HỆ THỐNG KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN TOÁN – HK I CHUYÊN ĐỀ CĂN BẬC HAI - BẬC BA

b Tìm m để đồ thị của hàm số song song với đường phân giác của góc phần tư thứ I.. CHU YÊN ĐỀ 4 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PT I.. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PH

CHUYÊN ĐỀ 1 CĂN BẬC HAI - BẬC BA

I Căn Bậc hai

1 Điều kiện để căn thức có nghĩa: A có nghĩa khi A  0

2 So sánh các căn bâc hai:

Với a ≥ 0 và b ≥ 0 ta có: a > b  a  b

3 Phép khai phương:

0

A Khi A

A A

A Khi A







* AB  A. B ( với A  0 và B  0 )

*

B

A

B A  ( với A  0 và B > 0 )

4 Các công thức biến đổi căn thức:

a Đưa biểu thức ra ngoài , vào trong dấu căn:

* 2

( 0)

A B A B B

* A B  A2B ( với A  0 và B  0 )

A B   A2B ( với A < 0 và B  0 )

b Khử mẫu, Trục căn thức ở mẫu:

*

B

AB

B A  ( với AB  0 và B  0 )

*

B

B A B

A  ( với B > 0 )

B A

B A C B A

C







 ( Với A  0 và A  B2 )

*

B A

B A C B A

C







) (  ( với A  0, B  0 và A  B )

II Căn Bậc ba

* 3 3

A  A

* So sánh: a > b  3 3 3 3

a  b

III Bài tập áp dụng

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a) 50 8 68

17



b) 96. 7 6 1

7 2  3

Gi ải

68 68

17 17

2

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) 12  27  48

b) 4 2 3 

Gi ải

a) 12  27  48  4.3  9.3  16.3  2 3 3 3 6 3     3

4 2 3   3 2 3 1    ( 3 1)   3 1   3 1 

Bài 3: Tìm x biết:

a) x  2 3

(x 1)  2

Gi ải

9 2 11

x x

    

  

  Vậy x = 11

Vậy x = 3 hoặc x = -1

Bài 4: Tìm x biết:

a) 4x  4 9x  9 25x 25 2    10 (x 1)

b) 4 2x 10 8x 9 18x 20   10 (x 0)

Gi ải

4( 1) 9( 1) 25( 1) 10 2

1 2

1 4

5 ( )

x

x

x

    

  

 

Vậy x = 5

Vậy x = 50

IV Bài tập tự luyện

Bài 1.1: Thực hiện phép tính:

a) 90 6, 4 b) 12

27 c) 360 2, 5

81 d) 18 8 52

13

 e) 24. 11 6 1

11 3  2

2

1 2

x x

 



    



b) 4 2 10 8 9 18 20 10 ( 0)

4 2 10 4.2 9 9.2 10 20

4 2 10.2 2 9.3 2 30

2 10

2 100

50 ( )

x x x

 

Bài 1.2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) 2 x 9x 81x ( x ≥ 0)

b) ( 2  18  8): 2

c) 9 4 5 

d) ( 5  20  45):2 5

e) ( 7  28  2) 7+ 14

Bài 1.3: Tìm x biết:

a) 2x  1 5

(x 2)  4

Bài 1.4: Tìm x biết:

a) 4x  8 9x 18  25x 50    4 20 (x 1)

b) 9x 18  4x  8 10 (x  2)

c) 4 3x 12x 2 27x  12 (x 0)

-

CHUYÊN ĐỀ 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC

I KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1 Hằng đẳng thức đáng nhớ:

a) Hiệu hai bình phương: A2– B2

= (A+B)(A-B) ( Biểu thức liên hợp)

Ví dụ: * x2– 1 = (x+1)(x-1)

* a – 1 = ( a 1)( a 1)

* q – 4 = ( q 2)( q 2)

b) Bình phương của một tổng, hiệu: (A ± B)2

= A2 ± 2AB + B2

Ví dụ: * (a – 1)2

= a2– 2a + 1

* ( x – 1)2 = x – 2 x + 1

* y + 2 y + 1 = ( y + 1)2

* m - 4 m + 4 = ( m - 2)2

2 Đặt nhân tử chung:

Ví dụ: * x - x = x( x - 1)

* a +2 a = a( a + 2)

3 Nhân đa thức với đa thức:

Ví dụ: * a( a - 2) = a - 2 a

* ( x+2)( x - 1) = x - x+2 x-2 = x + x - 2

4 Quy trình rú t gọn:

- Bước 1: Phân tích tử và mẫu nếu có (hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung)

- Bước 2: Tìm ĐKXĐ (nếu bài toán chưa cho)

- Bước 3: Rút gọn trực tiếp (nếu tử và mẫu có nhân tử chung)

- Bước 4: Quy đồng rồi rút gọn (nếu không rút gọn trực tiếp được)

- Bước 5: Kết luận

I I Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho biểu thức: P = x 1 x 1

x x x x

  

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của x sao cho P =3

2

Gi ải

Lưu ý phân tích các mẫu: x x x( x 1)

x x x( x 1)

a) ĐKXĐ

Ta có:

b) Ta có

Vậy x = 16

9

Bài 2: Cho biểu thức Q = 2 3 3 1

1

a a





a) Rút gọn biểu thức Q

b) Tìm a sao cho Q 2

3

 c) Tính giá trị của Q tại a = 3 2 2 

Gi ải

a) ĐKXĐ

Ta có:

0

0 0

1

1 0

x

x x

x x







  



P

1

1 0

a a





2 3 3 1

Q

1

a a

a

a













b) Ta có c) Thay a = 2

3 2 2    2 2 2 1   ( 2 1)  vào Q:

Bài 3: Cho biểu thức A = 1 1 1

:

x



a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị nguyên của x sao cho A nhận giá trị nguyên

Gi ải

a) ĐKXĐ

Ta có:

Q

2

4 ( )

a a a a a



 

2

Q

1 ( 2 1) 1

2

2 1 1 2

2 2

a



 

0

0 0

1

1 0

x

x x

x x







  



2

2

1

x x







b) Ta có

Biểu thức A nhận giá trị nguyên khi x là ước nguyên của 1, tức là:

1

x

x x

 



 



Vậy x không tồn tại

III Bài tập tự luyện

Bài 2.1: Cho biểu thức: N = a a a a

a) Rút gọn biểu thức N

b) Tìm giá trị của a để N = -2015

Bài 2.2: Cho biểu thức: A =

a a a a

  

a) Rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức A khi a =

4 9

Bài 2.3: Cho biểu thức E =

1

3 1









x x

x x

x

a) Rút gọn biểu thức E b) Tìm x để E = -1

Bài 2.4: Cho biểu thức 1 1 2 c

c 4

c 2 c 2





a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm c để P = 2

3

Bài 2.5: Cho biểu thức A = 1 2 1

: 1

x

x

a) Rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh rằng A - 2 > 0 với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ

Bài 2.6: Cho biểu thức: M = 1

1

x

x x x

a) Rút gọn M b) Tìm x sao cho x > 1/9 và M nhận giá trị nguyên

Bài 2.7: Cho biểu thức: Q = 1 1 1

1

a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị nguyên của a để Q nhận giá trị nguyên



(lo ại) (loại)

CHUYÊN ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT

I HÀM SỐ BẬC NHẤT: y = ax + b (a ≠ 0)

1 Tính chất: Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có

tính chất sau:

- Đồng biến trên R khi a > 0

- Nghịch biến trên R khi a < 0

2 Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) : là một đường thẳng

a) Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)

Bước 1 Cho x = 0 thì y = b => A(0; b) thuộc trục tung Oy

Cho y = 0 thì x = -b/a => B(-b/a; 0) thuộc trục hoành Ox

b) Chú ý: Nếu b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax + b trở thành đường thẳng y = ax (đi qua gốc tọa độ)

3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0) Khi đó:

 Hai đường song song khi: '

'

a a

b b





 



 Hai đường cắt nhau khi: aa'

 Hai đường trùng nhau khi: '

'

a a

b b





 



 Hai đường vuông góc khi: a.a’ = -1

4 Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0)

a) Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox

- Nếu a > 0 thì góc đó là góc nhọn

- Nếu a < 0 thì góc đó là góc tù

b) Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b chớnh là hệ số a

II – MỘT SỐ GỢI Ý KHI GIẢI CÁC BÀI TẬP

1 Đi qua điểm: là cho x và y => Thay x và y vào hàm số

2 Cho hệ số góc: là cho hệ số a

3 Cho tung độ gốc: là cho hệ số b

4 Vị trí tương đối:

 Song song: a = a’ và b ≠ b’

 Cắt nhau: a ≠ a’

 Trùng nhau: a = a’ và b = b’

5 Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ: là cho x , còn y = 0

6 Cắt trục tung tại điểm có tung độ: là cho y , còn x = 0

7 Đường thẳng (d) cắt (d’) tại điểm có hoành độ (là cho x):

 Thay x vào (d’) để tìm y

 Thay x và y vừa tìm được vào (d) để tìm giá trị tham số

8 Đường thẳng (d) cắt (d’) tại điểm có tung độ (là cho y):

 Thay y vào (d’) để tìm x

 Thay x và y vừa tìm được vào (d) để tìm giá trị tham số

9 Lập phương trình đường thẳng y = ax + b biết đi qua hai điểm A(x1 ; y1) và A(x2 ; y2) :

 Thay toạ độ điểm A vào hàm số ta có pt(1): ax1 + b = y1

 Thay toạ độ điểm B vào hàm số ta có pt(2): ax2 + b = y2

 Giải hệ phương trình trên để tìm a và b

III – BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Tìm các giá trị của tham số để hàm số sau đồng biến? Nghịch biến?

y = (m – 1)x + 2

Gi ải

Hàm số đồng biến khi: a > 0  m – 1 > 0  m > 1

Hàm số nghịch biến khi: a < 0  m – 1 < 0  m < 1

Bài 2: Tìm giá trị của tham số để ba đường thẳng sau đồng quy (cắt nhau tại một điểm): (d1) y = x

(d2) y = -2x+3

(d3) y = (n-1)x + n + 2

Giải

Gọi A là giao điểm của (d1) và (d2)

Giải pt hoành độ giao điểm: x = -2x + 3

 x + 2x = 3  3x = 3  x = 1 Khi đó y = x = 1 Suy ra điểm A(1;1)

Ba đường thẳng trên đồng quy khi (d3) cũng đi qua A

Thay x = 1, y = 1 vào (d3) ta được

(d3) (n-1)x + n + 2 = y

 (n-1).1 + n + 2 = 1

 n-1 + n + 2 = 1  2n = 0  n = 0

Vậy n = 0

Bài 3: Cho hàm số bậc nhất: y = (m – 1)x + m + 3

a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

c) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

Giải

ĐK: a ≠ 0  m – 1 ≠ 0  m ≠ 1

a) Thay x = 1, y = -4 vào hàm số ta được:

(m – 1)x + m + 3 = y

 (m – 1).1 + m + 3 = -4

 m – 1 + m + 3 = -4

 m + m = -4 + 1 – 3  2m = -6

 m = -3 (TM)

Vậy m = -3

b) Hai đường thẳng song song với nhau khi:

Vậy m = -1

c) Gọi A(x0 ; y0) là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua

Ta có: y0 = (m – 1)x0 + m + 3

 y0 = mx0– x0 + m + 3

 y0 + x0 – 3 = mx0 + m

 y0 + x0 – 3 = m(x0 + 1)

 0

0 0

1 0

3 0

x

y x

 



   

0 0

1 4

x y

 



 

Vậy A(-1;4)

IV B ÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 3.1: Tìm các giá trị của tham số để các hàm số sau đồng biến? Nghịch biến?

a) y = (k – 3)x + 1 b) y = (1 – n)x – 2 c) y = (m + 1)x +2m - 2

Bài 3.2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = 2x + 2 b) y = -x + 3 c) y = 2x + 4

Bài 3.3: Tìm các giá trị của tham số để ba đường thẳng sau đồng quy

a)(d1) y = -x b)(d1) y = 2x - 1

(d2) y = -3x-2 (d2) y = (k+2)x + k - 3

(d3) y = (2m-1)x + m (d3) y = -x + 2

Bài 3.4: Cho hàm số: y = (n + 4)x - n + 6 (d)

a) Tìm các giá trị của n, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2)

b) Xác định n để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

c) Xác định n để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tung độ bằng 1

Bài 3.5: Cho hàm số bậc nhất: y = (m - 1)x + 3

a) Tìm các giá trị của m để nghịch biến trên R

b) Tìm m để đồ thị của hàm số song song với đường phân giác của góc phần tư thứ (I) c) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm C(2 ; 5)

Bài 3.6: Cho đường thẳng (d): y = nx + n - 1 với n khác 0

a) Tìm n để (d) đi qua điểm A(1 ; 3)

b) Tìm n để (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1

c) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi n

Bài 3.7: Xác định hàm số y = ax + b (d), biết rằng:

a) (d) đi qua M(1 ; 2) và song song với đường thẳng () : y =-x - 1

b) (d) song song với đường thẳng y =2x - 1 và cắt đường thẳng y = x + 1 tại điểm có hoành

độ bằng -2

Bài 3.8: Xác định hàm số y = ax + b (d), biết rằng:

a) (d) đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(2 ; 3)

b) Có tung độ gốc bằng 2 và song song với đường thẳng y = - x + 1

CHU YÊN ĐỀ 4 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PT

I HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1 Khái niệm: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng















' ' 'x b y c a

c by ax

2 Cách giải: Phương pháp cộng

(Có đối thì cộng, Có bằng thì trừ, Không có đối - bằng thì phải nhân thêm)

3 Bài tập áp dụng

Bài 1:Giải hệ phương trình: 2 7 (1)

3 8 (2)

x y

x y

 



  



Giải

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

5x = 15  x = 3 Thay x = 3 vào phương trình (1) ta được:

2.3 + y = 7  y = 1

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất là (3; 1)

Bài 2:Giải hệ phương trình: 2 3 1 (1)

x y

x y

  



  



Giải

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

4y = -4  y = -1 Thay y = -1 vào phương trình (1) ta được:

2x + 3.(-1) = -1  x = 1

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất là (1; -1)

Bài 3:Giải hệ phương trình: 2 4 (1)

5 2 6 (2)

x y

x y

 



  



Giải

5 2 8 (2)

4 2 10

x y

x y

x y

x y

 



  



 



   



Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

9x = 18  x = 2 Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được:

2.2 + y = 5  y = 1

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất là (2; 1)

4 Bài tập tự luyện

Bài 4.1:Giải các hệ phương trình:

a)   

   



2x y 3

4x y 5 b)   

   



x 2y 1 2x 2y 5

Bài 4.2:Giải các hệ phương trình:

a)   

  



x 3y 2

3x 3y 4 b) 3 3

x y

x y

 



  



Bài 4.3:Giải các hệ phương trình:

a) x y 1

x y 5

 



  



b)   

  



2x 3y 1

2x y 5

Bài 4.4:Giải các hệ phương trình:

a) 2x 3y 5

3x 4y 2

  



  



b) x 4y 6

4x 3y 5

 



  



Bài 4.5:Giải các hệ phương trình:

a)    

  



2x 4y 6

4x 2y 0

b) x 5y 7

3x 2y 4



  



Bài 4.6:Giải các hệ phương trình:

a)  

  



6x 3y 0

7x 5y 17

b)   

  



x 4y 5

3x 3y 6

Bài 4.7: Giải các hệ phương trình:

a)

  





  



1 2

5

x y

3 1

1

x y

b)

2

x x y

1, 7

x x y







c)







II GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1 C ách giải

B ước 1 : Lập hệ phương trình

1) Chọn hai ẩn và tìm điều kiện thích hợp của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng mà bài toán yêu cầu tìm)

2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

3) Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các lượng

Bước 2 : Giải hệ phương trình

Bước 3 : Kết luận bài toán

2 Bài tập tự luyện

Bài 4.8 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết ba lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 3 đơn vị Nếu đổi hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó giảm 18 đơn vị

Bài 4.9 Tìm giá của mỗi quả trứng gà và mỗi quả trứng vịt biết rằng giá của 5 quả trứng gà

và 5 quả trứng vịt là 10 000 đồng Giá của 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt là 9600 đồng

Bài 4.10 Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340 m Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều

rộng là 20 m Tính kích thước của mảnh vườn?

Bài 4.11 Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng là 1008, lấy số này chia số kia được thương là 2, dư 123

Bài 4.12 Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết 2 lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 1 Nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau được số mới nhỏ hơn số cũ là 27

Bài 4.13 Một ô tô dự định đi từ A và đến B lúc 12 giờ trưa Nếu xe đi với vận tốc 35km/h thì đến B chậm 2h so với dự định Nếu xe đi với vận tốc 50km/h thì đến B sớm hơn 1h so

với dự định Tính quãng đường AB và thời điểm xe xuất phát từ A

Bài 4.14 Tính độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác vuông, biết nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó tăng thêm 36cm2

Nếu một cạnh giảm 2cm, một cạnh giảm 4cm thì diện tích tam giác giảm 26cm2

Bài 4.15 Bác Toàn đi xe đạp từ thị xã về làng, cô Ba đi xe đạp từ làng lên thị xã Họ gặp nhau khi bác Toàn đi được 1h rưỡi, cô Ba đi được 2h Nếu hai người cùng đi từ hai địa điểm

và cùng khởi hành thì sau 1h 15 phút họ cách nhau 10.5km Tính vận tốc mỗi người biết làng cách thị xã 38km

Bài 4.16 Hai người cùng làm xong một công việc trong 16 giờ Nếu người thứ nhất làm được 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ được 25% công việc Hỏi nếu làm một mình mỗi người làm xong công việc trong bao lâu?

CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

I – LÝ THUYẾT:

1 Định lý Py ta go:

ABC vuông tại A 2 2 2

2 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

- Bình phương cạnh góc vuông = hình chiếu x cạnh huyền:

b2 = ab' c2 = ac'

- Bình phương đường cao = tích hai hình chiếu:

h2 = b'c'

- Tích hai cạnh góc vuông = cạnh huyền x đường cao:

ah = bc

- 12 12 12

c

b

h  

3 Tỉ số lượng giác của góc nhọn

tan AB; cot AC

4 Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

- Cạnh góc vuông = cạnh huyền nhân sin đối

b = a.sinB

- Cạnh góc vuông = cạnh góc vuông kia nhân tan đối

b = c.tanB

- Cạnh huyền = cạnh góc vuông chia sin đối

a = b : sinB

II – BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, biết AB = 3cm, AC = 4cm

Hãy tính BC, AH, BH

G iải

Tam giác ABC Vuông tại A có AB = 3, AC = 4.Theo định lí Pitago , tính được BC = 5cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC ta có: AB2

= BH.BC suy ra:

BH = 1 , 8

5

32 2





BC

AB

;

CH = BC – BH = 5 – 1,8 = 3,2

A

H

a

b

c h

A

A

A

B