Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh , nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo vi[r]
Trang 1ÔN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 CHUYÊN ĐỀ CĂN BẬC HAI-CĂN BẬC BA
A.LÝ THUYẾT
I.CĂN BẬC HAI-ĐỊNH NGHĨA VÀ KÍ HIỆU
1.Căn bậc hai số học của một số a0 là một số không âm x có bình phương bằng a.Kí
hiệu x= a
2 2
0
x
2.Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0
3.Với hai số a;b không âm ta có a b a b
II.CĂN THỨC BẬC HAI-ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI-HẰNG ĐẲNG THỨC 2
1.Điều kiện để Atồn tại là A0
0
AneuA
AneuA
III.KHAI PHƯƠNG MỘT TÍCH-NHÂN CÁC CĂN THỨC BẬC HAI
1.Quy tắc khai phương một tích: Nếu A0;B0thì A B A B
2.Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: : Nếu A0;B0thì A B A B
IV KHAI PHƯƠNG MỘT THƯƠNG-CHIA CÁC CĂN THỨC BẬC HAI
1.Quy tắc khai phương một thương: Nếu A0;B 0thì A A
2.Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: : Nếu A0;B 0thì A A
B
B
VI.BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI
1.Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn: 2
A B A B Với B 0
2 Đưa một thừa số vào trong dấu căn:
Với A0;B0 ta có 2
Với A 0;B0 ta có 2
3.Khử mẫu biểu thức lấy căn: A AB
B B Với AB 0 và B0 4.Trục căn thức ở mẫu:
a.Với B 0 ta có A A B
mB
b Với A 0; A 12
C
m A B
c Với A0;B0;A n22
C
m A n B
Trang 2VII.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH –RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
p Aq Ar A m p q r Am Trong đó m,p,q,rR A Q;
VIII.CĂN BẬC BA
1.Căn bậc ba của một số a là một lũy thừa bậc ba bằng a
2.Mọi số thực đều có căn bậc ba duy nhất
3.3
0 0
B.CÁC VÍ DỤ:
A
1 Rút gọn biểu thức A
2 Tìm x để 1
7
Điều kiện: 0; 1; 1
4
Đặt x a a; 0 2
, ta có:
1
A
A
1 2
1 1
1
1 2 1
1 2
a
a a
a a
a
a a a
a A
1 1 1
a
1
1
2
a a
1
1
x x
7
1 1
1 7
1 1
x x x
x
A
7
1
4
3 2
1 1
2
x x 6 0 x3 x2 0 x 3 0
0 x 9
Đối chiếu với điều kiện ta được:
1
4
x
2.Ví dụ 2.T nh
;
Trang 3* A= 2
*Đặt
3
11 2
9
3.Ví dụ 3 Cho biểu thức A=x5-6x4+12x3-13x+2014.Tính giá trị của A khi x= 3 5
Khi x= 3 5
2
2
4.Ví dụ 4:Cho đa thức x x3 3ax 2b;với x là biến số thực,a và b là các số thực cho trước
th a
a3+b20.T nh giá trị đa thức x tại 3 3 2 3 3 2
x a b b a b b
Giải
Ta có:
3
ậy giá trị đa thức x tại 3 3 2 3 3 2
x a b b a b b bằng 0
5.Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức P = x3 + y3 – 3(x + y) + 1972, biết rằng
Giải: Ta có x3 = 6 + 3x x3 – 3x = 6; y3 = 34 + 3y y3 – 3y 34 Do đó 6 34 1972
2012
Bài 9:Chứng minh rằng: 5 2 1 1 1 1 10 2
Từ (1) và (2) 5 2< S < 10 2 đpcm
Đặt S = 1 +
2
1 + 3
1 + +
50 1
Ta có S >
50
1 + 50
1 + +
50
1 = 50
1 50 = 5 2 (1)
Mặt khác: 1=
1 2
2
<
0 1
2
2 2
2
2 2
1
50
1 =
49 50
2 50
2
2
Cộng vế theo vế có:
S <
49 50
2
1 2
2 0
1
2
S < 2{( 1 0 ) ( 2 1 ) ( 50 49 )}= 2 50 =10 2(2)
Trang 46.Ví dụ 6: Giả sử a, b, c là các số hữu tỉ th a mãn điều kiện ab + bc + ca = 2018
Giải:Vì ab + bc + ca = 2018 nên
A= (abbccaa2)(abbccab2)(abbccac2)= 2 2 2
) a c ( ) c b ( ) b a
= ( a b )( b c )( c a )
Do a, b, c là các số hữu tỉ nên ( a b )( b c )( c a ) có giá trị là
số hữu tỉ.Vậy A có giá trị là số hữu tỉ
7.Ví dụ 7:Cho a,b,c ,d là các số thực thoả ac=bd và ab>0.Chứng minh rằng
a b c d a d b c
Giải:
2
c d
2abcd a c b d a b c d 2abcd a b c d a c b d
Mặt khác ac=bd nên abcd=(bd)2 0,mà ab>0 suy ra cd 0 suy ra ab+cd>0 suy ra
ab cd ab cd (3) Từ 1 2 3 suy ra điều phải chứng minh
8.Ví dụ 8:Với mỗi số nguyên dương n cho 1 1 5 1 5
5
n n
n u
a)Tính u2; u3
b) Chứng minh u2017+u2018=u2019
Giải:a) u2=1;u3=2
b)
2013 2014
2015
2
Trang 59.Ví dụ 9:Cho 1
2
x
,trong đó a>0;b>0.T nh giá trị biểu thức A=
2
2
1
x
2
2
2
2
a b
a b
a b
a b
b
; Nếu a b A b a
b
10.Ví dụ 10:Rút gọn biểu thức
2
2
x
Giải: Đặt
2 2
11.Ví dụ 11:Cho biểu thức 4 4
A
a) Rút gọn biểu thức A
b)Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhân giá trị nguyên
Giải:
a Để A có nghĩa trước hết x0.Đặt t= x x( 0) Ta có
2
A
Để biểu thức A có nghĩa thì t0,t1, 2, 4 x 0,x1, 4,16
Khi đó
A
b)
t A
Để A nguyên thì x nguyên và 2 1
t t
12.Ví dụ 12:Với số tự nhiên n,n 3
Đặt
n
S
1 2
n
S
Ta có
n
S
13.Ví dụ 13: Cho 3 số dương a,b,c thoả điều kiện 2 2 22
2
a b c
Trang 6Chứng minh rằng A= 2 2 2 2 2 2
2
Giải:
Ta có (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=22(ab bc ca ) 2 ab bc ca 1
Do đó A
C.BÀI TẬP
Bài 1: Tính giá trị biểu thức
6 11
3
10 6 3 3 1
E
2 1 3 1 6 1 5 2 2 3
Bài 2: Tính giá trị biểu thức P= x3 +3x +2 với 3
3
1
2 1
2 1
Bài 3:Cho hàm số f(x) = ( x3+12x -31)2014.Tính f(a) tại 3 3
16 8 5 16 8 5
Bài 4: Tính giá trị biểu thức M 1 ab 1 ab
với a 4 8 2 2 2 2 2 2 và
3 8 2 12 20
3 18 2 27 45
Bài 5: Với a,b,c,d là các số hữu tỉ th a mãn a+b+c+d = 0
Chứng minh x ab cd bc ad ca bd là số hữu tỉ
Bài 6: Cho x,y,z là các số dương th a mãn x y z xyz 4.Tính giá trị biểu thức
Bài 7: Cho a và b là hai số dương,c khác 0.Chứng minh : 1 1 1 0 a b a c b c
a b c
1
Bài 9:Chứng minh rằng số x0 2 2 3 6 3 2 3
là một nghiệm của phương trình : 4 2
Bài 10:Cho 3 số dương x,y,z th a x xy yz z 3 xyz Tính giá trị biểu thức
A
Bài 11: Chứng minh rằng với x y z, , 0;x y z
Trang 7Thì giá trị biểu thức
A
không phụ thuộc vào các biến x,y,z
1 2
x
Bài 13:Cho a>0 và 2
4a a 2 20.Chứng minh
1
2 1
a
Bài 14: Rút gọn biểu thức
2
2
A
bc a b c a b a b c
2
2
A
a) Rút gọn A b Tìm x để A= 2,5 c) Tìm GTLN của A
Bài 17:Cho biểu thức
2
P
a) Rút gọn P b Tìm x để biêỉ thức Q 2 x
P
nhận giá tyrị là số nguyên
A
a) Tìm các giá trị của x để 6 6
5
b) Chứng minh 2
3
A với mọi x th a 0; 1, 1
4
Bài 19:Cho M x 3 4 x 1 x 15 8 x1.Tìm GTNN của M với các giá trị tương ứng x Bài 20: Cho -1 < x <1.Tìm GTNN của
2
5 3 1
x A
x
Bài 21: Cho a;b;c là 3 số dương có tổng bằng 1.Chứng minh: 2 2 2 2 2 2
2
Bài 22: Cho a, b, c là các số thực dương th a : 2 2 2
a b c abc Tính giá trị biểu thức: 2 2 2 2 2 2
HSG Đồng Nai 2017)
Bài 23: Cho a, b, c là ba số thực dương th a ab + bc + ca = 1.Tính giá trị biểu thức:
Trang 8Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và TH T danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ ăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn
Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành t ch học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh
Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HL đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn ph , kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng h i đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ ăn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí