Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Đã đến lúc ta có thể áp dụng những kiến thức được trình bày trong bảy bài đầu để giải những bài toán cụ thể trong một số mô hình đơn giản.. Ta bắt đầu
Trang 1307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Nguyễn Văn Khiêm
Trang 2CHƯƠNG 2: CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU
BÀI 8 CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU
Trang 3307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Đã đến lúc ta có thể áp dụng những kiến thức được trình bày trong bảy bài đầu để giải những bài toán cụ thể trong một số mô hình đơn giản
Ta bắt đầu từ trường hợp mà trong đó việc khảo sát chuyển động có thể quy về bài toán một chiều
1 Trường thế tách biến và bài toán chuyển động một chiều
Xét một hạt chuyển động trong trường thế với hàm thế năng có dạng:
Phương trình Schrodinger trong trường hợp này sẽ là:
( ) ψ (8.1)
ψ
3 2
H t
∂
∂
( )r U ( )x U ( )y U ( )z
Trang 4
( ) ( )z
U m
p H
y
U m
p H
x
U m
p H
z y x
3
2 3
2
2 2
1
2 1
2 2 2
+
=
+
=
+
=
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
Trước hết ta tìm nghiệm của (8.1) dưới dạng:
( ) ( ) ( ) ( ) Et (8.2)
i
e z y
x t
=
= ψ , ϕ1 ϕ2 ϕ3 ψ
( )ψ (8.1)
ψ
3 2
1 ˆ ˆ
ˆ H H
H t
i = + +
∂
∂
Trang 5307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Với hàm ψ như vậy, ta có:
Vi chỉ tác dụng lên trong biểu thức của trong biểu thức củaψ nên
x
pˆ ϕ1( )x
( ) ( ) ( ) Et (8.3)
i
e z y
x E
E t
∂
∂
3 2
ϕ ψ
ψ
( ) i Et i Et x
+
= 2 1 2 3 1 1 2 3
(8.4)
ψ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
1
1
1 3
2 1 1
2
e
U m
+ −
Trang 6
Thế (8.3) và (8.4) cùng hai hệ thức tương tự cho ϕ1 và ϕ2 vào (8.1),
ta được
3 3
1 1 2 2
1 2 3
ˆ
(8.5)
H
ϕ ϕ ϕ
Rõ ràng mỗi số hạng ở vế phải của (8.5) cùng lắm chỉ phụ thuộc một
biến số tương ứng nên thực ra chúng phải là hằng số, tức là ta có:
i i
i
H
=
ϕ
ϕ
ˆ
hay
ˆ (8.6)
i i i i
Eϕ = H ϕ
Đương nhiên E1+ E2+ E3=E
Trang 7307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Như vậy, việc tìm nghiệm dạng (8.2) của phương trinh Schrodinger
trong trường hợp này quy về việc giải các phương trình (8.6)
Vì mỗi phương trình (8.6) chỉ chứa một biến số toạ độ nên có thể
gọi là phương trình chuyển động một chiều
Tuy nhiên, phương trình chuyển động không mô tả chuyển động của
một hạt trên một đường thẳng
Do sự vô nghĩa của quỹ đạo nên không thể có chuyển động trên
một đường thẳng hoặc cong
Chỉ trong những trường thế rất đặc biệt mới có chuyển động gần với chuyển động trên một đường
Còn ở đây, cụm từ “chuyển động một chiều” chỉ có nghĩa ước lệ:
( ) ( ) ( ) ( ) Et (8.2)
i
e z y
x t
=
= ψ , ϕ1 ϕ2 ϕ3 ψ
ˆ (8.6)
i i i i
Eϕ = H ϕ
Trang 8
nó chỉ nói lên rằng khi giải phương trình
1 1
1ϕ E1ϕ
chẳng hạn, thì ta chưa quan tâm tới sự phụ thuộc của hàm trạng thái
vào các biến số toạ độ khác
Bây giờ ta quy ước rằng, khi chọn một toạ độ để xét, ta tạm thời bỏ qua chỉ số bên cạnh hàm sóng và các toán tử Như vậy, thay cho ϕ1 (x)
chẳng hạn, ta sẽ chỉ viết ϕ(x) và phương trình (8.6) sẽ trở thành:
ˆ (8.7)
Hϕ = Eϕ
và pˆ x sẽ được ký hiệu đơn gian là pˆ , v.v
Trang 9307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
2 Tường thế
Xét chuyển động một chiều của một hạt với động năng ban đầu là
E ≥ 0 được “thả” vào một vùng mà hàm thế năng phụ thuộc vào toạ độ như sau:
>
≤
=
0
0 0
U
x x
U
víi ,
víi
, )
(
Hình 1: Biểu diễn Tường thế
U
U0
x
0
Trường thế năng như vậy
được gọi là tường thế Đồ thị
hàm U(x) cho bởi hình 1.
Trang 10
Trong vùng x ≤ 0, phương trình (8.7) sẽ có dạng cụ thể như sau:
ϕ
dx
d
− 2 22
2
hay
(8.8)
ϕ
ϕ
2 2
mE dx
d
−
=
Đây là phương trình vi phân quen thuộc
Nghiệm tổng quát của nó có dạng:
ikx
ikx
L = Ae + Be−
ϕ
trong đó
mE
=
.
Trang 11307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Dây là sự “chồng chất” hai trạng thái có xung lượng đối nhau ± k
ứng với hai chuyển động ngược chiều nhau
Như vậy, nếu đo xung lượng của hạt thi sẽ thu được một trong hai giá trị kha dĩ nói trên với xác suất tương ứng tỷ lệ với A 2 và B 2
Tuy nhiên, cần hết sức cảnh giác để tránh hiểu nhầm là có hai hạt hay hai luồng hạt chuyển động ngược chiều nhau!
ở đây, ta chỉ có đúng một hạt, và hạt đó là không phân chia
được
Việc tổ hợp nhiều trạng thái không bao giờ được nhầm lẫn với
việc
gộp nhiều hạt lại với nhau
Trong vùng bên phải (x > 0), phương trình (8.7) trở thành:
Trang 12
ϕ ϕ
dx
2
hay
( ) ϕ (8.9)
ϕ
2 0
2 2
E U
m dx
Nghiệm tổng quát của phương trình này là:
qx
iqx
R = C.e + D.e−1
ϕ
0
2m E U
=
Để “khớp” các nghiệm ở hai vùng lại với nhau, ta dùng yêu cầu về tính
liên tục của hàm trạng thái cùng với đạo hàm của nó
Trang 13307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ta sẽ làm việc này cho trường hợp đáng quan tâm hơn;
đó là trường hợp E < U0
Trong CƠ HỌC CỔ ĐIỂN thì với E < U0,
hạt chỉ có thể có mặt ở vùng bên trái
Tuy nhiên, trong CƠ HỌC LƯỢNG TỬ,
nghiệm cho vùng x > 0 vẫn khác 0,
U
U0
x
0
KỂ CẢ KHI BAN ĐẦU HẠT ĐƯỢC THẢ VÀO VÙNG BÊN TRÁI.
TỨC LÀ XÁC SUẤT CÓ MẶT BÊN PHẢI
BỨC TƯỜNG LÀ KHÁC 0 ,
Trang 14
Với E < U0, ta có q là số thuần ảo: q=iα, với ( )
=
α
Do đó: ϕR = C e−αx + D eαx
Vi eαx → +∞ khi x → +∞ nên nếu D ≠ 0 thi ϕR → +∞
khi x → +∞
Điều này vô nghĩa về phương diện vật lý, vì xác suất tìm thấy hạt không
thể tăng mãi khi đi ra xa vô cực
Vậy phải có D = 0 Suy ra: ϕR = C e−αx
Diều kiện để hàm trạng thái liên tục tại 0 có dạng: ϕL( 0 ) = ϕR ( 0 )
tức là:
A + B = C (8.10)
Trang 15307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Tiếp theo, vì: ( ikx ikx )
L = ik A e − B e−
'
ϕ
và ϕ 'R = − α C e−αx
nên điều kiện để đạo hàm của hàm trạng thái cũng liên tục tại 0 là:
ik(A + B) =-αC
k
C
i B
hay:
Kết hợp (8.10) và (8.11) với điều kiện chuẩn hóa, ta có
+
− +
i k
i
k e
α
α π
ϕ
2 1
+
i k
α π
ϕ
2 2
Trang 16
Chú ý Xin nhắc lại: việc tim được hàm trạng thái,
ví dụ, trong biểu diễn toạ độ, cho phép ta tiên đoán được mật độ xác suất
có mặt tại mỗi điểm trong không gian (bằng ) ϕ 2
Muốn biết xác suất để đại lượng L nhận giá trị λ , ta cần khai triển ϕ
theo các hàm riêng của L Xác suất (hay mật độ xác suất) cần tim sẽ là
2 ) (λ
c , với c(λ) là hệ số của hàm riêng ϕλ (x)
hệ số c(λ)
cũng chính là giá trị của hàm trạng thái trong biểu diễn - L
Trang 17307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Trang 19
307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
