Bài 1 định nghĩa đạo hàm đáp án

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489Trang chủ»Khoa Học Tự Nhiên»Toán họcMột số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11Tại nhiều nước trên thế giới, việc xây dựng chương trình và triển khai nội dung dạy học ở bậc phổ thông luôn gắn liền với quan điểm dạy học tích hợp. Bài viết Một số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11 trình bày một số ý tưởng dạy học tích hợp nội dung cấp số nhân trong chương trình Toán 11.Facebook Nguyễn Vương https www facebook comphong baovuong Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Cho hàm số  y f x xác đị.

Trang 1

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

- Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng a b;  và x0a b;  nếu tồn tại giới hạn (hữu

0

lim

x x





 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y f x  tại điểm x và 0

kí hiệu là f x0 tức là

 0

f x     

0

lim

x x







x

y x

 



Trong đó: Đại lượng   x x x0 là số gia của đối số tại x , đại lượng 0

   0

y f x f x

    f x 0 xf x 0 là số gia tương ứng của hàm số

- Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó 0

2 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm của hàm số y f x  tại điểm x bằng định nghĩa ta làm theo các bước sau 0

Bước 1: Tính y  f x 0 x f x 0

Bước 2: Lập tỉ số y

x



 Bước 3: Tìm

0

lim

x

y x

 



3 Đạo hàm bên trái, bên phải

 0

0

lim

x x







 ; f x0     

0

lim

x x







Hệ quả: Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại x thì sẽ tồn tại 0 f x0 và f x0 đồng thời

 0  0

4 Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

- Hàm số y f x  có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên a b;  nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc a b; 

- Hàm số y f x  có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên a b;  nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc a b;  đồng thời tồn tại đạo hàm bên trái f b và đạo hàm bên phải f a

5 Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

- Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại x thì 0 y f x  liên tục tại x 0

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x nhưng hàm đó 0

không có đạo hàm tại x 0

Chẳng hạn: Xét hàm ( ) | |f x  x liên tục tại x 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó

Vì

0

( ) (0)

x







 , còn

0

( ) (0)

x







 

Bài 1 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM

• Chương 5 ĐẠO HÀM

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

PHẦN 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Tìm số gia của hàm số

Câu 1 Tìm số gia của hàm số   4

f x x khi x  , 0 1  x 1

Lời giải

Ta có: y  f x 0 x f x 0  f 2 f 1  4 4

2 1 15

Câu 2 Số gia của hàm số   3

f x x x khi x  , 0 0  x 1

Lời giải

Ta có: y  f x 0 x f x 0  f 1 f 0 131  030  2

Câu 3 Tìm số gia của hàm số  

3

x

Lời giải

Ta có: y  f x 0 x f x 0  fx f 0   3  0 3

x



3

x





f x x x ứng với x , 0 x là

Lời giải

Ta có: y  f x 0 x f x 0  2    2 

x  x  x  x  x x  x x 2x01

Câu 5 Tìm số gia của hàm số   2

2

f x x  khi x  , 0 0  x 2

Lời giải

Ta có: y  f x 0 x f x 0  f 2 f 0 22 2 0224

1

f x

x



 khi, x  , 0 1  x 1

Lời giải

Ta có: y  f x 0 x f x 0  f 1 f 0 31 31 7



Câu 7 Tìm số gia của hàm số f x  x theo số gia 1 x của đối số x tại x  0 0

Lời giải

Ta có: y  f x 0 x f x 0  fx f 0    x 1

Dạng 2 Tính đạo hàm bằng định nghĩa tại điểm

Tính đạo hàm của hàm số y f x  tại điểm x bằng định nghĩa ta làm theo các bước sau 0

Bước 1: Tính y  f x 0 xf x 0

Bước 2: Lập tỉ số y

x



Bước 3: Tìm

0

lim

x

y x

 



Câu 1 Tính đạo hàm của hàm số sau:

y f x  x  x tại x 0 0

b.y f x   x1x32 tại x  0 1

Lời giải

a Với đối số tại x 0 0 ta có số gia:    x x 0 x

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

2



b Với đối số tại x  0 1 ta có số gia:

         

 1   1 1 1 1 3 2  4

4

y

  





Câu 2 Tính đạo hàm tại 1 điểm

1

  tại x  0 1

2 3

x

 

 tại x 0 3

2

x

 tại x 0 0

Lời giải

a Với đối số tại x  0 2 ta có số gia:

2

     

 

 

2

f



b Với đối số tại x 0 3 ta có số gia:

      

2

x

y

 

2

f



c Với đối số tại x 0 0 ta có số gia:

 

2 0

x



 

 

2

f



1

y f x  x  x tại x 0 2

b y f x 3 x tại 1 x 0 1

Lời giải

a Với đối số tại x 0 2 ta có số gia:

      

Trang 4

 

f



2 0

lim

2

x

 

 

b Với đối số tại x 0 1 ta có số gia:

      

 

3

f

   



Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại x 0 1

a y f x sin 2x tại 0

2



b.y f x  1 2 cos 3x tại 0

6

 

Lời giải

a Với đối số tại 0

2

 ta có số gia:



sin 2 2 sin 2

f



 



 

b Với đối số tại 0

6

  ta có số gia:

1 2 cos 3 1 2 cos 3 2 cos 3

2

 

2 sin 3 6 sin 3

3

f



Câu 5 Tính đạo hàm của hàm số

3 2 1 1

( )

x

 



tại x 0

Lời giải

Ta có : f(0)0, do đó:

3 2

2

1 1

Vậy (0) 1

2

f  

Trang 5

Câu 6 Tính đạo hàm của hàm số 3 2

1

x x









tại x  0 1

Lời giải

lim ( ) lim 2 3 5

2

1

x

 Dẫn tới

x f x x f x

   suy ra: hàm số không liên tục tại x  nên hàm số không có đạo 0 1 hàm tại x  0 1

Dạng 3 Tính đạo hàm của hàm số trên 1 khoảng bằng định nghĩa

Phương pháp tính đạo hàm cuả hàm số trên 1 khoảng bằng định nghĩa

- Cho đối số một số gia: x

- Tính  y f x  x f x 

- Lập tỉ số và tính giới hạn:  

0

x

y

x

 



  



2

c.y f x 4x 3

Lời giải

a Cho đối số 1 số gia: x

2

y





b Cho đối số 1 số gia: x



c Cho đối số 1 số gia: x

4

y

   



x



1

x





1

x



Lời giải

Trang 6

y



3

x





y



c Làm tương tự ta được:

2 2 2

1 1

x y

x



 



2

b y f x  x1x  1

Lời giải

3

2

3

2

3

2 lim

x

y y

   

 







 



x



b Làm tương tự ta được: 1

y

x

 



a y f x sin 2x1

b.y f x  2 cos 3x

Lời giải

Trang 7

2 cos 2 sin

y

   





3 2

y

x







Dạng 4 Mối quan hệ giữa liên tục và đạo hàm

Câu 1 Cho hàm số y f x( ) | x |

a Xét tính liên tục của hàm số tại x 0

b Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số tại x 0

Lời giải

a Ta xét

x y x x

Như vậy

Vậy hàm số đã cho liên tục tại x 0

b Ta có

( ) ( 0) | x |

0

f



( ) ( 0) | x |

0

f





 '(0 ) '(0 )

Vậy hàm số đã cho không tồn tại đạo hàm tại x 0

Câu 2 Cho hàm số

2

( )

x x

y f x

x x





a) Chứng minh rằng hàm số liên tục tại x 0

b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm x 0hay không? Tại sao?

Lời giải

a Ta xét

x  f x x x

2

Như vậy

x f x x f x f

b Ta có

Trang 8

0

f



2

0

f



 '(0 ) '(0 )

Câu 3 Chứng minh rằng hàm số

2

( 1) , 0 ( )

(x 1) , 0

x



không có đạo hàm tại x  , nhưng liên tục tại 0 0

đó

Lời giải

Có

0

f



0

f



 '(0 ) '(0 )

Ta xét

2

x  f x x 

2

x  f x x 

Như vậy

Câu 4 Chứng minh rằng hàm số

2

( )

1

f x

x



 liên tục tại x   nhưng không có đạo hàm tại điểm 1

đó

Lời giải

Vì hàm f x( ) xác định tại x  1 nên nó liên tục tại đó

Ta có:

f



1

f x f f

x





f  f 

       f x( ) không có đạo hàm tại x  1

Câu 5 Cho hàm số   22 1 1

f x

x bx khi x



 



Để hàm số này có đạo hàm tại x  1 thì giá trị của b

là?

Lời giải

Trang 9

Ta có:

 1 3

x f x x x

Để hàm số f x  có đạo hàm tại x  1 khi và chỉ khi f x  liên tục tại x  1

Câu 6 Tìm a b, để hàm số  

2

1 1

f x

ax b khi x

 



có đạo hàm tại x  1

Lời giải

Điều kiện cần:

 1 2

Để hàm số f x  có đạo hàm tại x  1 thì f x  liên tục tại x  1

Điều kiện đủ:

 1

f      

1

1 lim

1

x







2

1

2 lim

1

x





 

1

x





 1

f      

1

1 lim

1

x







    1

1 lim

1

x











1

lim

1

x







lim

1

x

ax a

a x







Để hàm số f x  có đạo hàm tại x  1 thì f 1  f 1      a 3 b 1

Câu 7 Tìm a b, để hàm số  

3

1 3

1

x

khi x

f x







 



có đạo hàm tại x  1

Lời giải

Điều kiện cần:

 1 1

3

 

3

1

x

f x

Để hàm số f x  có đạo hàm tại x  1 thì f x  liên tục tại x  1

x f x x f x f

3

a b

Điều kiện đủ:

 1

f      

1

1 lim

1

x











3

1

lim

1

x

x x











2

1

3

x





 



Trang 10

 1

f      

1

1 lim

1

x







    1

1 lim

1

x











1

lim

1

x







lim

1

x

ax a

a x







Để hàm số f x  có đạo hàm tại x  1 thì f 1  f 1 1 2

3

PHẦN 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?

A Nếu hàm số y f x  có đạo hàm trái tại x thì nó liên tục tại điểm đó 0

B Nếu hàm số y f x  có đạo hàm phải tại x thì nó liên tục tại điểm đó 0

C Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm 0 x0

D Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó 0

Lời giải Chọn D

Ta có định lí sau:

Câu 2 Cho hàm số y 1

x

 Tính tỉ số y

x



 theo x và x0  (trong đó x là số gia của đối số tại x và 0 y

là số gia tương ứng của hàm số) được kết quả là

A

0

1

y



 

1

y





1

y





1

y



 

y



Suy ra

0 0

1

y



 

Câu 3 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm tại x là 0 f x( )0 Khẳng định nào sau đây là sai?

A

0

( ) lim

x x

f x



( ) lim

x

f x

x

 

  

C

0

0 0

0

( ) ( ) ( ) lim

x x

f x





0 0

( ) lim

h

f x

h



Lời giải Chọn A

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

Câu 4 Số gia y của hàm số f x( )x4 tại x   ứng với số gia của biến số 0 1   là x 1

Lời giải Chọn C

4 4

Câu 5 Tính số gia y của hàm số y 1

x

 theo x tại x  0 2

A

4

2 2

x y

x

 

 

x y

x



 

  C  2

1

y x

 



2 2

x y

x



  

 

Trang 11

Ta có

x y



Câu 6 Cho hàm số y f x  xác định trên  thỏa mãn    

3

x







 Kết quả đúng là

A f  2 3 B f x 2 C f x 3 D f  3 2

Lời giải

Chọn D

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có

   

  3

3

x

f x







 

Câu 7 Cho hàm số y x3 gọi 1 x là số gia của đối số tại x và y là số gia tương ứng của hàm số,

tính y

x



3x 3 x x  x B 2  2

3x 3 x x  x

C 3x23 x x   x2 D 3x23 x x   x3

Lời giải Chọn B

Ta có :

 2

y

x



Câu 8 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm thỏa mãn f  6 2 Giá trị của biểu thức    

6

6 lim

6

x





 bằng

1 2

Hàm số y f x  có tập xác định là D và x0D Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

    0

0

lim

x x





 thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại x 0 Vậy kết quả của biểu thức    

  6

6

x

f x









Câu 9 Cho hàm số   3

1

x

f x

x



 Tính f  0

A f  0 0 B f  0 1 C  0 1

3

f   D f  0 3

1

f x f f





Trang 12

Mà

x  x x  x x  x x  x x  x x  x 

 

0

3

1

x

f

x







Kết luận: f  0 3

Câu 10 Cho hàm số  

khi khi

x x

f x

x







 





1 1

5

1 4

Tính f' 1

50

64

Ta có:

 

2

1

 Hàm số liên tục lại x 1

f

 



2

1

64

2

7 12

3

x







Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x  0 3

B Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại x  0 3

C Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại x  0 3

D Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x  0 3

TXĐ: D  

 

2

7 12

3







x

 

2

7 12

3





f x

3



Đạo hàm của hàm số tại x  0 3     2

f

Suy ra: Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x  0 3

Câu 12

0

lim

x

y x

 



 của hàm số f x  3x  theo x là: 1

Trang 13

A 3

3

x

1

2 3x 1

Ta có:

0

lim

x

y x

 



0

lim

x

 



3 lim

 



3

2 3x 1





Câu 13 Cho   2018 2

0

lim

x

 

A 1009 B 1008 C 2018 D 2019

Theo định nghĩa đạo hàm ta có    

  0

x

f x

 

  



Vậy giá trị của    

0

x

 

  



2





Mệnh đề sai là

A f  1 2 B f không có đạo hàm tại x 0 1

C f  0 2 D f  2 4

Lời giải

Ta có

   

2

x

Vậy f 1  f 1  f 1 2 Suy ra hàm số có đạo hàm tại x 0 1. Vậy B sai

2 3

2 1

x

f x

x x

 





 



Khẳng định nào dưới đây là sai?

A Hàm số f x  liên tục tại x 1

B Hàm số f x  có đạo hàm tại x 1

C Hàm số f x  liên tục tại x  và hàm số 1 f x  cũng có đạo hàm tại x  1

D Hàm số f x không có đạo hàm tại   x  1

Lời giải

 

2

3

2

x

f x



1

f x

x

  Do đó, hàm số f x liên tục tại   x  1

   

2

   

  Do đó, hàm số f x  có đạo hàm tại x 1

Trang 14

2 khi 1 ( )

2 1 khi 1

f x

 



Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x 1 thì 2a b

bằng:

Lời giải

    1

1 lim

1

x









1

x

x x





 



    1

1 lim

1

x







2

1

lim

1

x









 2    1

lim

1

x









1

lim

1

x









1





     2a b

Theo yêu cầu bài toán:        



Câu 17 Cho hàm số f x  x Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 1

C f x  liên tục tại x 1 D f x  đạt giá trị nhỏ nhất tại x 1

Lời giải

Ta có f 1 0

   

Do đó hàm số không có đại hàm tại x  1

2

1, 0

f x

 



Khi hàm số f x  có đạo hàm tại x  Hãy tính 0 0 2

A T  4 B T 0 C T  6 D T 4

Lời giải

Ta có f 0 1

 

0

lim

x f x



0

x





 

0

lim

x f x



0

x ax b





      b 1

Để hàm số có đạo hàm tại x  thì hàm số phải liên tục tại 0 0 x  nên 0 0

  Suy ra   b 1 1b 2 Khi đó  

2

1, 0

f x

 



Xét:

0

0 lim

x





0

lim

x





0

x ax





0

0 lim

x







0

1 1 lim

x

ax x





 

0

lim

x

a





Hàm số có đạo hàm tại x  thì 0 0 a  2

Vậy với a  2,b  2 thì hàm số có đạo hàm tại x  khi đó 0 0 T  6

Câu 19

0

lim

x



 , với a

b là phân số tối giản, a là số nguyên âm Tổng a b

bằng

Tiêu đề	Bài 1 Định nghĩa đạo hàm đáp án
Tác giả	Nguyễn Bảo Vương
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	tài liệu tự học
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	390,05 KB