HH12 c3 b2 PT MAT PHANG p2 2022

Khoảng cách từ một điểm đến 1 mặt phẳng ▣ Dạng ④  _Bài tập minh họa: Câu 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng cĩ phương trình:.. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt ph

Cách giải: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa một đường thẳng song song với mặt phẳng tới mặt phẳng.

-Phương pháp:

❶ Trong khơng gian cho điểm và mặt phẳng Khi đĩ khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính:

.Đặc biệt:

❷ Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Chú ý: Nếu hai mặt phẳng khơng song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

❸ Khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng tới mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.

Chú ý: Nếu đường thẳng khơng song song với mặt phẳng thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

Khoảng cách từ một điểm đến 1 mặt phẳng

▣ Dạng ④

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng

cĩ phương trình: Khoảng cách từ điểm mặt phẳng là

Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ

Lời giải Chọn B

 PP nhanh trắc nghiệm

 Casio

Câu 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và là

đường thẳng Tính khoảng cách giữa và

Ⓐ Ⓑ. Ⓒ Ⓓ

Lời giải

Chọn C

 có vecto pháp tuyến và đường

thẳng có vecto chỉ phương thỏa mãn

Câu 4 Trong không gian , khoảng cách từ điểm đến là

Vì mặt cầu tâm tiếp xúc với mặt phẳng nên bán kính

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và

điểm Khoảng cách từ tới mặt phẳng bằng

Lời giải Chọn D

Câu 11 Trong không gian , cho , , , Khoảng

Câu 14 Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt phẳng Tính

khoảng cách từ mặt phẳng

Lời giải Chọn A

Câu 16 Trong không gian Descartes cho điểm và mặt cầu

Mặt phẳng đi qua cắt theo giao tuyến là một đường tròn

có bán kính nhỏ nhất có phương trình là

Lời giải Chọn A

Mặt cầu có tọa độ tâm và bán kính

Ta có: , nên nằm trong mặt cầu

Gọi là mặt phẳng qua và cắt theo một đường tròn

Gọi là hình chiếu của tâm trên mặt phẳng ta có

Bán kính của đường tròn giao tuyến là

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó mặt phẳng qua và nhận làm véctơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng

Câu 17 Trong không gian tọa độ , cho điểm Các số , khác thỏa

mãn khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng Khẳng địnhnào sau đây là đúng?

Lời giải Chọn C

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là

Theo đề bài ta có:

Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ , cho , Tìm tất cả các

giá trị của tham số sao cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

bằng độ dài đoạn thẳng

Lời giải

Phương trình mặt cầu tâm và tiếp xúc mặt phẳng là:

Câu 20 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm và mặt phẳng

Mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng có phươngtrình là:

Lời giải Chọn B

Bán kính của mặt cầu là

Mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình là

Câu 21 Trong không gian cho mặt phẳng và đường thẳng

Gọi là giao điểm của và ; và là điểm thuộc đườngthẳng sao cho Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Lời giải Chọn A

Gọi là hình chiếu của điểm lên mặt phẳng Khi đó ta có tam giác là

Câu 22 Trong không gian , cho hai mặt phẳng và

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng

Lời giải Chọn B

Dễ thấy

Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng

Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặtphẳng

Lời giải Chọn A

Suy ra phương trình mặt cầu là

Câu 24 Trong không gian , cho hai mặt phẳng và

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng

Lời giải Chọn C

Dễ thấy

Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình nào dưới đây là phương

trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng ?

C D

Lời giải Chọn C

Do mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng nên

.Vậy phương trình mặt cầu là

Câu 26 Trong không gian tọa độ , cho điểm Các số , khác thỏa

mãn khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng Khẳng địnhnào sau đây là đúng?

Lời giải Chọn B

Câu 28 Trong không gian , cho ba điểm , , Trọng tâm

của tam giác cách mặt phẳng tọa độ một khoảng bằng

Lời giải Chọn A

Ta có

Câu 30 Trong không gian cho điểm và mặt phẳng

Gọi là điểm đối xứng của qua mặt phẳng Tínhkhoảng cách từ đến

Lời giải Chọn D

Câu 31 Trong không gian cho điểm Mặt phẳng đi qua điểm và

cắt các trục , , lần lượt tại các điểm , , sao cho là trực tâm củatam giác Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Lời giải Chọn D

Xét tứ diện có , , đôi một vuông góc nên nếu là trực tâm tam

Khi đó phương trình mặt phẳng là:

Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là

Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ có bao nhiêu mặt phẳng song song với

mặt phẳng , cách điểm một khoảng bằng biếtrằng tồn tại một điểm trên mặt phẳng đó thỏa mãn ?

Lời giải Chọn A

Ta có mặt phẳng cần tìm là với

Mặt phẳng cách điểm một khoảng bằng

đối chiếu điều kiện suy ra Khi đó

Vậy không tồn tại mặt phẳng

Câu 33 Trong không gian cho ba điểm , , Điểm

thuộc tia sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh của tứ diện bằng

có tọa đọ là

Lời giải Chọn C

Mặt phẳng đi qua và có một véctơ pháp tuyến là

.Phương trình mặt phẳng :

Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh của tứ diện bằng

Do thuộc tia nên

Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Descartes , cho điểm và

đường thẳng Mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất có phương trình là

Lời giải

Gọi là hình chiếu của đến Khi đó

Mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất khi

Do đó có vectơ pháp tuyến là

Câu 35 Trong không gian cho điểm và đường thẳng

Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

Lời giải

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên

có véctơ chỉ phương là

Câu 36 Trong không gian , cho ba điểm , , với là

các số thực dương thay đổi tùy ý sao cho Khoảng cách từ đếnmặt phẳng lớn nhất là

Lời giải Chọn D

Do nên phương trình mặt phẳng

Do đó Dấu “=” xảy ra khi

*Chú ý: Đề bài không cần là các số thực dương mà có thể tùy ý thì lời giải tương tự

Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và

Đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm Tỉ số bằng

Lời giải

Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm , ,

Phương trình mặt phẳng nào dưới đây đi qua , gốc tọa độ vàcách đều hai điểm và ?

Lời giải Chọn B

TH1: và nằm cùng phía với , khi đó có giá song song với

Phương trình mặt phẳng qua có vtpt nên

Câu 39 Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm , ,

và Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?

A Có vô số mặt phẳng B 1 mặt phẳng

C 7 mặt phẳng D 4 mặt phẳng

Lời giải Chọn C

Ta có , suy ra bốn điểm , , , không đồng phẳng

Gọi là mặt phẳng cách đều bốn điểm , , ,

TH1: Có một điểm nằm khác phía với ba điểm còn lại so với Có bốn mặt phẳng thỏa mãn

TH2: Mỗi phía của mặt phẳng có hai điểm Có ba mặt phẳng thỏa mãn

Vậy có bảy mặt phẳng thỏa mãn

Câu 40 Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng

có phương trình Gọi là mặt phẳng đi qua điểm , songsong với đường thẳng và khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng

là lớn nhất Khi đó mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

Lời giải Chọn C

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên Tọa độ của là nghiệm của

giá trị lớn nhất bằng khi mặt phẳng qua và vuông góc với Khi đó

có thể chọn VTPT của là Vậy vuông góc với mặt phẳng

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho điểm , là hình chiếu

vuông góc của gốc toạ độ lên mặt phẳng , số đo góc của mặt phẳng và

Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ

Lời giải

Chọn C

 Vì là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ lên

mặt phẳng nên là vectơ pháp tuyến

 Vì

 _Bài tập rèn luyện:

1 Trong không gian Oxyz , biết hình chiếu của O lên mặt phẳng ( )P là H(2; 1; 2 - - )

Số đo góc giữa mặt phẳng ( )P với mặt phẳng ( )Q : x y- - =5 0 là

A 30o B 90o C 60o D 45o

Lời giải Chọn D

Gọi a là góc giữa mặt phẳng ( )P với mặt phẳng ( )Q

Ta có OHuuur=(2; 1; 2- - ) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P

Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến là ; trục có véc tơ chỉ

Ta có:

3 Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho điểm , là hình chiếu

vuông góc của gốc toạ độ lên mặt phẳng , số đo góc của mặt phẳng

Lời giải Chọn C

Vì là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ lên mặt phẳng nên

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến

Gọi góc giữa và là góc Ta có

Vì

4 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm là hình chiếu

vuông góc của gốc tọa độ xuống mặt phẳng , số đo góc giữa mặt vàmặt phẳng : bằng bao nhiêu?

Lời giải

là hình chiếu vuông góc của xuống mặt nên

Do đó có vectơ pháp tuyến là

5 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt phẳng ,

mặt phẳng Cosin của góc giữa hai mặt phẳng , là

6 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt phẳng ,

mặt phẳng Cosin của góc giữa hai mặt phẳng , là

7 Trong không gian với hệ tọa độ , biết mặt phẳng với

đi qua hai điểm , và tạo với mặt phẳng một góc Khi đó giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

8 Trong hệ trục toạ độ , cho điểm Điểm là hình chiếu vuông góc

của gốc toạ độ xuống mặt phẳng , số đo góc giữa mặt phẳng và mặt

Lời giải Chọn D

Ta có là hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng nên Do

đó là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng

Vây góc giữa hai mặt phẳng là

9 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng có phương trình:

với đi qua điểm , và tạo với một góc Khi đó thuộc khoảng nào dưới đây?

Lời giải

Chọn C

Mặt phẳng đi qua hai điểm , nên

Thay vào phương trình được

10 Trong không gian , cho mặt cầu và đường thẳng

Tổng các giá trị thực của tham số để cắt tại hai điểm

phân biệt và các tiếp diện của tại tạo với nhau một góc lớn nhấtbằng

Lời giải Chọn C

Mặt cầu có tâm và bán kính

Các tiếp diện của tại và tạo với nhau một góc lớn nhất

Đường thẳng đi qua điểm và có một VTCP

.Vậy tổng các giá trị thực của tham số bằng

11 Cho khối chóp có đáy là hình bình hành, , , Cạnh

bên vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi , , lần lượt làtrung điểm các cạnh , và , là góc giữa hai mặt phẳng và

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:

Lời giải Chọn A

Cách 1:

vuông tại có:

Dựng hình chữ nhật và hình chữ nhật nên , Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Chọn là một vectơ pháp tuyến của

Cách 2:

Cách giải:

①. Nếu thì mp và mặt cầu khơng cĩ điểm chung

② Nếu thì mặt phẳng và mặt cầu tiếp xúc nhau

Khi đĩ (P) gọi là mp tiếp diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm

③ Nếu thì mặt phẳng và mặt cầu cắt nhau theo giao tuyến là đường trịn cĩ phương trình : Trong đĩ bán kính đường trịn và tâm H của đường trịn là hình chiếu của tâm I mặt cầu lên mặt phẳng

Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng

▣ Dạng ⑥

 _Bài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và mặt

Ⓐ không cắt Ⓑ. tiếp xúc

Ⓒ. cắt Ⓓ đi qua tâm của

Lời giải Chọn A

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng có

phương trình: Phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúcvới là

Phương trình mặt cầu có tâm , bán kính

mặt cầu Xác định để tiếp xúc với ?

 nên loại đáp án A

 _Bài tập rèn luyện:

1 Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng có

phương trình: Phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với là

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến , Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến Hai mặt phẳng và cắt nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến không cùng phương

3 Mặt phẳng cắt mặt cầu có phương trình là

Lời giải Chọn D

4 Trong không gian , cho mặt cầu và mặt

phẳng Tìm tất cả để cắt theo giao tuyến là mộtđường tròn có bán kính lớn nhất

Lời giải Chọn D

I H

R

Ta có cắt theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính

5 Trong không gian , cho hai mặt phẳng và

Tìm để và song song với nhau

A B Không tồn tại

Lời giải Chọn B

Mặt phẳng có một VTPT là Mặt phẳng có một VTPT là

6 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu có tâm và mặt

phẳng Biết cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đườngtròn có bán kính bằng Viết phương trình mặt cầu

Lời giải Chọn B

Ta có

Khi đó bán kính mặt cầu

7 Trong không gian , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có

tâm và tiếp xúc với mặt phẳng ?

Lời giải Chọn C

Phương trình mặt cầu cần tìm là: .

8 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và điểm

Viết phương trình mặt cầu có tâm và cắt mặt phẳng theogiao tuyến là đường tròn có bán kính bằng

Lời giải

Chọn D

Vậy

9 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng và

song song với nhau Giá trị của và lần lượt là

A và B và C và D và

Lời giải Chọn C

Để hai mặt phẳng và song song với nhau thì và

10 Trong không gian cho mặt cầu và mặt

phẳng Mặt phẳng cắt khối cầu theo thiết diện là mộthình tròn Tính diện của hình tròn đó

Lời giải

có tâm và bán kính

Khoảng cách từ đến là

Bán kính của hình tròn thiết diện là

Do đó diện tích của hình tròn thiết diện là

11 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp chữ nhật có

trùng với gốc tọa độ Cho , , với , Gọi làtrung điểm của cạnh Xác định tỉ số để vuông góc với

Lời giải Chọn A

Nên là vectơ pháp tuyến của

nên là vectơ pháp tuyến của

12 Trong không gian , cho mặt cầu tiếp xúc với hai

mặt phẳng , lần lượt tại các điểm , Độdài đoạn là

Lời giải Chọn C

Gọi là tiếp điểm của mặt phẳng và mặt cầu

Gọi là tiếp điểm của mặt phẳng và mặt cầu

Độ dài đoạn

13 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu Mặt

phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây cắt mặt cầu theo giao tuyến làđường tròn có bán kính bằng ?

14 Trong không gian với hệ trục tọa độ mặt phẳng cắt mặt

cầu theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là

Lời giải

Mặt cầu có tâm và bán kính

Ta có , suy ra bán kính đường tròn giao tuyến là

Do đó, diện tích của đường tròn giao tuyến là

15 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng và

Các điểm phân biệt cùng thuộc giao tuyến của hai mặtphẳng và Khi đó cùng phương với véctơ nào sau đây?

Lời giải Chọn A

* Do nên đường thẳng có véctơ chỉ phương là:

* Do cũng là một véc tơ chỉ phương của nên

16 Trong không gian , cho hai mặt phẳng và

Tìm giá trị của các tham số , để và song song