Chuyên đề Căn bậc hai Toán 9 A Lý thuyết 1 Căn bậc hai a Khái niệm Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a Ví dụ 1 Số 16 là số không âm, căn bậc hai của 16 là số x sao cho x2 = 16 Do[.]
Trang 1Chuyên đề Căn bậc hai - Toán 9
A Lý thuyết
1 Căn bậc hai
a Khái niệm: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a
Ví dụ 1 Số 16 là số không âm, căn bậc hai của 16 là số x sao cho x2 = 16
Do đó căn bậc hai của 16 là 4 và −4
b Tính chất:
- Số âm không có căn bậc hai
- Số 0 có đúng một căn bậc hai đó chính là số 0, ta viết 0=0
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau; số dương ký hiệu là a , số âm
ký hiệu là − a
Ví dụ 2
- Số −12 là số âm nên không có căn bậc hai
- Số 64 có hai căn bậc hai là 8 và −8
- Số 15 có hai căn bậc hai là 15 và -15
2 Căn bậc hai số học
a Định nghĩa: Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a Số 0 cũng
được gọi là căn bậc hai số học của 0
Ví dụ 3 Căn bậc hai số học của 36 là 36 (= 4)
- Căn bậc hai số học của 7 là 7
Chú ý Với a ≥ 0, ta có:
Trang 2Nếu x=a thì x ≥ 0 và x2 = a;
Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x=a
- Ta viết x=a⇔x≥0,x2=a
Ví dụ 4 Tìm căn bậc hai số học của các số sau đây: 25; 81; 225; 324
Lời giải:
Ta có:
• 25=5 vì 5 > 0 và 52 = 25;
• 81=9 vì 9 > 0 và 92 = 81;
• 225=15 vì 15 > 0 và 152 = 225;
• 324=18 vì 18 > 0 và 182 = 324
b Phép khai phương:
- Phép khai phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm (gọi tắt là
khai phương)
- Khi biết một căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai của nó
Ví dụ 5
- Căn bậc hai số học của 9 là 3 nên 9 có hai căn bậc hai là 3 và −3
- Căn bậc hai số học cuả 256 là 16 nên 256 có hai căn bậc hai là 16 và −16
3 So sánh các căn bậc hai số học
Định lí Với hai số a và b không âm, ta có: a<b⇔a<b
Ví dụ 6 So sánh:
Trang 3a) 3 và 11;
b) 5 và 15
Lời giải:
a) Vì 9 < 11 nên 9<11
Vậy 3<11
b) Vì 25 > 15 nên 25>15
Vậy 5>15
B Bài tập
I Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho số thực a > 0 Số nào sau dây là căn bậc hai số học của a?
Lời giải:
Với số dương a, số √a được gọi là căn bậc hai số học của a
Đáp án cần chọn là: A
Câu 2: Cho số thực a > 0 Căn bậc hai số học của a là x khi và chỉ khi
Trang 4Lời giải:
Với số dương a, số x được gọi là căn bậc hai số học của a khi và chỉ khi
Đáp án cần chọn là: D
Câu 3: Số bào sau đây là căn bậc hai số học của số a = 0,36
A – 0,6
B 0,6
C 0,9
D – 0,18
Lời giải:
Căn bậc hai số học của a = 0,36 là √0,36 = 0,6
Đáp án cần chọn là: B
Câu 4: Số nào sau đây là căn bậc hai số học của số a = 2,25
A – 1,5 và 1,5
B 1,25
C 1,5
D – 1,5
Lời giải:
Trang 5Căn bậc hai số học của a = 2,25 là √2,25 = 1,5
Đáp án cần chọn là: C
Câu 5: Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải:
Đáp án cần chọn là: C
Câu 6: Khẳng định nào sau đây là sai:
Lời giải:
- Với hai số a, b không âm ta có a < b ⇔ √a < √b nên c đúng
- Với hai số a, b không âm ta có a > b ≥ 0 ⇔ √a > √b nên D sai
- Sử dụng hằng đẳng thức
Trang 6nên A, B đúng
Đáp án cần chọn là: D
Câu 7: So sánh hai số 2 và 1 + √2
Lời giải:
Đáp án cần chọn là: C
Câu 8: So sánh hai số 5 và
Lời giải:
Trang 7Đáp án cần chọn là: C
Câu 9: Biểu thức có nghĩa khi:
A x < 3
B x < 0
C x ≥ 0
D x ≥ 3
Lời giải:
Đáp án cần chọn là: D
Câu 10: Biểu thức có nghĩa khi
Lời giải:
Trang 8Đáp án cần chọn là: B
II Bài tập tự luận có lời giải
Câu 1: Tính căn bậc hai số học của:
a 0,01 b 0,04 c 0,49 d 0,64
e 0,25 f 0,81 g 0,09 h 0,16
Lời giải:
a √0,01 = 0,1 vì 0,1 ≥ 0 và (0,1)2 = 0,01
b √0,04 = 0,2 vì 0,2 ≥ 0 và (0,2)2 = 0,04
c √0,49 = 0,7 vì 0,7 ≥ 0 và (0,7)2 = 0,49
d √0,64 = 0,8 vì 0,8 ≥ 0 và (0,8)2 = 0,64
e √0,25 = 0,5 vì 0,5 ≥ 0 và (0,5)2 = 0,25
f √0,81 = 0,9 vì 0,9 ≥ 0 và (0,9)2 = 0,81
g √0,09 = 0,3 vì 0,3 ≥ 0 và (0,3)2 = 0,09
h √0,16 = 0,4 vì 0,4 ≥ 0 và (0,4)2 = 0,16
Câu 2: Dùng máy tính bỏ túi tim x thỏa mãn đẳng thức (làm tròn đến chữ số thập phân
thứ ba)
a x2 = 5 b x2 = 6
c x2 = 2,5 d x2 = √5
Lời giải:
a x2 = 5 ⇒ x1 = √5 hoặc x2 = -√5
Trang 9Ta có: x1 = √5 ≈ 2,236 hoặc x2 = -√5 ≈ -2,236
b x2 = 6 ⇒ x1 = ≈6 hoặc x2 = -≈6
Ta có: x1 = 6 ≈ 2,449 hoặc x2 = -≈6 ≈ -2,449
c x2 = 2,5 ⇒ x1 = √2,5 hoặc x2 = - √2,5
Ta có: x1 = √2,5 ≈ 1,581 hoặc x2 = - √2,5 = -1,581
d x2 = 5 ⇒ x1 = √(√5) hoặc x2 = √(√5)
Ta có: x1 = √(√5) ≈ 1,495 hoặc x2 = - √(√5) = -1,495
Câu 3: Số nào có căn bậc hai là:
a √5 b 1,5 c -0,1 d -√9
Lời giải:
a Số 5 có căn bậc hai là √5
b Số 2,25 có căn bậc hai là 1,5
c Số 0,01 có căn bậc hai là -0,1
d Số 9 có căn bậc hai là -√9
Câu 4: Tìm x không âm biết:
a √x = 3 b √x = √5 c √x = 0 d √x = -2
Lời giải:
a √x = 3 ⇒ x = 32 ⇒ x = 9
b √x = √5 ⇒ x = (√5 )2 ⇒ x = 5
c √x = 0 ⇒ x = 02 ⇒ x = 0
d Căn bậc hai số học là số không âm nên không tồn tại giá trị nào của √x thỏa mãn x
= -2
Câu 5: So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)
Trang 10a 2 và √2 + 1 b 1 và √3 – 1
c 2√31 và 10 d -√3.11 và -12
Lời giải:
a Ta có: 1 < 2 ⇒ √1 < √2 ⇒ 1 < √2
Suy ra: 1 + 1 < √2 + 1
Vậy 2 < √2 + 1
b Ta có: 4 > 3 ⇒ √4 > √3 ⇒ 2 > √3
Suy ra: 2 – 1 > √3 – 1
Vậy 1 > √3 – 1
c Ta có: 31 > 25 ⇒ √31 > √25 ⇒ √31 > 5
Suy ra: 2.√31 > 2.5
Vậy 2.√31 > 10
d Ta có: 11 < 16 ⇒ √11 < √16 ⇒ √11 < 4
Suy ra: -3.√11 > -3.4
Vậy -3√11 > -12
25?
Lời giải:
Căn bậc hai số học của 25 là
Câu 7: Chứng minh:
Viết tiếp một số đẳng thức tương tự
Trang 11Lời giải:
Bài 8: Cho hai số a, b không âm Chứng minh:
a Nếu √a < √b thì a < b
b Nếu a < b thì √a < √b
Lời giải:
a a ≥ 0; b ≥ 0 và a < b ⇒ b > 0
Ta có: √a ≥ 0; √b ≥ 0 suy ra: √a + √b > 0 (1)
Mặt khác: a – b = (√a )2 – (√b )2 = (√a + √b )(√a - √b )
Vì a < b nên a – b < 0
Suy ra: (√a + √b )(√a - √b ) < 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: √a - √b < 0 ⇒ √a < √b
Trang 12b a ≥ 0; b ≥ 0 và √a < √b ⇒ √b > 0
Suy ra: √a + √b > 0 và √a - √b < 0
(√a + √b )(√a - √b ) < 0
⇒ (√a )2 – (√b )2 < 0 ⇒ a – b < 0 ⇒ a < b
Bài 9: Cho số m dương Chứng minh:
a Nếu m > 1 thì √m > 1 b Nếu m < 1 thì √m < 1
Lời giải:
a Ta có: m > 1 ⇒ √m > √1 ⇒ √m > 1
b Ta có: m < 1 ⇒ √m < √1 ⇒ √m < 1
Bài 10: Cho số m dương Chứng minh:
a Nếu m > 1 thì m > √m b Nếu m < 1 thì m < √m
Lời giải:
a Ta có: m > 1 ⇒ √m > √1 ⇒ √m > 1
Vì m > 0 nên √m > 0
Suy ra: √m √m > 1.√m ⇒ m > √m
b Ta có: m < 1 ⇒ √m < √1 ⇒ √m < 1
Vì m > 0 nên √m > 0
Suy ra: √m √m < 1.√m ⇒ m < √m
III Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm x để các căn thức bậc hai sau có nghĩa
Trang 13Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau:
Câu 3: Giải các phương trình sau:
Câu 4: Chứng minh rằng:
Trang 14√2 + √6 + √12 + √20 + √30 + √42 < 24
Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 6: Rút gọn biểu thức A
Câu 7: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức M;
b) Tìm các giá trị của x để M = 4
Câu 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức:
Câu 9: Tìm x, để
Trang 15Câu 10: Số nào có căn bậc hai là:
a) 5 b) 1,5 c) -0,1 d) -9
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:
Chuyên đề Căn bậc hai và hằng đẳng thức
Chuyên đề Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
Chuyên đề Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
Chuyên đề Bảng căn bậc hai
Chuyên đề Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai