CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 4 docx

HÀM TRẠNG THÁI VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ TRONG CÁC KHÔNG GIAN KHÁC NHAU... ë đây ta giải quyết một vấn đề giống như trong Đại số tuyến tính: khai triển một hàm hay một vector theo các hàm

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

BÀI 4:

KHAI TRIỂN HÀM TRẠNG THÁI HÀM

TRẠNG THÁI VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ TRONG CÁC KHÔNG GIAN KHÁC NHAU

ë đây ta giải quyết một vấn đề giống như trong Đại số tuyến tính: khai triển một hàm (hay một vector) theo các hàm riêng (các vector riêng) của một toán tử

ë đây ta giải quyết một vấn đề giống như trong Đại số tuyến tính: khai triển một hàm (hay một vector) theo các hàm riêng (các vector riêng) của một toán tử

Để cho đơn giản, ta tạm thời chỉ xét các hàm nhận GIÁ TRỊ LÀ CÁC SỐ PHỨC Những trường hợp phức tạp hơn sẽ được xét sau.

Cũng như trong Đại số tuyến tính, vấn đề này có liên quan với tính trực giao của các hàm riêng ứng với các trị riêng khác nhau.

Cũng như trong Đại số tuyến tính, vấn đề này có liên quan với tính trực giao của các hàm riêng ứng với các trị riêng khác nhau.

1.Tính trực giao của các hàm riêng ứng với các trị riêng khác nhau

Gia sử ψ và λ ψ µ là hai hàm riêng ứng với hai trị riêng λ và µ

khác nhau của toán tử hermitic Lˆ , tức là:

L ψλ = λψλ

L ψµ∗ = µψ µ∗

Khi đó, ψ và λ ψ µ trực giao với nhau theo nghĩa sau:

Do tính hermitic nên các vế trái của (4.4) và (4.5) bằng nhau

Vì vậy, lấy (4.4) trừ (4.5) ta được 0 = ( λ − µ ) ∫ ψ µ∗ψλdv

TỪ ĐÓ SUY RA (4.3).

2 Khai triển hàm trạng thái theo hệ hàm riêng của một toán tử

Nhân hai vế của (4.7) với (r )

Khi đó, ta có: cm = ∫ ψ ψm∗ dv (4.11)

có phổ liên tục là khoang S trên trục số, hay tổng quát hơn là

Khi đó, thay vi (4.7) ta phai viết:

với ψ ( r λ ,  ) là hàm riêng ứng với λ

Nhân hai vế của (4.12)

với

) ,

( r µ 

ψ ∗

rồi lấy tích phân theo toàn bộ không gian, ta có:

(4.12)

λ λ

ψ λ

S

) , ( ) ( )

Yêu cầu các hàm ψ ( r λ ,  thoa mãn hệ thức chuẩn hoá suy rộng sau:)

Khi đó từ (4.13) suy ra:

(4.14)

) (

) , ( ) ,

∫ ∗

c ( µ ) ψ ( µ ,  ) ψ (  )

) , ( ) , ( p  r  q  r  dv = p  − q 

∫ ψ ∗ ψ δ

C

Khi đó, (4.12) thay bởi:

(4.16)

2 (

1 )

(

2

3

π ψ

trong đó dw là yếu tố thể tích trong không gian các vector p 

còn (4.15) trở thành:

Như vậy, theo thuật ngu của Giai tích toán học thi ψ(r) là anh của hàm

)

( p

c  qua biến đổi Fourier, và c ( p) là anh của ψ(r)

qua biến đổi Fourier ngược

(4.17)

2 (

1 )

(

2

π

4 Biểu diễn – L của hàm sóng và các đại lượng vật lý

Trong trường hợp tổng quát, cập công thức (4.12) - (4.15) hoặc

(4.7) - (4.11) cho ta thấy rằng, giua hàm trạng thái ψ(r và hàm ) c(λ)

) ( λ

(4.12)

λ λ

ψ λ

S

) , ( ) ( )

(4.15)

∫ ∗

c(µ) ψ (µ, )ψ () cm = ∫ ψ ψm∗ dv (4.11)

(4.7)

Ta gọi nó là hàm trạng thái trong không gian các giá trị của đại lượng L hay hàm trạng thái trong biểu diễn - L

)

( p

c 

thành một hàm với biến λ):

Bay giờ ta sẽ coi (4.15) là công thức của một toán tử tuyến tính U

Hàm ψ (r  )

p- biểu diễn

(4.15)

( = ∫ 

Xét các hàm ψ1 , ψ 2 (biến r) và c1, c2 (biến λ) sao cho:

để khi có (4.21); (4.22); (4.23) thi (4.24) luôn đúng Ta có:

1 (4.20)

U c

ψ = −

1 1

2 2

Lẽ tự nhiên, ta cần phai coi Mˆ1

Dối với trường hợp phổ rời rạc, công thức (4.11) cho ta phép biến đổi U

biến ψ thành bộ (c1, c2, ), còn (4.7) là biến đổi ngược U-1 Như vậy:

là toán tử của đại lượng M trong biểu diễn –L.

Dối với đại lượng M, các toán tử của nó là Mˆ trong biểu diễn toạ độ và

1

Mˆ trong biểu diễn –L vẫn thoa mãn (4.25) Bây giờ ta tim toán tử Lˆ1

của chính L trong biểu diễn –L Muốn vậy, ta viết lại (4.27) như sau:

1 2

( , , ) (4.27')

n n n

n n

n

n n

n n

n n n n

n n

c c

c c

U c

c U

c L

U c

c U

L U c

c

L

) ,

,

, (

, ) ,

, ,

(

) ( ˆ

, ) ,

( ˆ

, ) ,

(

ˆ

λ λ

λ λ

λ

ψ λ

ψ λ ψ

2 2 1 1

2 1

1 2

1

1

0 0

0

Nói cách khác, toán tử của L trong biểu diễn của chính nó chính là

được trước đây: toán tử toạ độ x chính là phép nhân với biến số x,

Chú ý: Công thức (4.25) dễ dàng tổng quát hoá như sau: nếu Mˆ1 và Mˆ2

lần lượt là các toán tử của đại lượng M trong biểu diễn - L1 và

biểu diễn - L2; U là phép chuyển từ hàm trạng thái c1

trong biểu diễn - L1 sang hàm trạng thái c2 trong biểu diễn - L2 thi:

với tích phân ở vế trái được lấy theo phổ của Lˆ1

.HÃY NGHIỀN NGẪM RẤT KỸ Ý NGHĨA CÁC KÝ HIỆU

TRONG CÁC CÔNG THỨC NÀY!

5 Các toán tử toạ độ và xung lượng trong biểu diễn xung lượng

chính là phép nhân hàm trạng thái với p x:

) ( )

lên hàm c(p) tương đương với việc tác dụng xˆ

của toạ độ x trong biểu diễn xung lượng, ta chú ý đến (4.17)

Do việc tác dụng xˆ1

lên ψ nên:

(4.30)

p c

ˆ )

2 (

1 )

2 (

1 )

(

2

3 ψ π

Mặt khác, vế phải của (4.30) lại bằng

)()

()

(

)

()

(

)

()

(

p

c p

i dv

e

r p

i

dv

e p

i r dv

e r x

x

r p i x

r p i x

r p i

ψ π

ψ π

2 3

2

3 2

3

21

2

12

1

Như vậy, với sai khác là dấu (cộng hoặc trừ), dạng của toán tử toạ độ trong biểu diễn xung lượng hoàn toàn giống như dạng của toán tử xung

lượng trong biểu diễn toạ độ

+ +

=

z y

x

z y

x

p

i p

i p

i U p

p

p m

+ +

=

z y

x

z y

x

p

i p

i p

i U p

p

p m

2 1

Từ những điều vừa nói, ta suy ra dạng của toán tử năng lượng trong biểu diễn xung lượng: