HH12 c3 b2 PT MAT PHANG 2022

không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ là Lời giải Chọn D... Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đi qua điểm và có VTPT nên có phương trình là

◈-Ghi nhớ ➊

Phương trình tổng quát của mặt phẳng.

◈-Ghi nhớ ➋

mức 7+

◈-Ghi nhớ ❸

◈-Ghi nhớ ❹

◈-Ghi nhớ ❺

_Bài tập minh họa:

đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?

Lời giải Chọn D

Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt phẳng Vectơ

nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng ?

 Vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng

vì là một vectơ pháp tuyến của

nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?

các véctơ sau véc tơ nào là véctơ pháp tuyến của ?

Lời giải

Chọn B.

vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?

Lời giải

Chọn A

mức 7+

Từ phương trình mặt phẳng ta có vectơ pháp tuyến của là

Vectơ nào sau đây cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?

Lời giải Chọn A

Vì nên đây cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vì vectơ không cùng phương với nên không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

vectơ pháp tuyến của là:

vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?

Lời giải

Chọn C

Từ phương trình mặt phẳng ta có vectơ pháp tuyến của là

mức 7+

không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?

Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ là

Lời giải Chọn D

đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

Lời giải

Chọn B

Ta thấy mặt phẳng có một VTPT là

Khi đó véctơ cũng là một VTPT của

Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ là

Lời giải Chọn A

Lời giải

Chọn D

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Lời giải

Chọn A

một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

Lời giải Chọn D

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

C D

Lời giải Chọn B

mặt cầu tâm , bán kính có phương trình là

và , với là tham số thực Để và vuông góc với nhau thì giá trị thực của bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn B

Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến là

Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến là

Để và vuông góc với nhau thì ta có

Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu có tâm và có thể

tích bằng Khi đó phương trình mặt cầu là

Lời giải Chọn A

Thể tích mặt cầu là

mức 7+

Theo đề bài ta có

Phương trình mặt cầu tâm và bán kính là

Biết rằng có hai mặt phẳng cùng đi qua hai điểm , và cùng cách một

khoảng bằng Véctơ nào trong các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyếncủa một trong hai mặt phẳng đó

Lời giải

Chọn D

Phương trình đường thẳng qua hai điểm , có dạng

Gọi là mặt phẳng cùng đi qua hai điểm , nên : ,

Khi đó véctơ pháp tuyến của có dạng

Vậy một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó là

.

Biết rằng có hai mặt phẳng cùng đi qua hai điểm , và cùng cách một

khoảng bằng Véctơ nào trong các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyếncủa một trong hai mặt phẳng đó

Cách giải:

❶ Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

: Hay Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

❷ Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng cho trước VTPT của là

Phương trình đường thẳng qua hai điểm , có dạng

Gọi là mặt phẳng cùng đi qua hai điểm , nên : ,

Khi đó véctơ pháp tuyến của có dạng

Vậy một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó là

.

mức 7+

_Bài tập minh họa:

phương trình mặt phẳng ?

Lời giải Chọn D

 Vectơ pháp tuyến củalà :

 Điểm thuộc mặt phẳng: (hoặc hoặc ).

. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT

❹ Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm , và vuông góc với mặt phẳng

Lời giải

Chọn D

 Ta có: là một VTPT của mặt phẳng trung

trực đoạn thẳng

Gọi là trung điểm của

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đi qua

điểm và có VTPT nên có phương trình là:

 Mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến

 Trên trục có vec tơ đơn vị

 Mặt phẳng chứa trục và vuông góc với mặt

trung trực của đoạn thẳng là

Lời giải

Gọi là trung điểm của

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng qua nhận

một vectơ pháp tuyến có phương trình là

Lời giải

Câu 4 Mặt phẳng có phương trình nào sau đây song song với trục ?

Lời giải

Trục có một véc tơ chỉ phương là và đi qua điểm

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

nên mặt phẳng song song với trục

biết điểm là hình chiếu vuông góc của điểm lên trục

Lời giải

là hình chiếu của lên

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm ; ; là

mức 7+

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ phương trình nào được cho dưới đây là

phương trình mặt phẳng ?

Lời giải

Mặt phẳng đi qua và nhận làm vec tơ pháp tuyến

và có một véctơ pháp tuyến Phương trình của là

vectơ pháp tuyến là thì phương trình của là

Lời giải

Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng đi qua vàvuông góc

Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua

và song song với ?

Lời giải mức 7+

Vì nên

vectơ pháp tuyến có phương trình là

Lời giải

và vuông góc với trục có phương trình là

phẳng trung trực của đoạn thẳng là

Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu

Gọi , , lần lượt là giao điểm của mặt cầu

phẳng trung trực của đoạn thẳng là

Lời giải

Gọi là trung điểm

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng qua và có vectơ pháp tuyến

.phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là

chứa trục có phương trình là

mức 7+

lượt là hình chiếu của điểm xuống các trục , ,

Lời giải

Ta có

là hình chiếu của trên trục nên

là hình chiếu của trên trục nên

là hình chiếu của trên trục nên

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , là

, Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và song song với mặtphẳng là

Lời giải

Ta có , nên là vectơ pháp tuyến của

Mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến

Trên trục có vec tơ đơn vị

Mặt phẳng chứa trục và vuông góc với mặt phẳng là mặt phẳng qua vànhận làm vec tơ pháp tuyến Do đó có phương trình

Mặt phẳng đi qua và nhận làm vec tơ pháp tuyến

và vuông góc với đường thẳng có phương trình là

mức 7+

Lời giải

phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là

lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các trục , , Phương trình của mặtphẳng là

Lời giải

Phương trình của là

phẳng đi qua cắt các trục tọa độ , , lần lượt tại , , sao cho

là trực tâm tam giác là:

phẳng qua , và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện có một vectơ pháp tuyến

là Tổng là

mức 7+

Hai điểm và nằm về khác phía nên nhận

Thấy ngay một vectơ pháp tuyến là thì , Vậy

nhiêu mặt phẳng qua , cắt trục , trục lần lượt tại , sao

Câu 30 Trong không gian , cho điểm Viết phương trình mặt phẳng qua

và cắt các trục , , lần lượt tại , , sao cho là trực tâm tamgiác

A một mặt phẳng B một điểm C một đoạn thẳng D. một đườngthẳng

Lời giải

Gọi là tâm mặt cầu đi qua hai điểm và

Ta có là điểm thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Vậy tập hợp tâm các mặt cầu luôn đi qua hai điểm cố định và cho trước là một mặt phẳng

, mặt phẳng Gọi là mặtphẳng vuông góc với song song với giá của vecto và tiếpxúc với Lập phương trình mặt phẳng

đi qua và cắt các trục , , lần lượt tại điểm , , sao cho

.Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn.

và cắt các trục , lần lượt tại và sao cho đườngthẳng vuông góc với Phương trình của mặt phẳng là

Lời giải Chọn

và cắt các trục tọa độ tại , , sao cho là trực tâm tam giác Phươngtrình mặt phẳng là

Do là trực tâm tam giác nên:

các trục tọa độ , , lần lượt tại các điểm , , không trùng với gốctọa độ sao cho là trực tâm của tam giác Trong các mặt phẳng sau, tìmmặt phẳng song song với mặt phẳng ?

mức 7+

Vậy mặt phẳng song song với mặt phẳng là

Đường thẳng nằm trong mặt phẳng đồng thời cắt và vuônggóc với có phương trình là:

A B C D

Lời giải

:

Gọi là đường thẳng nằm trong vuông góc với

Gọi A là iao điểm của và Tọa độ A là nghiệm của phương trình:

Phương trình qua có vtcp có dạng:

qua và cắt các trục , , lần lượt tại các điểm , , sao cho

là trực tâm của tam giác

Vì đi qua nên ta có:

Vậy phương trình mặt phẳng

đi qua hai điểm , và tạo với mặt phẳng một góc Khi đó giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

Ta có:

, mặt phẳng Gọi là mặtphẳng vuông góc với , song song với giá của véctơ và tiếpxúc với Lập phương trình mặt phẳng

các trục tọa độ , , lần lượt tại các điểm , , không trùng với gốctọa độ sao cho là trực tâm của tam giác Trong các mặt phẳng sau, tìmmặt phẳng song song với mặt phẳng ?

mức 7+

Câu 42 Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt phẳng chứa

và cắt các tia , , lần lượt tại , , sao cho

Lời giải

Gọi là mặt phẳng cần tìm

Vì cắt các tia , , lần lượt tại , , nên ta có , ,

.Phương trình theo đoạn chắn là

Từ và ta có

, Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua trong điểm , , , , ?

Câu 44 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm Số mặt phẳng

đi qua và cắt các trục , , tại , , sao cho ( ,, không trùng với gốc tọa độ ) là

Vậy có mặt phẳng thỏa ycbt

Xét điểm thuộc mặt cầu sao cho đường thẳng tiếp xúc với , luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là

Lời giải

có tâm bán kính

_Bài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng

?

mức 7+

Lời giải Chọn D

 Thay toạ độ điểm vào phương trình mặt phẳng

Câu 2: Trong không gian , gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng

và Đường thẳng đi qua điểm nàodưới đây?

Chọn C

 Gọi là đường thẳng qua và vuông góc với

Phương trình tham số của là: Ta có

Xét đáp án A ta thấy vậy thuộc

Xét đáp án B ta thấy vậy không thuộc

Xét đáp án C ta thấy vậy không thuộc

Xét đáp án D ta thấy vậy không thuộc

?

mức 7+

phẳng sau?

Lời giải

Xét đáp án A ta thấy vậy thuộc

Xét đáp án B ta thấy vậy không thuộc

Xét đáp án C ta thấy vậy không thuộc

Xét đáp án D ta thấy vậy không thuộc

chiếu vuông góc của trên mặt phẳng

Lời giải

Chọn B

nào sau đây thuộc mặt phẳng

Lời giải

Chọn B

Thay tọa độ điểm vào mặt phẳng

Lời giải Chọn A

Với , thay vào ta được:

khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A Mặt phẳng đi qua điểm

mức 7+

B Mặt phẳng song song với mặt phẳng

C Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tâm bán kính bằng

D Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là

Lời giải Chọn C

nên nên

Lời giải

Chọn D

Với , thay vào ta được:

hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng

Lời giải

Chọn D

trục tại điểm có tọa độ là

Lời giải mức 7+

Chọn D

, lần lượt tại các điểm , , khác thỏa mãn có trọng tâm làđiểm Tọa độ tâm của mặt cầu là

đi qua bốn điểm , , và nên ta có hệ

Vậy tâm của mặt cầu là

Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là

Lời giải

Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng là:

.Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng có tọa độ là nghiệm

điểm sau đây thuộc mặt phẳng ?

điểm sau đây thuộc mặt phẳng ?

Lời giải

Chọn C

mức 7+

chứa trục nên có dạng

điểm sau đây thuộc mặt phẳng ?

Tìm tọa độ điểm là hình chiếu vuông góc của điểm trênmặt phẳng

Lời giải Chọn B

Đường thẳng đi qua nhận làm vec tơ chỉ phương có

phương trình tham số là:

Ta có suy ra

giá trị thực của tham số để hai điểm và nằm khác phía so với mặt phẳng

Lời giải Chọn A

Để hai điểm và nằm khác phía so với mặt phẳng thì

có bán kính là

Lời giải Chọn B

Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Phương trình mặt cầu ngoại

Vì nên ta có hệ phương trình

mức 7+

.Suy ra , do đó bán kính mặt cầu là

xứng với điểm qua mặt phẳng là

Lời giải Chọn D

Đối xứng của điểm qua mặt phẳng là điểm

giá trị thực của tham số để hai điểm và nằm khác phía so với mặt phẳng

Lời giải Chọn C

Để hai điểm và nằm khác phía so với mặt phẳng thì

góc của điểm lên mặt phẳng có tọa độ là

Lời giải

Chọn C

có vectơ pháp tuyến là Gọi là hình chiếu của điểm lên mặt phẳng Khi đó:

Giải hệ trên ta có: ; ; hay

Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng là:

, , xét điểm Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Mặt phẳng đi qua hình chiếu của trên trục

mức 7+

B Mặt phẳng đi qua hình chiếu của trên mặt phẳng

C Điểm thuộc mặt phẳng

D Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn

Lời giải

Chọn B

+ Thay vào phương trình của mặt phẳng ta được nên

+ Trung điểm của là điểm thay vào ta được nên

.+ Hình chiếu của lên trục là điểm thay vào ta được

+ Hình chiếu của lên mặt phẳng là điểm thuộc

lên mặt phẳng là điểm Tọa độ điểm là

Lời giải

Chọn B

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Lời giải

Chọn A

Gọi là hình chiếu của lên Ta có

.tọa độ là nghiệm hệ

ba điểm , , Điểm thuộc sao cho

.nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất hay là hình chiếu của lên

Lúc đó, đường thẳng có phương trình suy ra

điểm Khi đó điểm đối xứng với qua mặt phẳng là

, là tham số Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên Tính khi khoảng cách từ điểm đến lớn nhất ?

Lời giải Chọn C

Phương trình có nghiệm với

Suy ra luôn đi qua đường thẳng

, Đường thẳng có VTCP

Điểm thay đổi trên mặt phẳng và là điểm trên tia sao cho

Biết rằng khi thay đổi, điểm luôn thuộc một mặt cầu cố định.Tính bán kính của mặt cầu đó

Mặt khác nên

Do đó điểm luôn thuộc một mặt cầu cố định có

, Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua trong điểm , , , , ?

Lời giải Chọn D

Ta thấy , , lần lượt thuộc các trục tọa độ , , Phương trình mặt

hình chiếu vuông góc của trên Điểm thuộc sao cho đoạn có

độ dài lớn nhất Tìm tọa độ điểm

Lời giải

Chọn A

Ta có tâm và bán kính Do nên mặt phẳng khôngcắt mặt cầu Do là hình chiếu của lên và lớn nhất nên là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu

Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng lên có độ dài bằng baonhiêu?

Lời giải

Chọn A

Ta có: thuộc nên hình chiếu của lên là điểm

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên

Lúc đó: Phương trình đường thẳng qua vuông góc với có dạng

Khi đó tạo độ điểm là giao điểm của và nên

mức 7+

Vậy

Gọi là mặt phẳng đi qua và tổng khoảng cách từ , , đến lớn nhất, đồng thời ba điểm , , nằm về cùng phía so với Trong cácđiểm sau, điểm nào thuộc mặt phẳng

Chú ý: Ta chứng minh , với , , ởcùng phía so với mặt phẳng như sau:

Vì , , ở cùng phía so với mặt phẳng nên , , cùng dấu.Suy ra:

Ta có:

Điểm thuộc sao cho mặt phẳng vuông

Mặt khác , không thuộc và nằm cùng một phía đối với mp

Ta có Gọi là trung điểm của , ta có

mức 7+

Khi đó ta có hệ phương trình

, Gọi , lần lượt là hình chiếu của , lên mặt phẳng Biết Tổng tất cả các giá trị của tham số là

Lời giải

Chọn

B

Gọi là đường thẳng qua và vuông góc với

Khi đó phương trình của là

Gọi là đường thẳng qua và vuông góc với

Khi đó phương trình tham số của là

Gọi , lần lượt là hình chiếu của , lên mặt phẳng

Khi đó, tọa độ điêm là nghiệm của hệ