CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 15 docx

Từ đầu tới giờ, ta đã mô trạng thái của hạt lượng tử bởi hàm trạng thái chỉ phụ thuộc biến số không gian và biến số thời gian.. Các sự kiện thực nghiệm chứng tỏ rằng có những loại hạt mà

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

BÀI 15: SPIN

Từ đầu tới giờ, ta đã mô trạng thái của hạt lượng tử bởi hàm trạng thái chỉ phụ thuộc biến số không gian và biến số thời gian

Các sự kiện thực nghiệm chứng tỏ rằng có những loại hạt mà trạng thái của nó không mô tả được một cách đầy đủ bằng loại hàm trạng thaí như vậy

ý nghĩa và nội dung của việc mở rộng như vậy sẽ được xem xét

và cụ thể hoá dần.

Do đó, cần xét cả loại hàm trạng thái phụ thuộc một vài “biến

số lạ”, phi không gian và phi thời gian

1.Trường hợp một biến số lạ với hai giá trị

Trường hợp quan trọng nhất của việc mở rộng như đã nhắc đến

là trường hợp hàm trạng thái phụ thuộc một biến số lạ s, và biến

số lạ này chỉ nhận hai giá trị khác nhau

Có thể hình dung hai giá trị này như hai điểm của một chiều không

gian vô hình Như vậy, hàm trạng thái có dạng:

( , , , ) (15.1)x y z s

ψ ψ=

(nếu bỏ qua sự phụ thuộc vào thời gian)

Ta nêu ra yêu cầu sau:

Xác suất để hạt nằm trong ở trong vùng không gian A và trong

z y x z

Chú ý rằng mỗi hàm f(s) với s chỉ nhận hai giá trị (s1 và s2) có

một hàm

),,

) , ,

( )

, ,

(

z y x

z y

x z

2 Toán tử spin

Giả sử

được gọi là toán tử spin, nếu các thành phần này thoa mãn

các hệ thức giao hoán sau;

y x

z

x z

y

s i s

s

s i s

s

s i s

s

ˆ ˆ

, ˆ

ˆ ˆ

, ˆ

ˆ ˆ

, ˆ







(15.4)

Dễ dàng thấy (15.4) giống hệt các hệ thức giao hoán đối với các

thành phần của moment quỹ đạo đã xét trong bài 11

Chú ý rằng các chỉ số x, y, z ở ba toán tử này không nói lên rằng

chúng tác dụng lên các biến số x, y, z

ý nghĩa của các chỉ số sẽ được nêu sau

Do sự “đồng dạng” của các toán tử sˆx, sˆy ,sˆz

TA CHẤP NHẬN MỘT TÍNH CHẤT CỦA sˆx, sˆy ,sˆz là: nếu toán tử

2 2

2

2

z y

x s s s

là các ma trận vuông cáp hai nên mỗi toán tử chỉ nhận cùng

lắm hai giá trị khác nhau

Nhưng nếu l là số nguyên thi hoặc dãy (15.7) chỉ có một số (khi l = 0), hoặc có ít nhất ba số (l ≤ 0)

Dễ chứng tỏ rằng trường hợp l = 0 thực chất quy về trường hợp

hàm trạng thái không chứa biến số lạ (biến số lạ này từ đây ta gọi

gọi là biến số spin) nên ta sẽ không xét trường hợp này

3 Biểu diễn toán tử spin qua các ma trận Pauli

y y

x x

s s s

σ σ σ

ˆ 2 ˆ

ˆ 2 ˆ

ˆ 2 ˆ

x

y x

z

x z

y

i i

i

σ σ

σ

σ σ

σ

σ σ

σ

ˆ ˆ

, ˆ

ˆ ˆ

, ˆ

ˆ ˆ

, ˆ

2 2

Có nhiều cách chọn các ma trận như vậy, và chúng mô tả cùng một

sự kiện vật lý Theo đề xuất của W Pauli, ta chọn:

0

13

1

01

i

i

σˆ (15.12)

Bạn đọc hãy tự kiểm tra rằng, với cách chọn như trên thi

z y

Chú ý rằng, nếu mỗi hinh chiếu của toán tử spin có thể nhận các giá trị

từ dãy (15.7) thi ta nói hạt có spin bằng l Trong trường hợp ta đang

4 Electron với tư cách là hạt có spin 1/2.

Những điều ta vừa trình bày ở trên sẽ không có nội dungvật lý nếu không có loại hạt nào được mô tả bởi hàm trạng thái với toán tử spin

như trên

Rất may là có tồn tại những hạt như vậy;

đó là các hạt electron, proton và neutron

Do các proton và neutron còn tham gia vào một loại tương tác đặc biệt, dó là tương tác mạnh (tương tác giữ cho hạt nhân bền vững) nên

việc mô tả chúng rất phức tạp

Còn đối với electron thì việc mô tả chúng bằng các hàm trạng thái

Điều này cũng có nghĩa là loại hàm trạng thái mà ta đã xét ở các bài trước (không chứa biến số spin) không thể mô tả đầy đủ electron,

nhất là trong tương tác với từ trường

Việc khẳng định bằng thực nghiệm sự tồn tại spin của electron ngày nay

không còn là vấn đề gây tranh cãi nữa

Tuy vậy, cũng cần nói về một trong những thí nghiệm đơn giản và

nổi tiếng dẫn đến khái niệm spin: thí nghiệm Stern-Gerlach

Hai ông này đã cho một chùm mguyên tử hydrogen, tất cả đều

có cùng mức năng lượng và đề ở trạng thái s, tức là có moment

quỹ đạo bằng 0, đi qua một từ trường dạng đặc biệt

Hai ông này đã cho một chùm mguyên tử hydrogen, tất cả đều

có cùng mức năng lượng và đề ở trạng thái s, tức là có moment

quỹ đạo bằng 0, đi qua một từ trường dạng đặc biệt

Kết quả dự đoán là chúng phải đi theo những quỹ đạo như nhau

Tuy nhiên, trên thực tế thì chúng bị tách thành hai chùm, giống như là chúng có hai giá trị moment từ khác nhau, tức là có hai giá trị moment

xung lượng khác nhau

Diều này cùng rất nhiều sự kiện thực nghiệm khác đã dẫn G Uhlenbeck

và S Goudsmit tới gia thuyết là electron có moment riêng, không liên quan gi tới chuyển động không gian, và hinh chiếu của nó trên một trục bất kỳ trong không gian đều nhận đúng hai giá trị

2



±

Moment riêng đó chính là đại lượng sˆ mà ta vừa xét ở trên, và như vậy,

z y

x s s

Việc một toán tử tác dụng lên biến số phi không gian lại có hình

chiếu trên các trục không gian không có gì là lạ

Nếu nó không thể hiện tác dụng trong không gian ba chiều thì không

có gì để nhận biết được nó, và sự tồn tại của biến số phi không gian cũng trở nên vô nghĩa

5 Moment từ riêng

Kèm theo moment cơ học riêng (spin), hạt cũng có moment từ riêng Thực nghiệm cho thấy hai loại moment riêng này liên hệ với nhau bởi công thức:

s c

Như vậy, giá trị tuyệt đối của hệ số tỷ lệ giữa moment cơ học

riêng và moment từ riêng là bằng hai lần hệ số tương ứng trong

trường hợp moment quỹ đạo

Điều này một lần nữa cho thấy không thể giải thích sự tồn tại của spin như hệ quả của chuyển động không gian, cho dù đó là chuyển động quỹ

đạo hay sự quay chung quanh một trục riêng

Chính sự tồn tại của một trục quay riêng như vậy cũng vô nghĩa, vì

electron không có vị trí và hình dạng xác định

Như vậy, cần thừa nhận rằng spin là đặc trưng riêng của một loại hạt, giống như khối lượng hoặc điện tích, chứ không phải do tương tác gây

ra

Tuy nhiên, nó thể hiện qua tương tác và năng lượng tương tác phụ

thuộc vào cả các yếu tố bên ngoài

e H

s c

e H

mˆ. ˆ ˆ. ˆ  ˆ. ˆ  σˆ . ˆ σˆ . ˆ σˆ . ˆ

µ

σ µ

5 Phương trình Pauli

và điện tích là q chuyển động trong điện từ trường cho bởi thế vô

A c

q p

q p

q qV

A c

q p

(trong đó σ = σˆ ).

Đối với electron, (15.17) trở thành

c

e eV

A c

e p

e eV

A c

e p

PHƯƠNG TRÌNH (15.19) GỌI LÀ PHƯƠNG TRÌNH PAULI.

Thí nghiệm Stern-Gerlach về sự tách chùm nguyên tử hydrrogen

Cả hai sự kiện này đều xảy ra trước khi cơ học lượng tử chính thức được xây dựng

Năm 1927, Wolfgang Pauli, nhà vật lý lỗi lạc người Thuỵ sĩ

(1900-1958) đã phát biểu lại giả thuyết spin theo ngôn ngữ cơ học

lượng tử và biểu diễn toán tử spin qua các ma trận mang tên ông

Wolfgang Pauli cũng là người đề xuất nguyên lý cấm (hay nguyên

lý Pauli), theo đó hai hạt có spin bán nguyên không thể tồn tại trong

cùng một trạng thái

Nguyên lý này cũng được nêu ra trước khi có cơ học lượng tử

(cuối năm 1924) và nó đã đem lại cho Wolfgang Pauli giải

thưởng Nobel vào năm 1945

Wolfgnag Pauli còn là tác giả của một loạt công trình quan trọng khác trong Vật lý lượng tử

4