Các ứng dụng cơ học lượng tử pdf

1- Hiệu ứng Zeeman• Khi nguyên tử đặt trong từ trường ngoài xem là đều và theo phương 0z, do tương tác với momen từ spin và momen từ quỹ đạo của electron với Bex từ trường ngoài làm c

Dr: Dương Hiếu Đẩu Head of Physics Dept duongdau@gmail.com Tel: 84.71 832061

01277 270 899 Địa chỉ gửi bài tập nhóm

Đánh máy càng dễ sửa và trao đổi

1 What is Zeeman effect?

Chân dung pietez Zeeman

3

1- Hiệu ứng Zeeman

• Khi nguyên tử đặt trong từ trường ngoài (xem

là đều và theo phương 0z), do tương tác với

momen từ spin và momen từ quỹ đạo của

electron với Bex (từ trường ngoài) làm các mức năng lượng của electron bị lệch đi gọi là hiệu ứng Zeeman.

• Hiện tượng này ảnh hưởng đến sự thay đổi

bước sóng quang phổ phát xạ của electron.

• Ta giới hạn khảo sát hiệu ứng Zeeman chỉ cho

electron đơn chịu tác động của toán tử nhiễu loạn H’ là năng lượng tương tác của momen từ

Zeeman theory

• In most atoms, there exist several electron

configurations with the same energy

  so that transitions between these configurations

and another correspond to a single spectral line.

• The presence of a magnetic field breaks this

degeneracy

• since the magnetic field interacts differently with

electrons with different quantum numbers, slightly modifying their energies

• The result is that, where there were several

configurations with the same energy,

• They now have different energies, giving rise to

several very close spectral lines.

Review: mômen xung lượng

z y

x

z y

x

mv mv

mv

z y

x

L L

L

] P r

Momen xung lượng tạo ra

momen từ quỹ đạo

Lưu ý : Momen từ quỹ đạo tồn tại

m 2

e 



  



Review: Spin của electron

Spin downSpin up

S m

Spin tạo ra momen từ Spin tính bởi:

Nó cũng tồn tại ở tâm electron:

Bài tập ôn

• Electron ở nguyên tử Hydrogen

quay quanh nhân với spin hướng

theo oZ:

Tính độ lớn momen từ

• Electron cũng quay quanh nhân với

chu kỳ 10-7 giây, ở bán kính aBorh

Tinh Momen xung lượng L

? L

?

2 s

Momen xung lượng toàn phần

S L

Momen tổng của một electron

Lưu ý: Nếu xét trong một nguyên tử thì phải xét tương tác với momen Spin và momen từ spin của proton

Tương tác từ bên trong và bên ngoài

• Tương tác từ bên trong do momen từ

quỹ đạo (Orbital) với momen từ Spin (SO) mức năng lượng siêu tinh tế và hiển nhiên có trong nguyên tử (FS)

• Tương tác từ bên ngoài do từ trường bên ngoài Bex với cả hai momen từ

quỹ đạo và momen từ Spin trong

nguyên tử (gọi là hiệu ứng Zeeman)

Toán tử nhiễu loạn phụ thuộc nhiều vào từ trường ngoài B ex cho nên

so với cấu trúc mức năng lượng tinh tế thì lại phụ thuộc vào từ

trường bên trong B in tạo ra do L

Xây dựng toán tử nhiễu loạn Zeeman Zeeman Hamiltoian

) 04 4 ( B

) S 2 L

( m 2

e '

Hˆ

) 03 4 (

L m 2

e :

and

) 02 4 (

S m

e :

here

) 01 4 ( B

) (

B '

H ˆ

) B B

: if ( '

Hˆ

H ˆ '

Hˆ Hˆ

H ˆ

ex Z

S

ex S

ex Z

z ex

z 0

Bài tập 1.w

• So sánh từ trường ngoài Bex = 1.0 T

• với từ trường bên trong nguyên tử tính bởi dòng

điện phân tử I do electron quay quanh nhân ở

bán kính r, công thức cần chứng minh là:

s / m 10

v ,

nm 05

, 0 r

: Take

) 05

4 (

v r

c

e 4

1 B

L r

mc

e 4

1 r

2

I B

6

2

2 0

3

2 0

Phân loại hiệu ứng Zeeman

• Nếu Bex << Bin : Ta có cấu trúc mức năng lượng tinh tế Lúc đó toán tử nhiễu loạn H’ được xem

là rất bé hay không có nhiễu loạn Trường yếu (vẫn tính bổ túc năng lượng TDT và tương tác Spin-quỹ đạo)

• Nếu Bex >> Bin : Ta có hiệu ứng Zeeman và bài toán xem là nhiễu loạn Trường mạnh.

• Nếu Bex  Bin : Ta cần xét đến lý thuyết nhiễu loạn có suy biến và cần dùng đến bài toán trị riêng và vector riêng của ma trận H’

13

Ứng dụng Từ trường Spin

của nguyên tử để ghi dữ liệu

Hiệu ứng Zeeman trường yếu

Nếu Bex << Bin : Toán tử nhiễu loạn H’ được xem là rất bé, lúc đó việc mô tả trạng thái lượng tử

thông qua các số lượng tử là:

mômen từ tổng: mj = mL + ms là các số bán nguyên

15

) J m

J

, 2

1 j

( m

,j , ,

Vì L và S là tương tác nên chúng không bảo

toàn đồng thời Chỉ có momen xung lượng

toàn phần J là bảo toàn

Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn bậc nhất cho bài toán hiệu ứng Zeeman trường yếu tính:

Hint: Chứng minh trị trung bình bổ sung E:

Bài tập 2W: Tính bổ chính năng lượng cho nhiễu loạn bậc nhất

) 06

4 ( )

S J

(

B m 2

e )

S 2 L

(

B m 2

e

m ,j , , n ' H m

,j , , n '

H E

ex ex

j Z

j Z

Vận dụng bảo toàn momen xung

lượng toàn phần

• Ta tính vector chiếu của S lên phương

vector J và đó là giá trung bình của S

17

Giải thích tường minh: biểu thức tích vô hướng

Tính vector chiếu of vector A lên phương vector B ta có:

B

B

A B

B B

B

A B

B ).

B A cos(

A A

) B A cos(

B A B

A

2 B

J

) J S

( S

Bài tập 2W-a

• Chứng minh:

) 07 4 (

J )

1 j

( j 2

4

3 )

1 (

) 1 j

(

j 1

J J

J

S 1

( )

1 j ( j 2

4

3 ) 1 (

) 1 j (

j 1 g

: with m

) g ( S 2 L

J )

1 j ( j 2

4

3 ) 1 (

) 1 j (

j 1

J J

J S 1 S

2 L

) 1 (

L , ) 1 s ( s S

, ) 1 j ( j J

: ce sin

) 1 (

) 1 s ( s ) 1 j (

j 2

) L S

J

( 2

1 J S

J S 2 S

J L

S J L : ce sin

J J

J

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

Tính lại năng lượng bổ chính

• Tính lại 4.06

)T/eV(10.788,

5)

T/J(10

.23,

9m

2

e

MagnetonBorh

:

here

)1j(j2

4

3)

1(

)1j(

j1

g

)08.4(m

Bg

m)

1j(j2

4

3)

1(

)1j(

j1

Bm2

e)

SJ

(

Bm2

e)

S2L

(

Bm2

eE

5 24

B

J

J ex J B J

ex

J ex ex

Thí dụ 3W

• Xác định năng lượng chính xác của nguyên tử

Hydrogen xét nhiễu loạn bậc nhất do hiệu ứng

Zeeman (từ trường ngoài B=0,01T) cho mức năng lượng thứ nhất (n=1)

Hint xét các số lượng tử:

eV10

.578,

0)

1(6,13

Bg

.E

E

E

eV10

.578,

0

01,

02

Bg

.E

2

1m

:levelsenergy

two,

2g

)Jm

J(2

1m

,2

12

1j

,0,

1

n

6

2 ex

J B

2 )

0 ( )

0 (

6 B

ex J B

1

Z

J J

j j

Bài tập 4

• Xác định năng lượng chính xác của nguyên tử Hydrogen do nhiễu loạn bậc nhất (hiệu ứng Zeeman với từ trường ngoài

B=0,01T) cho mức năng lượng thứ hai (n=2, có 2 giá trị l là

1 và 0), có bao nhiêu mức năng lượng được tạo ra ?

Hint xét các số lượng tử:

?

m2

Bg

.4

EE

E

?

m2

Bg

.E

?m

?:levelsenergy

howmany

?,g

)Jm

J(2

1

;2

3m

,2

1

;2

32

1j

,1,0,

2

n

j

ex J B

2 )

0

( 2 n

) 0

( 2 n

j

ex J B

1

Z

J J

j j

2 Hiệu ứng Zeeman trường Mạnh

• Nếu Bex >> Bin : Ta có hiệu ứng Zeeman và bài toán xem là nhiễu loạn Trường mạnh lúc đó việc mô tả trạng thái lượng tử thông qua các

số lượng tử là:

) m

, 2

1 m

( m

, m , ,

B B

( ) S 2 L

(

B m 2

e )

S 2 L

(

B m 2

e

H1Z  ex Z  Z  ex Z  Z  z

2 Hiệu ứng Zeeman trường Mạnh

Mức năng lượng bị ảnh hưởng Zeeman mạnh: (Chưa xét tương tác từ trường bên trong)

) m 2 m

(

B n

) eV (

6 , 13

) 10 4 ( )

m 2 m

(

B n

) eV (

E E

s ex

B 2

s ex

B 2

) 0

( 1

1

mL , ms

Bài tập 5W

• Theo lý thuyết nhiễu loạn bậc nhất, bổ chính năng

lượng cho các mức không nhiễu loạn được tính gồm

bổ chính Einstein (TDT), bổ chính tương tác Spin-quỹ

đạo SO (chưa tính HU Zeeman) là:

) 11 4 ( m

, m , , n ' H ' H m

, m , , n '

H ' H

E1NZ  r  SO   L S r  SO  L S

Bổ chính Einstein (TDT) tính toán giống như ở chương 2 Nội dung bài tập là tính bổ chính từ Spin-quỹ đạo

? m

, m , , n ' H

m , m , ,

Hướng dẫn

• Sử dụng biểu thức trị trung bình:

0 L

L S

S :

Since

) 12 4 ( m

m m

m 0

0

L S

L S

L S

L S

y x

y x

L S

2 L

S

z z

y y

x x

()

1)(

1(

mm)

1

(n

4

3n

)eV(6

,

13

)11.4(m

,m,,n'H'Hm

,m,,n'

H'HE

S L

2 3

S L

SO r

S L

SO r

Bài tập 5W-a

• Dẫn ra công thức 4.13 từ các công thức

• 2.73 2.76 2.78 4.12

Năng lượng electron nguyên tử

Năng lượng có xét Zeeman:

• 1- Năng lượng không nhiễu

loạn (Born energy levels)

) 0 ( 1

0 n

n

) eV ( 6 ,

13 n

) eV ( E

3n

)eV(6,

2

1 (

m m ) 1

( n

) eV ( 6 , 13

3

1 SO

) eV ( 10 3 ,

7 c 4

e :

Note

) 14 4 ( ) m 2 m

( B E

3 0

2

s ex

B

1 Z

Kết quả năng lượng tổng hợp

gồm tất cả các bổ chính

• Năng lượng tổng tính chính xác sẽ bao gồm

năng lượng không nhiễu loạn cộng sự bổ

chính TDT và tương tác SO (4.13) và sự bổ

chính Zeeman (4.10)

) 14 4 ( )

m 2 m

( B

) 1

)(

2

1 (

m m

) 1

( n

4

3 n

) eV (

6 ,

13 E

E E

E

s ex

B

S L

2 3

2

1 Z

1 NZ

0 n

Bài tập 6W

• Xác định năng lượng chính xác của nguyên tử Hydrogen do nhiễu loạn bậc nhất (hiệu ứng Zeeman với từ trường ngoài

là mạnh B=10T) cho mức năng lượng thứ hai (n=2, có 2 giá

trị l là 1 và 0), có bao nhiêu mức năng lượng được tách ra

do HU Zeeman mạnh ?

Hint xét các số lượng tử:

)m2m

(B

)eV

2

1(

mm)

1

(n

4

3n

)eV(6,

(0

;1m

;2

1m

,1,0,

2

n

S L

ex B 2

S L

2 3

1

L L

Bài tập 6w-a có bao nhiêu mức năng lượng khi n=2

0 m

; 2

1 m

, 1 ,

2 n

*

)

8

0 m

; 2

1 m

, 1 ,

2 n

*

)

7

1 m

; 2

1 m

, 1 ,

2 n

*

)

6

1 m

; 2

1 m

, 1 ,

2 n

*

)

5

1 m

; 2

1 m

, 1 ,

2 n

*

)

4

1 m

; 2

1 m

, 1 ,

2 n

*

)

3

0 m

; 2

1 m

, 0 ,

2 n

*

)

2

0 m

; 2

1 m

, 0 ,

2 n

*

)

1

L S

L S

L S

L S

L S

L S

L S

L S

Tính cụ thể cho một mức năng lượng

3994 ,

3 )

m 2 m

(

B n

) eV (

6

,

13

) 1

)(

2

1 (

m m

) 1

( n

4

3 n

) eV (

6 ,

13

E

: Energy

T 10 B

1 m

; 2

1 m

, 1 ,

2

n

S L

ex B

2

S L

2 3

1

L S

Các vấn đề cần thảo luận

• Phân biệt các bổ chính năng lượng