CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 12 pptx

CƠ HỌC LƯỢNG TỬNguyễn Văn Khiêm... Bài 12 TRƯỜNG XUYÊN TÂM... Một trong những bài toán điển hình của cơ học, kể cả cổ điển lẫn lượng tử, là bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm,vì

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

Bài 12 TRƯỜNG XUYÊN TÂM

Một trong những bài toán điển hình của cơ học, kể cả cổ điển lẫn lượng tử, là bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm,vì hai trường lực quan trọng nhất đối với các bài toán thực

tế - điện trường và trường hấp dẫn - đều là trường như vậy

1.Hamiltonian của hạt trong trường xuyên tâm Phương trình

Ta chuyển biểu thức của Hˆ

sang tọa độ cầu Muốn vậy, ta phải dùng đẳng thức quan trọng sau đây:

)

( 2

ˆ 2

ˆ

2

2 2

2

2

r

U r

M r

r r r



(12.3)

ψ ψ

ψ µ

ψ

M r

r r

2 2



2 Tính giao hoán giữa hamiltonian với các hình chiếu của moment và hệ quả.

Trước hết ta chứng tỏ Hˆ giao hoán với Mˆ z

đồng thời số hạng toán tử thứ nhất ở (12.2) chỉ tác dụng lên biến r

nên số hạng này giao hoán với Mˆ z

Điều này cũng đúng với số hạng thứ ba, tức là U(r) Còn số hạng

Mặt khác, vì Hˆ giao hoán với Mˆ x, Mˆ y và Mˆ z

nên nó giao hoán với ˆ 2

Do đó, Hˆ giao hoán với Mˆ 2

Vì vậy, ta có thể tìm nghiệm của (12.3) sao cho nó cũng thoả mãn cả các phương trình:

và

Nhưng điều đó có nghĩa là ta chỉ cần tìm các nghiệm của phương trình:

(12.4)

ψ

ψ

ψ µ

ψ

l

l r

r r

(

2 2

2

2





1

2 2

dR r

1(

2

2 2

2

2

=

−+

dR r

dr

R

d

µ

ở vế trái (12.8) cũng có thể viết thành:

đặt rR(r) = ρ(r); khi đó (12.8’) lại trở thành:

[ ( )] 0

2 )

1 (

1

2 3

2

2

=

− +

+

r r

l

l dr

2

2

=

− +

1

(

2 2

2

2

=

−+

d



Ta sẽ giả thiết rằng U(r) tăng chậm hơn 12

2

) 1 (

− −

dr d

Như vậy, (12.10) trở thành:

α α

Do đó R = r C l+1 > C r

Ta bỏ qua trường hợp này, vì các trường xuyên tâm có ý nghĩa vật

lý là đều tăng không nhanh hơn

r

C khi r → 0

Như vậy, ta phải lấy trường hợp α = l + 1, tức là R = C.r l Khi

đó, nếu l > 0 thì R(0) = 0 và nếu l = 0 thì R(0) ≠ 0 (nhưng hữu

hạn)

Điều này mang một ý nghĩa tương tự như trong Cơ học cổ điển: nếu

l > 0 tức là moment động lượng khác không thì “cánh tay đòn” so

với gốc toạ độ bắt buộc phải khác không, tức là hạt không thể nào có

Bây giờ ta xét các giá trị r lớn

Khi đó, trong (12.9) có thể bỏ qua các số hạng chứa r 2 ở gần

mẫu, đồng thời bỏ qua số hạng U(r) vị ta sẽ coi như là U(r) → 0

khi r → +∞

Như vậy dạng tiệm cận của (12.8) sẽ là :

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

Xét trường hợp E > 0 Khi đó:

E

ir E

ir

e C e

0

2

2 2

d

(12.13)

E

r E

r

e C e

ρ = 1 − −2 + 2 + −2

(12.14)

R 1 1  2µ 2  2µ

Dễ thấy rằng, mật độ xác suất để tìm thấy hạt ở khoảng cách r tính

từ gốc tọa độ không phải là

Mặt khác, do eiα = 1 với α là số thực, nên theo (12.14) thì R

dr r R

dùng để tính xác suất toàn phần là phân kỳ

Điều này tương ứng với phổ liên tục của năng lượng, và do đó nếu hạt

có năng lượng dương thì giá trị của năng lượng có thể có thể là tuỳ ý

Bây giờ xét trường hợp E < 0

Khi đó 1 − 2µE

 là một số thực

e C e

Tóm tắt §12

r lon E>0, E<0