Chuyen de can bac hai on thi vao 10 THPT

[r]

Chuyên đề 1: phép toán căn

Bổ xung lí thuyết

thay đổi cách viết của hằng đẳng thức- kết hợp với lập công thức truy hồi dạng đơn

giản:

1/ (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2  a 2 + b 2 = (a + b) 2 -2ab

2/ (a-b) 2 = a 2- 2ab + b 2  a 2 + b 2 = (a-b) 2 + 2ab

3/ (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b)

 a 3 + b 3 = (a + b) 3 -3ab(a + b)

Và tơng tự ta có: a 3 - b 3 = (a-b) 3 + 3ab(a-b)

Nhận xét : khi biết tổng, tích hoặc hiệu và tích của hai số thực ta sẽ tính đợc giá trị của

biểu thức an  bn mà không cần tính giá trị của a hoặc b; hoặc không cần khai triển Niutơn

ví dụ áp dụng :

cho a; b là hai số thực thoả mãn: a + b = 2 và ab =-2 , tính :

a2 + b2 ; a3 + b3; a5 + b5

giải:

chứng minh công thức ở phần 1 và 3  a2 + b2 = 8 ; a3 + b3 = 20

a5 + b5 = (a2 + b2)(a3 + b3)-a2b2(a + b) = 8.20 – 4.2 = 152

Bài tập :

cho a; b là hai số thực thoả mãn: a + b = 4 và ab = 1 , tính :

a2 + b2 ; a3 + b3; a5 + b5; a7 + b7

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định f x( ) có nghĩa  f(x)  0

 chú ý : hàm hợp thông thờng kèm theo điều kiện có nghĩa của hàm phân, vì vậy khi kết hợp phảI dùng trục số, với hàm vô tỉ có căn nhiều lớp thì tìm điều kiện từ trong ra ngoài

 Ví dụ: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:

1/ A =

1 1 3

x x

 2/ B = 3  x 3/ C = x2 4x 5

Giải:

1/ A có nghĩa 

1 0

3 0

x x

 





2/ B có nghĩa

9

x x



3/ Vì x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1 > 0 với mọi x nên C cónghĩa với mọi x

* Đặc biệt trong công thức A B  A B. ( A  0;B 0) hoặc

(A  0; B>0) thì (A  0;B 0) hoặc (A  0; B>0) là giao của hai tập xác định, nên có thể có bài tập nh sau:

Cho A = (x 1)(x 3) và B = x 1. x 3 tìm x để

a/ A có nghĩa; B có nghĩa

b/ chỉ A có nghĩa còn B vô nghĩa

c/ A = B

Giải:

a/ A có nghĩa (x – 1)(x – 3) 0

th1:

3

x

1

x

B có nghĩa 

3

x

b/ Từ kết quả phần a  chỉ A có nghĩa còn B vô nghĩa  x 1

c/ Từ kết quả phần a  A = B  x 3

Học sinh sẽ sai lầm là coi nh câu hỏi c là thừa vì học sinh nghĩ A = B là sách giáo khoa đã khẳng định

Bài tập:

1/ Tìm x để các biểu thức sau đây có nghĩa:

A =

1 5

2

x

x

 

2008 4

x 

2/ Tìm x để các biểu thức sau đây có căn bậc hai:

A = 3x – 5 B = x2 – x + 2 C = 5  x 1

3/ Cho A =

3 1

x x



 và B =

3 1

x x



 tìm x để a/ Chỉ A có nghĩa còn B vô nghĩa

b/ A = B

Dạng 2: Chứng minh một số là số vô tỉ

Về phơng pháp: trong R chỉ có hai tập số Q và I do vậy dùng lí thuyết phản chứng để chứng minh, với giả sử đó là số Q đã tối giản

Ví dụ: chứng minh rằng 2; 5là các số vô tỉ và dựng các điểm này trên trục số

Giải:

* Giả sử 2 là số Q  2

m n



với m; n  Z+ và (m ; n) = 1  m2 = 2n2 m2 là số chẵn  m = 2m1(m1 Z+)  n2 =

2 1

2m n chẵn n = 2n1(n1 Z+)

(m ; n)  1 tráI với giả thiết  giả sử sai  2là số I

Vì ( 2)2 = 12 + 12  2là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có độ dài hai cạnh

góc vuông là 1 và 1 hình đợc dựng nh sau và điểm B là điểm 2trên trục số

* Giả sử 5 là số Q  5

m n



với m; n  Z+ và (m ; n) = 1  m2 = 5n2 m2 là số có tận cùng là 0 hoặc 5  m = 5m1(m1 Z+)  n2 =

2 1

5m n có tận cùng là 0 hoặc 5 n

= 5n1(n1 Z+)

(m ; n)  1 trái với giả thiết  giả sử sai  5là số I

Vì ( 5)2 = 22 + 12  cách dựng tơng tự

Dạng 3:

Tìm các số hữu tỉ trong một phơng trình có cả hệ số vô tỉ (thông thờng có ở phần

ph-ơng trình bậc hai, hiện cho đến nay chỉ có kỳ thi học sinh giỏi của huyện đã đề cập

đến)

Chú ý rằng : nếu a là số vô tỉ ; b là số hữu tỉ thì tích a.b hoặc tổng (a + b) luôn là số vô tỉ do đó trong đẳng thức a.b = c với a; c hữu tỉ còn b vô tỉ thì ắt a = c = 0

Ví dụ: cho phơng trình bậc hai : x2 + bx-c + 2 = 0 với b ; c là các số hữu tỉ

A 1

2

Tìm b và c biết phơng trình có một nghiệm là 2 và 2 là số vô tỉ

Giải:

Thay x = 2 vào phơng trình ta có: b 2-c + 4 = 0  b 2 = c – 4

Vì c là số hữu tỉ; 4 là số nguyên  c – 4 là số hữu tỉ b 2 phảI là số hữu tỉ

c – 4 = 0 đồng thời b = 0 (vì 2 là số vô tỉ) c = 4 và b = 0

Bài tập:

Tìm các số hữu tỉ a và b biết phơng trình x2 + bx + a – 1 = 0 có một nhgiệm là

1 + 2 và 2 là một số vô tỉ

Dạng 4: Các tính toán thông thờng

Phơng pháp: dùng các công thức biến đổi thông thờng mà sgk đã nêu là quy tắc khai phơng một tích nhân các căn bậc hai; quy tắc khai phơng một thơng chia hai căn bậc hai; biến đổi đơn giản căn bậc hai Do đó khi nhìn vào một biểu thức tính phảI khoanh vùng các phép toán, hay nói cách khác là xác định công việc phảI làm trong phép toán

đó để đa các căn trong biểu thức về các căn đồng dạng sau đó đơn giản các căn đồng dạng với nhau Sau đây là một ví dụ:

Tính A =

24 6



Nhìn vào đây ta thấy hạng tử đầu là đa thừa số chính phơng ra ngoài dấu căn bậc hai; hạng tử thứ hai là khử mẫu của biểu thức lấy căn bậc hai; hạng tử thứ ba là trục căn thức ở mẫu

* Chú ý: trong phép trục căn ở mẫu nếu một phân thức cả tử và mẫu đều có căn bậc hai

và cùng là tổng hoặc hiệu các căn thì rất nhiều khả năng là có nhân tử chung

( với để ý này thì tránh đợc khó khăn khi thực hiện trục)

Ví dụ: Tính A =

7

Dạng 5: phá căn hai lớp A m B (B không còn chứa thừa số chính phơng)

Phơng pháp:

TH1: m chẵn m B là hai lần tích hai số; A là tổng bình phơng hai số đó

TH2: m lẻ thì nhân cả tử và mẫu với 2 và biến đổi nh TH1

Trong cả hai trờng hợp thì căn nhỏ ở trong luôn là hai lần tích do vậy có thể phảI sử dụng tính chất kết hợp của phép nhân Ví dụ: m B 12 6 thì

Do vậy A có thể là 217; 42; 75; 110; 30; 35

Ví dụ:

= 3  2  3  2

( vì 3  2>0)

2/ 4  7 =

2

2

Vì 7 > 1  7- 1 > 0 

7 1 2



> 0

3/ 31 12 3   3 32 2.3 3.2 2  2  3 3 2  2  3 3 2   3 3 2 

vì 3 3 > 2 nên 3 3-2 > 0

Chú ý : khi sắp xếp hằng đẳng thức (a  b)2 thì cố gắng xếp a > b để a  b > 0 tránh khi sót điều kiện bỏ dấu trị tuyệt đối mà không bị trừ điểm

TH3: nếu biểu thức tính có liên hợp thì có thể bình phơng hai vế, nhng trớc khi bình phơng phảI xét dấu của biểu thức, để lấy dấu khi khai phơng trở lại

( Do x2 = a ; a  0 x =  a)

Ví dụ: Tính A = 4  7 - 4  7

Ta có 4  7 < 4  7  A < 0

Ta có A2 =  4  7  4  72   4 7 4   7 2 4  2  7 2

=8 2 9 2  

 A =- 2 (vì A < 0)

TH4: với căn nhiều lớp thì nguyên tắc là nh TH1 và TH2 với chú ý rằng phảI phá từ trong ra và từ phảI sang trái

Dạng 6: So sánh

Phơng pháp: giả sử A  B sau đó bình phơng hai vế khi cả hai vế cùng không âm, nếu dẫn đến điều đúng thì giả sử đúng còn nếu dẫn đến điều vô lí thi kết luận ngợc lại

Ví dụ: So sánh: 13  15 với 2 14(1)

Giả sử: 13  15  2 14  ( 13  15)2  (2 14 )2  13 15 2 13.15 4.14   

 2 13.15 2.14   13.15 14  2  14 1 14 1      14 2    1 0

vô lí giả sử sai Vậy 13  15 < 2 14

Chú ý bài toán có thể thay đổi

C1: So sánh 15  14 với 14  13 phảI giả sử 15  14  14 13

và đa về (1)

C2: So sánh 13  15 với 57 thì vẫn làm nh ví dụ và sau đó khẳng định

2 14< 57 để suy ra 13  15< 57

Nhận xét rằng : tổng hai căn lẻ liên tiếp luôn nhỏ hơn 2 lần căn chẵn xen giữa

Bài tập áp dụng :

So sánh: 2009  2011 và 2 2010

Dạng 7: Bài toán có quy luật

Thông thờng là các bài toán tính tổng của nhiều phân thức mẫu là tổng các căn liên tiếp; hoặc bài toán có nội dung hình học

Chú ý rằng nếu n < S < n + 1 ( với n tự nhiên ) thì S không tự nhiên (lý thuyết kẹp) Các ví dụ:

1/ Tính A =

=

=

1

1



 = 100  1= 10 – 1 = 9 Quy luật bao giờ cũng bằng căn cuối trừ căn đầu

2/ Tính A =

Ta có :  

1

n n



=

 

  (1) với n tự nhiên khác 0

áp dụng (1) ta có

A =

1

10 10

Quy luật là bao giờ cũng bằng nghịch đảo căn thứ nhất trừ nghịch đảo căn cuối cùng ( không tính hệ số căn hay hệ số căn là 1 )

3/ cho a; b; c và m; n; t thứ tự là độ dài các cạnh tơng ứng của hai tam giác đồng dạng

CMR: am bn ct  a b c m n t      

GiảI : theo bài ra ta có: k =

 

  

  ( k > 0)

 a = km ; b = kn ; c = kt  am bn ct  km2  kn2  kt2  k m n t   

m n t

 

 

4/ Cho S =

Chứng minh rằng S không phảI là số tự nhiên Giải:

Ta có : 2( n n 1) =

1

 

áp dụng (1) ta có: 1 2 2 1

3   ; ; 1 2 99 98

1



<1 + 2 2  1  3  2   99  98  100  99



< 1 + 2 100  1

= 19 (3)

áp dụng (2) ta có:

1

3   ; ; 1 2 100 99



>1 + 2 3  2  4  3   100  99  101  100

= 1 + 2( 101  2) > 1 + 2( 100  2) =21-2 2> 21- 9 = 18 (4)

Từ (3) và (4)  18 < S < 19  S không tự nhiên

Nhận xét : trong áp dụng (2) đã sử dụng biện pháp làm trội giữa 101với 100;

giữa2 2 với 9

5/ Chứng minh rằng : 2 2  2

(1)

áp dụng tính: A =

2 2

2

1 999

Giải:

 Vì cả hai vế của (1) đều dơng nên bình phơng hai vế của (1) ta đợc điều phảI chứng minh

 A =

2

999

999

=1000

6/ Trục Đa nô ( hay còn gọi là nhân với biểu thức liên hợp ) dạng tổng quát:

Tìm quan hệ x và y biết: x x2 a y  y2 a a

(1) với a khác 0 Giải:

nhân cả hai vế với x x2 a y   y2 a

ta có:

x2  x2  a y  2  y2  a a  2   2 

= a (2)

Từ (1) và (2) ta có: x x2 a y  y2 a

= x x2 a y   y2 a

2

x a

TH1: x = y = 0

TH2: x và y là hai số trái dấu nhau

x y2 a2 

(- y x2a ) 2  x2 y2  x   x y  y vì x và y đối nhau

Bài tập áp dụng :

Cho hai số thực x và y thoả mãn:

x x2  2008y y2  2008  2008

Tính A = x2009 + y2009

Giải:

nhân cả hai vế với x x2  2008 y y2  2008

ta có:

x2  x2  2008 y2  y2  2008  2008x x2  2008 y y2  2008

 x x2  2008 y y2  2008

= 2008 (2)

Từ (1) và (2) ta có:  2   2 

2

TH1: x = y = 0

TH2: x và y là hai số tráI dấu nhau

x y 2 20082 

(- y x 2 2008) 2  x2 y2  x   x y  y vì x và y đối nhau

Nên A = 0 + 0 = 0 ; hoặc A = (- y)2009 + y2009 =-y2009 + y2009 = 0

Vậy A = 0

Bài tập :

Cho hai số thực x và y thoả mãn: x x2  2009 y y2  2009  2009

tính E = x + y

7/ Cho A =

1 2  99  100 chứng minh rằng A > 10

Giải:

Ta có

Vì:

10

10

99  ; ;

10

10

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta có:

1 2   99  100 > 100.

1

10 = 10 Vậy A > 10

Quy luật là căn cuối bao già cũng là của một số chính phơng; các phân thức có tử bằng nhau mẫu tăng dần nên giá trị của phân thức giảm dần

Bài tập áp dụng:

Chứng minh rằng:

1 2  63 64 > 8

Dạng 8: Phép toán với căn bậc cao:

Bổ xung lí thuyết : nâng chỉ số căn thức củan a (cũng hạ đợc chỉ số căn nhng để cho

dễ nhớ chỉ giới thiệu một chiều nâng chỉ số căn)

1/ n a nk a k với mọi n và k là các số tự nhiên khác 0 và a không âm

2/ nếu n là tự nhiên lẻ; a < 0 thì có hai trờng hợp

TH1: k lẻ thì ta vẫn có n a nk a k

TH2: k chẵn thì n a nk a k

3/ khi tính tổng các căn bậc 3 trong trờng hợp có biểu thức liên hợp thì có thể đặt ẩn phụ để đa về phơng trình tích để sử lí

Ví dụ: Tính giá trị của các biểu thức sau đây:

19 6 10 3 2 2 5

Giải:

a/ Đặt 35 2 7  = a ; 35 2 7  = b A = a – b  A3 = (a – b)3

 A3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) = a3 – b3 – 3ab.A

 A3 = 5 2 7 5 2 7 3 5 2 7 5 2 7     3     

.A

 A3 = 14 – 3A  A3 + 3A – 14 = 0  (A – 2)(A2 + 2A + 7) = 0  A – 2 = 0

 A = 2 ( vì A2 + 2A + 7 = (A + 1)2 + 6 > 0 với mọi A)

Vậy A = 2

b/ B = 10 1  10 2

2

  v× 3 2 < 2 5 nªn 3 2-2 5< 0

B =-1019 6 10 19 6 10     

=-1

Mét sè c¸c bµi tËp

1.TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau:

1

4 20 3 125 5 45 15

5

C = 3 8 2 12   20 : 3 18 2 27    45

D =

:

; E =

F =  7  52 2 35

; G = 15 4 12  6 11

2 TÝnh :

A =



C =

2  3 3 3  3 ; D =   2 2



E =



    ; F = 9 4 5  19 4 5  1

3 TÝnh:

E = 8  8  20  40 ; F = 4  15  10  6 4  15

G = 2 3  5  13  48 ; H = 6 2 5   13  48

4 TÝnh: A = 326 15 3   326 15 3  ; B =

3

C = x3 + 3x + 2 t¹i x =

3

3

1

2 1

2 1



E =

5 Cho 16 2  x x 2  9 2  x x 2  1 tính: S = 16 2  x x 2  9 2  x x 2

6 Cho  2  2

tính S =

x y y x theo a

7 Tìm tất cả các số nguyên dơng x và y thoả mãn: x y  1980

8 Cho 3 số dơng thoả mãn: xy + yz + zx = 1 tính giá trị của

A =

 2  2  2  2  2  2

9 tìm tất cả các số nguyên dơng thoả mãn:

1 1 1

1

a b c









10 Cho các số thực thoả mãn: x x2  3 y y2  3  3

tính E = x + y

11 Cho các số thực thoả mãn: x y  y z  z x chứng minh rằng:

1 1 1

0

12 Chứng minh rằng với 3 số thực không âm thì:

13 Cmr: nếu x y z  0 thì:

0

y z x  z x y  x y z  

14 Cho các số thực đôI một khác nhau CMR:

là một số hữu tỉ

15 Cho các số thực thoả mãn: ab + bc + ca = k (k hữu tỉ)

CMR: k a 2 k b 2 k c 2

là một số hữu tỉ

16 Đặt :

   CMR: a + c = 2b  x + z = 2y

17 Cho P =

9

x

a/ Rút gọn và tìm x để P <-0,5

b/ tìm giá trị nhỏ nhất của P

18.Cho P =

x



a/ Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của P

b/ Tìm x nguyên dơng thích hợp để giá trị của biểu thức

2 x

P nguyên

19 Có tồn tại hay không một tam giác có độ dài 3 đờng cao thứ tự là 1; 5;1  5

20 Cho a; b; c và m; n; t thứ tự là độ dài các cạnh tơng ứng của hai tam giác đồng

dạng

a/ CMR: am bn ct  a b c m n t      

b/ Với giả thiết rằng tam giác đó vuông có a và t là độ dài các cạnh huyền thì ta luôn có: am = bn + ct

21 Cho A = a a ab và B = b b abchứng minh rằng nếu a bvà ab hữu tỉ

thì A + B và AB cũng hữu tỉ

22 Cho P = x 2 x 1  x  3 4 x 1 hãy xác định đoạn a b; 

để với mọi xa b; 

thì

P là một hằng số Xác định giá trị đó của P

23.Cho các số thực dơng thoả mãn abc = 1 tính tổng

S =

24 Cho A =

a/ Rút gọn A

b/ Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

25 Cho P =

2

2

x

a/ Rút gọn P

b/ Tìm  để Sin = P

26

a/CMR: nếu 3a3b3 c3 a b c  thì với mọi số nguyên dơng lẻ n ta luôn có:

n an bn c n a b c 

b/ CMR: nếu a; b; c hữu tỉ và ( a + b + c) hữu tỉ thì a ; b ; c đều là các số

hữu tỉ

27 Cho B = 1 1

x x

a Rút gọn B

b Tìm giá trị nhỏ nhất của B

28 Chứng minh rằng trong một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền a; bán kính đờng

tròn nội tiếp là r ta luôn có: r  2 1 : 2

29 Chứng minh rằng trong tam giác vuông có R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp; r là

bán kính đờng tròn nội tiếp; S là diện tích ta luôn có R r  2S

30 Tìm tất cả các số nguyên dơng n thoả mãn:

n