoảng giữa, phương trình (9.7) trở thành:

ϕ ϕ



E U

m dx

Do yêu cầu về tính liên tục như đã nói trên, phai có

) ( )

( a R a

ta có: A e3 ila + B e3 −ila = A e2 ika + B e2 −ika (9.5)

) ( '

) ( 'L 0 ϕ M 0

và

) ( ' )

( 'M a ϕ R a

Do sáu số A1, B1, A2, B2, A3, B3, chỉ phải thoả mãn bốn đẳng thức nên ta

có thể chọn tuỳ ý hai số mà không làm mất tính tổng quát

Bốn số còn lại khi đó sẽ được xác định duy nhất theo hai số đã chọn

Vì giá trị cụ thể của các hệ số không quan trọng về mặt nguyên tắc nên

ta sẽ không thực hiện việc tính toán ở đây

Bây giờ ta xét trường hợp E < U0

Trong CƠ HỌC CỔ ĐIỂN, một hạt được “thả” vào một phía của rào thế như vậy sẽ vĩnh viễn chuyển động ở phía đó; không có khả năng nào để hạt xâm nhập vùng giữa hoặc xuyên qua rào thế sang phía bên

kia

Nhưng ở đây, vẫn có khả năng để hạt xuyên qua rào thế, hoặc “có

mặt” ở ngay “giữa rào”, vì dễ thấy ϕL, ϕM ϕR đều có thể khác 0

Trong trường hợp này (E < U0), ta có l=iq là thuần ao, và nếu chọn

( ) (9.8)

aq sh q

k q

k

q k

K 2 2 2 2 2

2 2

4

4

+ +

=

trong đó shα = (eα − e− α )

2 1

Chú ý rằng K cũng chính là tỉ số giua binh phương hệ số của e ikx

trong ϕR và binh phương hệ số của e ikx trong ϕL

Người ta gọi nó là hệ số xuyên ngầm

Hệ số này bằng 1 khi và chỉ khi shaq = 0

E U

2ma

in E

2ma

n U

E

Như vậy, nếu E thoả mãn (9.9) thì hệ số xuyên ngầm bằng 1,

tức là “dòng chuyển động” lọt qua rào thế từ vùng bên trái sang vùng bên phải đúng bằng “dòng chuyển động hướng sang phải” vốn có ở bên trái, nếu ta coi rằng ban đầu hạt được thả vào vùng bên trái

Trong trường hợp này, người ta còn nói rằng rào thế là trong suốt

a x

x

U x

U

00

0

0

nÕu,

hoÆc

nÕu

,)

Ta cũng chú ý đến trường hợp động năng ban đầu của hạt bằng E < U0

Trong trường hợp này, lời giải

cổ điển cho ta một chuyển động

hữu hạn trong lòng hố thế

Để cho tiện, ta áp dụng điều

kiện liên tục cho ϕ và ϕ’/ϕ

Dễ thấy nghiệm cho khoang x < 0 có

Tương tự, lời giai cho x > a có dạng:

Điều này vô nghĩa về mặt vật lý

Do đó phải có A1 = 0, tức là

x

R Ce α

với x ∈ (0, a), phương trình (9.7) trở thành giống như (9.3):

( ) ϕ (9.10)

ϕ

2 0



E U

m dx

m nên nghiệm của (9.10) có dạng:

=

αδ

α

δ

)(

cot

cot

ka g k

g k

Hệ này tương đương

mU k





) sin(

sin

δ δ

k = π −

 arcsin

Đẳng thức này không thể thoả mãn với mọi E cho trước

Có thể thấy rằng chỉ có một số giá trị rời rạc kn của k mới thoả mãn (9.11), do đó phổ năng lượng là rời rạc: E = E1, E2,

Điều này có nghĩa là nếu động năng ban đầu của hạt không thuộc

Có thể thấy rằng phương trình (9.11) không thể được giải một cách

chính xác

Tuy nhiên, nếu cho U0 → ∞ thì ta có thể tìm nghiệm tiệm cận của nó

Thật vậy, khi đó vế trái của (9.11) tiến tới 0, và do đó ta có

a

n k

từ đó suy ra phổ nang lượng gồm các giá trị

2

2 2 2

2ma

n

E n = π 