Bài 3 ý nghĩa của đạo hàm đáp án

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Trang chủ»Khoa Học Tự Nhiên»Toán họcMột số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11Tại nhiều nước trên thế giới, việc xây dựng chương trình và triển khai nội dung dạy học ở bậc phổ thông luôn gắn liền với quan điểm dạy học tích hợp. Bài viết Một số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11 trình bày một số ý tưởng dạy học tích hợp nội dung cấp số nhân trong chương trình Toán 11.acebook Nguyễn Vương https www facebook comphong baovuong Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Ý nghĩa hình học Đạo hàm của hàm số  y f x tại điểm 0 x.

Trang 1

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

2.Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Phương trình quỹ đạo chuyển động của chất điểm: s f t  

Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường vs f t  

PHẦN 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Phương trình tiếp tuyến

Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số

1.1 Phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị:

* f x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số '( )0 y f x  tại điểm M x f x 0;  0 

* Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số y f x  tại điểm M x y 0; 0 với

 

y  f x là:

 0 0 0'

y f x xx y

1.2 Phương pháp giải tổng quát

- Bước 1: Tìm tọa độ tiếp điểm M x y 0; 0

- Bước 2: Tính y' f ' x , rồi suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là f' x0

- Bước 3: Thay vào y f ' x0 xx0y0 ta được phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  khi biết hệ số góc k của tiếp tuyến

1 Phương pháp:

 Giải phương trình f x'( )k giải phương trình này ta tìm được các nghiệm x x1, 2, ,x n

 Phương trình tiếp tuyến:y f x'( )(i x x i) f x( ) (i i1, 2, , )n

2 Một số chú ý:

Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau:

 Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình:

'( )

f x k

 Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục ox góc ktan

 Tiếp tuyến song song với đường thẳng :yaxbk a

 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng :yaxbk  1 (a0)

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

 Tiếp tuyến tạo với yaxb góc tan

Cho hàm số y f x  có đồ thị là  C Lập phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến đi

Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra kvà thế vào phương trình ( )

ta được tiếp tuyến cần tìm

Chú ý : - Số nghiệm k của hệ phương trình trên là số tiếp tuyến cần tìm

- Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm

Câu 1 Cho hàm số yx22x4 có đồ thị  C

a Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ x0 1 thuộc  C

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x00 thuộc  C

c Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 1 thuộc  C

d Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 4

e Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng

a.Hệ số góc của tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ x0 1 thuộc  C là k y 1 4

b.Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 0 thuộc  C là

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Phương trình tiếp tuyến tại điểm  3; 1 là  yy 3 x3y 3 y 4x13

d.Gọi M a b là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị  ;   C với hệ số góc k 4

 



y a   4 2a2  4 a  3 b 1

Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k 4là y 4x3 1 y  4x13

e.Vì tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng y 1 3xnên tiếp tuyến có hệ số góc k 3

Gọi M a b là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị  ;   C với hệ số góc k 4

x có đồ thị  C

a Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của  C với trục Oy

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của  C với trục Ox

c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của  C với đường thẳng yx1

d Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng  1

a Vì  C không cắt Oy nên không tồn tại tiếp tuyến thỏa YCBT

b.Tọa độ giao điểm của C với trục Ox là 1; 0 

Suy ra phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của  C với trục Ox là

Trang 4

d.Gọi M a b là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị  ;   C với hệ số góc  1

yx  x  C Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số trong trường hợp sau:

a Tại điểm M1; 2 

b Song song với đường thẳng  d1 :y3x 1 0

c Vuông góc với đường thẳng  d2 : 7y  x 6 0

b Có tiếp tuyến song song đường thẳng  d1 :y3x 1 0 nên hệ số góc tiếp tuyến k  3

Gọi M x y 0; 0 là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến với đồ thị  C khi đó ta có :

 

0 2

Trang 5

 

0 2

x y

Trang 6

yx  x  C Tìm tọa độ những điểm trên  C sao cho tiếp tuyến tại các điểm

đó song song với trục hoành

Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến qua điểm M   1; 2

Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng yk x 12 (*)

Gọi M x y 0; 0 là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến với đồ thị  C khi đó ta có :

Trang 7

Có tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ 1

3 song song với trục hoành nên

Câu 9 Cho hs y x33(m1)x26 x-3m+4 m (C m) Gọi d là tiếp tuyến của (C m) tại điểm A có hoành độ

bằng 1 Tìm m để d cắt (C m) tại B khác A sao cho tam giác OAB vuông tại O

Lời giải:

Ta có A(1; 2), y'3x26(m 1) x6 m Tiếp tuyến của (C m)tại A là d y:  3x 5

Với x 0 thay vào (2) ta được m 0

Với x 1 thay vào (2) ta được 1

2

m 

Với x2m thay vào (2) ta được

012

Trang 8

Câu 11 Cho hs yx33x2mx 1 (C m) Tìm m để (C m) cắt đường thẳng y  tại 3 điểm phân biệt 1

C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m) tại D và E vuông góc với nhau

; a,b là nghiệm của phương trình (*)

Dạng 2 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Câu 1 Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình s2t2 t 1  m

a Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t2s

b Tìm vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ t0tới t2s

Lời giải

Ta có: vs4t1

Trang 9

a Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t2slà: 4.2 1 9  m s / 

b Trong khoảng thời gian từ t0tới t2sthì chất điểm di chuyển được quãng đường:

Câu 2 Một viên đạn được bắn lên từ vị trí Mcách mặt đất 1m, theo phương thẳng đứng với vận tốc ban

đầu là v 0 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí)

a) Tìm thời điểm t mà tại đó vận tốc của viên đạn bằng 0 0 Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét? (lấy g 9,8 m s/ 2)

b) Sau khoảng bao nhiêu giây (kể từ lúc bắn) viên đạn rơi xuống mặt đất?

Lời giải

a) Chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ dưới mặt đất lên trời, gốc O ở

mặt đất và M là vị trí viên đạn bắt đầu được bắn lên (thời điểm t 0) Khi đó chuyển động của viên đạn là chuyển động biến đổi với vận tốc ban đầu v 0 196 m/s với gia tốc g  9,8m/s2(gia tốc nhận giá trị âm vì vectơ gia tốc ngược chiều với chiều dương của trục).Sau khi bắn được t (s), viên đạn đi được quãng đường   2

Trang 10

PHẦN 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Dạng 1 Bài toán tiếp tuyến

x y x

Điểm thuộc đồ thị đã cho có hoành độ x  1 là: M  1;2 

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M  1;2 là:

Điểm thuộc đồ thị đã cho có hoành độ x  1 là: M  1;2 

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M  1;2 là:

x y ;

Trang 11

Tập xác định D  

Đạo hàm y  3 8x

Phương trình tiếp tuyến: y y 0.x0y 0 :y3x

Câu 8 Cho hàm số y x33x có đồ thị 2  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại giao điểm

của  C với trục tung

A y 2x 1 B y2x 1 C y3x 2 D y 3x 2

Lời giải Chọn C

+) y  3x2 3

+) Giao điểm của  C với trục tung có tọa độ là 0; 2  

+) Tiếp tuyến của  C tại điểm 0; 2 có phương trình là:

 0 0 2 3 2

yy x   y x

Trang 12

Câu 9 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) :C yx48x2 tại điểm M có hoành độ bằng -1 9

A y12x14 B y12x14 C y12x10 D y 20x22

Lời giải Chọn A

Tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại M( 1; 2) có phương trình là yy'( 1)( x1) 2  y12x14

Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là y12x14

1

x y x

Tập xác định D \ 1

21

x y

y x





Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  2x 3

Câu 12 Cho hàm số yx32x1 có đồ thị  C Hệ số góc k của tiếp tuyến với  C tại điểm có hoàng

độ bằng 1 bằng

A k  5 B k 10 C k 25 D k 1

Lời giải Chọn D

Ta có y 3x22

Hệ số góc k của tiếp tuyến với  C tại điểm có hoàng độ bằng 1 bằng ky 1 1

Trang 13

x y x

y x

Trang 14

Câu 16 Hệ số góc tiếp tuyến tại A1; 0 của đồ thị hàm số yx33x22 là





 và trục tung của hệ trục tọa độ Oxy Hệ số góc

của tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại I là

y x

Giao điểm của  H và trục hoành là điểm M1; 0

Ta có

 2

32

y x

Trang 15

Câu 20 Cho hàm số yx33x29x1 có đồ thị (C) Hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị (C)

là

Hàm số yx33x29x1 có đồ thị (C) có tập xác định D  

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số  C là 2  2

y   x  x   x Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là 12

Câu 21 Cho hàm số yx42x21 có đồ thị C Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y8x148x4

1

x y x

Trang 16

Gọi M x y 0; 0 thuộc đồ thị của hàm số 1

2

x y x

y x

//

a d

a a

y x  xy x 

Gọi M x y 0; 0 là tiếp điểm

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y3x10 nên

f x   x   x  

+ Với x0  2y0   2 : phương trình tiếp tuyến là y3x 2 23x4 2

+ Với x0   2 y0  2 : phương trình tiếp tuyến là y3x 2 2 3x4 2

Câu 27 Cho hàm số y x33x2 có đồ thị 3  C Số tiếp tuyến của  C vuông góc với đường thẳng

120179

y x là

Trang 17

Lời giải Chọn A

Gọi x y0; 0 là tọa độ tiếp điểm

Ta có y  3x26x

Vì tiếp tuyến của  C vuông góc với đường thẳng 1

20179

x x

Gọi M x y 0; 0 là tiếp điểm của tiếp tuyến Theo giả thiết ta có

03

21

x

x x

Với x00y0  : Phương trình tiếp tuyến: 1 y 3x0 1 y 3x1

Với x02 y0  : Phương trình tiếp tuyến: 5 y 3x2 5 y 3x11

Ta thấy cả hai tiếp tuyến đều thỏa mãn điều kiện đề bài





 



Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x3y2 nên hệ số góc của tiếp tuyến 0

làk 3

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: ' 3 3 2 3 ( 1)2 1 0

2( 1)

x

x x





Vậy hoành độ tiếp điểm cần tìm là: 0

2

x x

Trang 18

C y9x6,y9x28 D y9x6,y9x26

Phương trình tiếp tuyến tại M3;1: y9x3 1 9x26

Phương trình tiếp tuyến tại N   1; 3: y9x1 3 9x6

Câu 31 Cho hàm số yx33x2 có đồ thị 2  C Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C biết tiếp tuyến

song song với đường thẳng d: 9x  y 7 0là

A y9x25 B y 9x25 C y9x25 D y 9x25

Gọi   là tiếp tuyến của đồ thị  C và x y0; 0 là tọa độ tiếp điểm

 



  



Với x  1 y 4, f ' 1 9 Phương trình tiếp tuyến là: y9x5(không thỏa)

Với x 3 y0, f' 3 9 Phương trình tiếp tuyến là: y9x3

Câu 33 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x( ) 2x1, biết rằng tiếp tuyến đó song

song với đường thẳng x3y 6 0

Trang 19





 đồ thị  C Có bao nhiêu cặp điểm A , B thuộc  C mà tiếp tuyến tại

đó song song với nhau:

A 1 B Không tồn tại cặp điểm nào

y x



 



Vậy trên đồ thị hàm số tồn tại vô số cặp điểm A x y 1; 1, B x y 2; 2 thỏa mãn x1x2 thì các 2

tiếp tuyến tại A và tại B song song nhau

x x



 Như vậy x1x2 và 2 y1y2  hay đoan thẳng AB 2

có trung điểm là tâm đối xứng I 1;1 của đồ thị

Câu 35 Cho hàm số

1

y x





 có đồ thị là C m Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của C m tại điểm

có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng :d y3x 1

A m 3 B m 2 C m 1 D m  2

Tập xác định: D \ 1

Ta có:

 2

1'

1

m y x







Trang 20

Gọi M0;m  C m; k là hệ số góc của tiếp tuyến của C m tại M và : d y3x 1

Do tiếp tuyến tại M song song với d nên k 3 y' 0 3 1 m 3 m 2

Chú ý: Do đặc thù đáp án của câu này nên trong quá trình giải khi ra m  2 thì ta chọn ngay đáp án, tuy nhiên trên thực tế để giải toán thuộc dạng này ta cần chú ý sau khi tìm ra m ta cần phải viết phương trình tiếp tuyến tại M để kiểm tra lại xem tiếp tuyến có song song với đường thẳng đề bài cho không vì khi hai đường này trùng nhau thì hệ số góc của chúng vẫn bằng nhau

Câu 36 Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x32x2 song song với đường thẳng y x?

Lời giải Chọn B

Gọi M x y 0; 0 là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với đường thẳng y x của đồ thị hàm số

Giả sử M0x y0; 0 là tiếp điểm

Trang 21

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M0x y0; 0 là:   2

x x

Gọi hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là x0

Tiếp tuyến  của đồ thị hàm sốyx33x21 biết song song với đường thẳng y9x6

Trang 22

Với x0 3 y 3  1 phương trình tiếp tuyến là y9x3 1 y9x26 (thỏa mãn)

Câu 40 Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x3 2 x2 song song với đường thẳng yx?

Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x3 2 x2 tại M x y ( ;0 0) có dạng: y  y x  ( )(0 x x  0)  y0

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y x nên

0 2

Vậy có một tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán

Câu 41 Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x42x2 song song với trục hoành là

011

x x x

Với x 0 0 thì y 0 0, tiếp tuyến là: y 0 (loại)

Với x  0 1 thì y 0 1, tiếp tuyến là y 1 (thỏa mãn)

Với x 0 1 thì y 0 1, tiếp tuyến là y 1 (thỏa mãn)

Vậy có một tiếp tuyến song song với trục hoành có phương trình y 1

Câu 42 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  : 2 1

Vì tiếp tuyến của đồ thị  C song song với :y3x2 nên gọi toạ độ tiếp điểm là M x y 0; 0 ta có

Trang 23

13

32

x

x x

+ Với M   1; 2 phương trình tiếp tuyến của  C là y9x7

+ Với M3; 2 phương trình tiếp tuyến của  C là y9x25

Vậy tiếp tuyến của  C song song với y3x1 là y9x7, nên ta có 1 tiếp tuyến cần tìm

Do M có hoành độ âm nên x  2 thỏa mãn, x 2 loại

Với x  2 thay vào phương trình  C y0 Vậy điểm M cần tìm là: M  2; 0

Trang 24

1

x y x

Gọi  là tiếp tuyến cần tìm

Tiếp tuyến  song song với đường thẳng y   3 xsuy ra hệ số góc của tiếp tuyến  là k  3

Tiếp tuyến  tại điểm M0x0;y0 có phương trình dạng y 3xx0y0

Ta có

 2

3.1

y x

23

3

01

x

x x

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là y 3x11 và y 3x1

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 4x39x24x7

Phương trình có 1 nghiệm nên có 1 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7

Câu 47 Cho hàm số yx42x2  có đồ thị m 2  C Gọi S là tập các giá trị của m sao cho đồ

thị C có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox Tổng các phần tử của S là

Lời giải

Chọn C

Tiêu đề	Ý nghĩa của đạo hàm
Tác giả	Nguyễn Bảo Vương
Trường học	Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	48
Dung lượng	816,58 KB