Chuyên đề công thức nghiệm của phương trình bậc hai (2022) toán 9

Chuyên đề Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Toán 9 A Lý thuyết 1 Công thức nghiệm a) Biệt thức Δ Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta có biệt thức Δ như sau Δ = b2 4ac Ta sửa dụng[.]

Chuyên đề Công thức nghiệm của phương trình bậc hai - Toán 9

A Lý thuyết

1 Công thức nghiệm

a) Biệt thức Δ

Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta có biệt thức Δ như sau:

Δ = b2 - 4ac

Ta sửa dụng biết thức Δ để giải phương trình bậc hai

b) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 - 4ac

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là

x1=−b+√ Δ 2a; x2=−b−√ Δ 2ax1=-b+∆2a; x2=-b-∆2a

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là

x1=x2=−b2ax1=x2=-b2a

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0 Khi

đó ta có Δ = b2 - 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

B Bài tập

I Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Nghiệm của phương trình x2 + 100x + 2500 = 0 là?

A 50

B -50

C ± 50

D ± 100

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B

Câu 2: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức Δ = b2 - 4ac Phương

trình đã cho vô nghiệm khi:

A Δ < 0

B Δ = 0

C Δ ≥ 0

D Δ ≤ 0

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 - 4ac

• TH1: Nếu thì phương trình vô nghiệm

• TH2: Nếu thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =

• TH3: Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 =

Chọn đáp án A

Câu 3: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức Δ = b2 - 4ac Khi đó

phương trình có hai nghiệm là:

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn và biệt thức

• TH1: Nếu thì phương trình vô nghiệm

• TH2: Nếu thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =

• TH3: Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 =

Chọn đáp án C

Câu 4: Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình 6x2 -

7x = 0

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B

Câu 5: Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình -4x2 + 9 = 0

A 0

B 1

C 3

D 2

Lời giải:

Ta có:

Nên số nghiệm của phương trình là 2

Chọn đáp án D

Câu 6: Cho phương trình x2 – 6x + m = 0 Tìm m để phương trình đã cho vô nghiệm?

A m > 9

B m < 9

C.m < 4

D m > 4

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A

Câu 7: Cho phương trình (m + 1)x2 + 4x + 1 = 0 Tìm m để phương trình đã cho có

nghiệm

A m = -1

B m = 0

C m < 1

D m ≤ 3

Lời giải:

* Với m = -1 thì phương trình đã cho trở thành: 4x + 1 = 0 ⇔ x = -1/4

Do đó, m = -1 thỏa mãn điều kiện

* Nếu m ≠ -1 , khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn

Ta có: Δ = 42 - 4.(m + 1).1 = 16 - 4m - 4 = 12 - 4m

Để phương trình đã cho có nghiệm khi: Δ = 12 - 4m ≥ 0

-4m ≥ - 12 ⇔ m ≤ 3

Kết hợp 2 trường hợp, để phương trình đã cho có nghiệm thì m ≤ 3

Chọn đáp án D

Câu 8: Cho phương trình 2x2 + 3x – 4 = 0 Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

A Phương trình đã cho có 2 nghiệm

B Biệt thức ∆ = 41

C Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

D Phương trình đã cho có 2 nghiệm âm

Lời giải:

Ta có: Δ = 32 - 4.2.(-4) = 9 + 32 = 41 > 0

Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là:

Vậy C sai

Chọn đáp án C

Câu 9: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm duy nhất

A x2 - 4x+ 10 = 0

B –2x2 + 4x + 4 = 0

C -3x2 + 9 = 0

D 4x2 - 4x + 1 =0

Lời giải:

Ta tính ∆ của các phương trình đã cho:

A ∆ = (-4)2 - 4.1.10 = 16 – 40 = 24 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt

B ∆ = 42 -4.(-2).4 = 16 + 32 = 48 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt

C ∆ = 02 – 4 (-2) 4 = 0 + 32 = 32 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt

D ∆ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 nên phương trình này có nghiệm duy nhất

Chọn đáp án D

Câu 10: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x2 và đường thẳng y = - 4x + 6

A A(1; 2) và B(- 3; 18)

B A(1; 2) và B(3; -6)

C A( 3; -6) và B( -1; 10)

D Đáp án khác

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng đã cho là nghiệm phương trình: 2x2 = -4x + 6 2x2 + 4x - 6 = 0 (*)

Phương trình này có Δ = 42 - 4.2.(-6) = 16 + 48 = 64

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

Với x = 1 thì y = -4 1 + 6 = 2 ta được điểm A(1; 2)

Với x = -3 thì y = -4.(-3) = 18 ta được điểm B( -3; 18)

Vậy parabol cắt đường thẳng tại hai điểm là A( 1;2) và B(- 3 ; 18)

Chọn đáp án A

II Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + 1 = 0 Tìm các giá trị của m để

phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải:

Phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + 1 = 0 có a = m + 1; b’ = − (m + 1); c = 1 Suy ra ∆' = [− (m + 1)]2 – (m + 1) = m2 + m

Để phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt thì:

Vậy m > 0 hoặc m < −1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 2: Cho phương trình (m – 3)x2 – 2mx + m − 6 = 0 Tìm các giá trị của m để

phương trình vô nghiệm

Lời giải:

Phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + 1 = 0 có a = m + 1; b’ = − (m + 1); c = 1 Suy ra ∆' = [− (m + 1)]2 – (m + 1) = m2 + m

Để phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt thì:

Vậy m > 0 hoặc m < −1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 3: Cho phương trình mx2 – 4(m – 1) x + 2 = 0 Tìm các giá trị của m để phương

trình vô nghiệm

Lời giải:

Phương trình mx2 – 4(m – 1) x + 2 = 0 có a = m; b’ = −2(m – 1); c = 2

Suy ra ∆' = [−2(m – 1)]2 – m.2 = 4m2 – 10m + 4

TH1: m = 0 ta có phương trình 4x + 2 = 0 nên loại m = 0

TH2: m ≠ 0 Để phương trình vô nghiệm thì

Câu 4: Cho phương trình (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 Tìm các giá trị của m để

phương trình có một nghiệm

Lời giải:

Phương trình (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 có a = m – 2; b’ = − (m + 1); c = m

Suy ra ∆' = [−(m + 1)]2 – (m – 2).m = 4m + 1

Với m = 2 thì phương trình có một nghiệm

Câu 5: Tìm m để phương trình mx2 – 2(m – 1)x + 2 = 0 có nghiệm kép và tìm nghiệm

kép đó

Lời giải:

Để phương trình mx2 – 2(m – 1)x + 2 = 0 có nghiệm kép thì

Câu 6: Giải phương trình x2 - 5x + 4 = 0

Lời giải:

+ Tính Δ = (-5)2 - 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0

+ Do Δ > 0 , phương trình có hai nghiệm là:

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 4; x2 = 1

Câu 7: Giải phương trình 5x2 - x + 2 = 0

Lời giải:

+ Tính Δ = (-1)2 - 4.5.2 = -39 < 0

+ Do Δ < 0, phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 8: Giải phương trình x2 - 4x + 4 = 0

Lời giải:

+ Tính Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 16 - 16 = 0

+ Do Δ = 0, phương trình có nghiệm kép là x1 = x2 = -4/(2.1) = 2 Vậy phương trình có nghiệm kép là x = 2

Câu 9: Giải các phương trình sau

a) x2+6x+9=0x2+6x+9=0

b) 2x2−6x+1=02x2-6x+1=0

c) 2x2+3x+5=02x2+3x+5=0

Lời giải:

a) x2+6x+9=0x2+6x+9=0

+ Tính Δ=b2−4ac=62−4.1.9=36−36=0∆=b2-4ac=62-4.1.9=36-36=0 + Do Δ=0∆=0, phương trình có nghiệm kép

x1=x2=−b2a=−b2.1=−3x1=x2=-b2a=-b2.1=-3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-3}

b) 2x2−6x+1=02x2-6x+1=0

+ Tính Δ=b2−4ac=(−6)2−4.1.2=36−8=28∆=b2-4ac=-62-4.1.2=36-8=28

+ Do Δ>0∆>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

x1=−b+√ Δ 2a=6+√ 28 2.2=3+√ 7 2x1=-b+∆2a=6+282.2=3+72;

x2=−b−√ Δ 2a=6−√ 28 2.2=3−√ 7 2x2=-b-∆2a=6-282.2=3-72

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={3+√ 7 2; 3−√ 7 2}S=3+72; 3-72

c) 2x2+3x+5=02x2+3x+5=0

+ Tính Δ=b2−4ac=32−4.2.5=9−40=−31∆=b2-4ac=32-4.2.5=9-40=-31

+ Do Δ<0∆<0 nên phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 10: Phương trình (m–1)x2 + 3x – 1 = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình vô nghiệm

Lời giải:

a)

+ Với a = 0 ⇒m−1=0⇒m=1⇒m-1=0⇒m=1, phương trình trở thành

3x - 1 = 0 ⇔3x=1⇔x=13⇔3x=1⇔x=13

Do đó m = 1 thỏa mãn điều kiện phương trình có nghiệm

+ Với a≠0⇒m−1≠0⇒m≠1a≠0⇒m-1≠0⇒m≠1, phương trình là phương trình bậc hai

Ta có: Δ=b2−4ac=32−4.(m−1).(−1)∆=b2-4ac=32-4.m-1.-1

Δ=9+4m−4=5+4m∆=9+4m-4=5+4m

Để phương trình có nghiệm thì Δ≥0∆≥0

⇔4m+5≥0⇔4m≥−5⇔m≥−54⇔4m+5≥0⇔4m≥-5⇔m≥-54

Kết hợp hai trường hợp ta được m≥−54m≥-54 thì phương trình có nghiệm

b) Để phương trình vô nghiệm thì Δ<0⇔4m+5<0∆<0⇔4m+5<0

⇔4m<−5⇔m<−54⇔4m<-5⇔m<-54

III Bài tập vận dụng

Câu 1: Giải phương trình x2 + 14x + 49 = 0; x2 - 2x - 5 = 0

Câu 2: Cho phương trình -x2 + 2x + 20172017 = 0 Không giải phương trình, hãy

cho biết phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm?

Câu 3: Giải các phương trình:

a) 5x2 -7x = 0;

b) -3 x2+ 9 = 0;

c) x2 - 6 x + 5 = 0;

d) 3x2 + 12x + 1 = 0

Câu 4: Giải các phương trình:

2

2

2

2

c x x

  

Câu 5: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x2+ m2x + 4m = 0 có nghiệm

x = 1 ?

Câu 6: Cho phương trình 4mx2 - x - 10m2 = 0 Tìm các giá trị cua tham số m để phương trình có nghiệm x = 2

Câu 7: Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức ∆ (hoặc ∆' nếu b = 2b') rồi tìm nghiệm của

các phương trình:

a) 2x2 - 3x - 5 = 0;

b) x2 - 6x + 8 = 0;

c) 9x2 - 12x + 4 = 0;

d) -3x2 + 4x - 4 = 0

Câu 8: Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức A ( hoặc A'nếu b = 2b') rồi tìm nghiệm

của các phương trình:

a) x2 – x -11 = 0

b) x2 - 4x + 4 = 0;

c) -5x2 – 4x + 1 = 0;

d) -2x2 + x - 3 = 0

Câu 9: Giải các phương trình sau:

2

2

2

2

Câu 10: Cho phương trình mx2- 2 ( m- 1 ) x + m - 3 = 0 (m là tham số)

Tìm các giá trị của m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt;

c) Vô nghiệm;

b) Có nghiệm kép;

e) Có nghiệm

d) Có đúng một nghiệm;

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Công thức nghiệm thu gọn

Chuyên đề Hệ thức Vi – ét và ứng dụng

Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai

Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập phương trình Chuyên đề Bài tập ôn tập chương