Bài 26 PHƯƠNG TRÌNH DIRAC CHO ELECTRON TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG... Bây giờ ta sẽ mở rộng bài toán về phương trình chuyển động của electron sang trường hợp hạt ở trong điện - từ trường.. Sau
Trang 1CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm
Trang 2Bài 26 PHƯƠNG TRÌNH DIRAC CHO ELECTRON TRONG
ĐIỆN TỪ TRƯỜNG
Trang 3Bây giờ ta sẽ mở rộng bài toán về phương trình chuyển động của
electron sang trường hợp hạt ở trong điện - từ trường
Sau khi nêu ra phương trình, ta sẽ thảo luận một vài vấn đề liên quan
Sau đó, ta sẽ chứng mimh rằng trong trường hợp electron có năng lượng thấp thì từ phương trình chuyển động tương đối tính (phương trình Dirac trong điện - từ trường) có thể rút ra phương trình Pauli,
Nghĩa là lý thuyết Schrödinger - Pauli có thể coi như phù hợp gần đúng với lý thuyết Dirac
Trang 41 Phương trình Dirac trong điện - từ trường Phép liên hợp điện tích
Trong lý thuyết cổ điển (phi lượng tử và phi tương đối tính), năng lượng của hạt tự do, như ta đã biết, được cho bởi hàm Hamilton:
Nếu hạt ở trong điện - từ trường với thế vô hướng Φ vàthế vector thì (26.1) phải được thay bởi:
trong đó q là điện tích của hạt
Theo nguyên lý Bohr, khi hạt ở trong điện - từ trường, trong phương trình Dirac ta
cũng thực hiện một phép thay thế như vậy Cụ thể, với electron (có điện tích -e),
phương trình trong trường hợp có điện - từ trường sẽ là:
( 2 2 2) (26.1) 2
1
y y
p m
(26.2)
2
z
2
y
2
+
+
c
q p
A c
q p
A c
q p
m
2
1
Trang 5Cùng với (26.3), ta xét phương trình sau:
Phương trình này cũng được gọi là phương trình Dirac (cho electron trong điện từ
trường)
(26.3)
e
mc
A c
e p
A c
e p
A c
e p
c t
Φ
− +
+
+
=
∂
∂
4
2 3
2 1
(26.4)
e
mc
A c
e p
A c
e p
A c
e p
c t
3 2
α
ψ
Φ
− +
+
+
=
∂
∂
Phương trình (26.4) gọi là phương trình liên hợp điện tích của (26.3)
Có thể chứng minh rằng tồn tại một toán tử Cˆ ở dạng ma trận vuông cấp 4 sao cho:
ψ
ψ E
t
∂
∂
t
∂
∂
ii nếu
Trang 6Phương trình (26.4) rõ ràng mô tả hạt có khối lượng m, spin 1/2 và điện tích e
Do đó nếu (26.3) là phương trình cho electron thì (26.4) là phương trình cho hạt có khối lượng và spin giống như electron nhưng có điện tích đối dấu với electron
Ta gọi hạt đó là positron
Việc (26.4) có nghiêm nói lên rằng, khái niệm về positron là có ý nghĩa Vật lý.
Sự tồn tại trạng thái với năng lượng E<0 như nghiệm của phương trình Dirac bây giờ
cũng được nhìn nhận dưới góc dọ khác: nó hoàn toàn tương ứng với nghiệm có năng
lượng dương E ’ = - E của (26.4)
Nói cách khác, việc phương trình Dirac cho nghiệm với tham số năng lượng E lấy giá trị
âm là tương đương với việc phương trình (26.4) có nghiệm với năng lượng dương, và sự kiện toán học này cần phải được gán một ý nghĩa Vật lý:
đó là sự tồn tại đối hạt cuả electron.
Toán tử Cˆ gọi là phép liên hợp điện tích
Trang 72 Phương trình Pauli như trường hợp giới hạn của của
phương trình Dirac
Ta biết rằng, nếu có hai phương trình cùng mô tả một hiện tượng vật
lý, trong dó một phương trình là phi tương đối tính, còn phương trình kia là tương đối tính, thì độ tin cậy của mỗi phương trình sẽ tăng lên, nếu chỉ ra được rằng:
Khi hệ vật lý có năng lượng nhỏ (gần với năng lượng nghỉ mc 2)
phương trình tương đối tính sẽ biến thành phương trình phi tương
đối tính Nói chính xác hơn, phương trình phi tương đối tính phải là
trường hợp giới hạn của phương trình kia khi cho E →mc 2
Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính, trạng thái dừng của
electron trong điện - từ trường đã được mô tả bởi phương trình:
( )H E (26.5)
mc
e eΦ
A c
e p
2
ˆ 2
=
+
−
Trang 8trong đó σ = (σ 1 , σ 2 , σ 3) gồm các thành phần là các ma trận Pauli:
=
0 1
1
0
1
σ
−
=
0
0
2
i
i
σ
−
=
1 0
0
1
1 σ
Trong phương trình (26.5),
=
2
1
ξ
ξ
ξ là hàm trạng thái hai thành phần, cụ thể hơn là spinor ba chiều
Ta cần chứng tỏ rằng khi năng lượng toàn phần của hạt tiến đến mc 2
thì từ phương trình Dirac ta nhận được (26.5) theo mộ cách nào đó
Trước hết, ta viết lại phương trình (26.3) cho hạt trong điện - từ trường thành hệ sau:
−
−
−
=
∂
∂
− +
−
=
∂
∂
(26.7)
(26.6)
eΦ
mc
A c
e p
c t
i
eΦ
mc
A c
e p
c t
i
2 2
2 1
2
1 1
2 2
1
ˆ
ˆ
η η
η σ
η
η η
η σ
η
Trang 9307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Trong đó = 2
1 1
ψ
ψ
η = 4
3 2
ψ
ψ η
vẫn như trên, là bộ ba ma trận Pauli
σ
Giả sử hạt ở trạng thái với năng lượng E>0 xác định
Khi đó ψ Eψ
t
∂
∂
nên từ (26.6), (26.7) ta có:
=
−
−
−
=
− +
−
(26.9)
(26.8)
E
eΦ mc
A c
e p c
E
eΦ mc
A c
e p c
2 2
2
2 1
1 1
1
2 2
ˆ
ˆ
η η
η η
σ
η η
η η
σ
Từ (29.9) suy ra:
(26.10)
A c
e p eΦ
mc E
c
1 2
− +
+
Trang 10307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bây giờ giả sử E rất gần với mc 2 Vì vậy mẫu số ở (26.10) có thể thay
bằng 2mc 2, tức là, một cách gần đúng ta có:
(26.11)
A c
e p
2
1
η σ
−
Thế (26.11) vào (26.8) ta được
( ) A eΦ (26.12)
c
e p
mc
mc
2 1
2
1
η σ
η
−
−
=
Ta có :
( ) ( ) [ ( )p ( ) ( )A A ( )p ] (26.13)
c
e A
c
e p
A c
e
2 2
2
σ σ
σ σ
σ σ
−
Trang 11( ) ( ) ( ) ( )
z y
x z
y x
p p
p A
A A
A A
A p
p p
p A
A
p
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
=
+
z z y z x z z y y y x y z x y x x x z z y z x z z y y y x y z x y x x x p A p A p A p A p A p A p A p A p A A p A p A p A p A p A p A p A p A p ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ
( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ x y y x y x x y ] x z z x z x x z z y y z y z z y p A A p p A A p p A A p p A A p p A A p p A A p p A A p ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 1 3 3 2 − − − + + − − − + + − − − + + = σ σ σ σ σ σ
(26.14)
Trang 12Vì σ2σ3=iσ1, σ3σ1=iσ2và: , σ2σ2=iσ3,
z
z z
z
y
A i
y
A
i y
A i
A y
i A
∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂
−
=
∂
∂
−
hay: pˆ y A z A z pˆ y i A y z ,
∂
∂
−
=
nên vế cuối của (26.14) có thể viết tiếp thành:
( x y z) (26.15)
x y
z x
y z
H H
H p
A
A
p
i y
A x
A i
i x
A z
A i
i z
A y
A i
p
A
A
p
3 2
1
3 2
1
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
σ σ
σ
σ σ
σ
+ +
+ +
=
=
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
− +
Từ (26.14) và (26.15) suy ra vế phải của (26.12) bằng
Trang 13( ) ( ) ( )
( ) (26.16)
1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ˆ 2 1 2 ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ 2 1 η σ η σ η σ σ σ η σ + − + = = + − + + + = − + + + + = − − H mc e eΦ A c e p mc H mc e eΦ p A A p c e A c e p mc eΦ H p A A p c e A c e p m eΦ A c e p mc Mặt khác, vì E’=-E-mc 2 chính là năng lượng cổ điển của hạt nên vế trái của (26.12) có thể viết thành Hˆη1 với Hˆ là hamiltonian phi tương đối tính Như vậy, từ phương trình Dirac cho trường hợp E gần với mc 2, ta có hamiltonian phi tương đối tính là ( )
+
−
+
mc
e eΦ
A c
e p
mc
2
ˆ 2
1
Trang 14Điều này có nghĩa là phương trình Pauli coi như trường hợp giới hạn
của phương trình Dirac
Ở đây có sự đồng nhất hàm ξ trong (26.15) với η 1 ở (26.12)
Việc biến mất của = 4
3 2
ψ
ψ
η không quan trọng vì hai lý do:
(i) thứ nhất, do η 2 đã tham gia vào biểu thức của η 1
(ii) thứ hai, cũng do (26.10), ta có η 2 là nhỏ nhất khi E gần với mc 2