Viết phương trình mặt phẳng P qua A và song song với 2 đường thẳng trên.. Lập phương trình mặt phẳng P đi qua A, B và vuông góc với Q... Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương t
Trang 1Bài 1 Trong không gian tọa độ Oxyz cho ( ) : 2 ; ( ) : 2 3 2 3 0.
Tìm giao của (d) và (P)
Lời giải:
Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình:
1 2
1
x
y
Vậy giao điểm cần tìm là (1;1;2)
Bài 2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho ( ) :1 2 4 3; ( 2) : 3 1 2; (0; 0;1)
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song với 2 đường thẳng trên
Lời giải:
Theo giả thiết, véctơ chỉ phương của 2 đường thẳng đã cho là:
1 (1;1; 2); 2 (2;3;1)
Mặt phẳng (P) song song với cả d d1, 2 nên véctơ pháp tuyến của (P) là:
n u u
Mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình mặt phẳng (P) là:
hay 5x 3y z 1 0
Bài 3 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(0;0;1), B(2;0;0) và mặt phẳng:
(Q): x – y + 2 = 0 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q)
Lời giải:
Ta có AB(2;0; 1), nQ(1; 1;0), AB n; Q ( 1; 1; 2)
MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ VIẾT PT MẶT PHẲNG
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Trang 2Vì AB n; Q 0 nên mặt phẳng (P) nhận AB n; Q làm véc tơ pháp tuyến
Vậy (P) có phương trình x y 2z 2 0
Bài 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
với A(2;3;7) và B(4;1;3)
Lời giải:
Cách 1
Gọi I là trung điểm của AB, ta có: I(3;2;5) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB sẽ qua I và vuông góc với AB nên nhận AB(2; 2; 4) làm vec tơ pháp tuyến, do đó phương trình (P) là:
2.(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = 0 hay (P): x – y - 2z + 9 = 0
Cách 2
Mọi điểm M(x;y;z) thuộc (P) sẽ cách đều A và B nên:
MA MB x y z x y z x y z
Vậy (P): x – y - 2z + 9 = 0
Cách 3
Mặt phẳng (P) nhận AB(2; 2; 4) làm vec tơ pháp tuyến, do đó phương trình (P) có dạng:
x – y - 2z + d = 0
Vì A, B cách đều (P) nên:
Do đó: (P): x – y - 2z + 9 = 0
Bài 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều 2
đường thẳng: 1 2
2
3
Lời giải:
Trang 3Chuyển về phương trình tham số ta có đường thẳng 2
1 2
1 5
Do đó véc tơ chỉ phương của 2 đường thẳng đã cho là:
Do đó phương trình (P) có dạng 6x - 7y – z + d = 0
Hai đường thẳng đã cho lần lượt đi qua điểm
1(2; 2;3), 2(1; 2;1) ( 1, ( )) ( 2, ( )) | 5 | | 9 | 7
( ) : 6x 7y z 7 0
P
Bài 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
1
:
d
và song song với đường thẳng 2
1
1 2
Lời giải:
Chọn điểm M(0; 2;0) d u1; 1(2;3; 4);u2(1;1; 2)
Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 khi và chỉ khi (P) đi qua M và có véc tơ phương tuyến là:
P
n u u P x y z P x z
Bài 7 Trong hệ trục oxyz cho các đường thẳng: d : 1 2x y 1 0
x y z 1 0
3x y z 3 0
d : 2x y 1 0
a Chứng minh rằng 2 đường thẳng trên đồng phẳng viết phương trình (P) chứa chúng
b Tìm thể tích phần không gian giới hạn bởi (P) và ba mặt phẳng tọa độ
Lời giải:
a
1 1 2 1
2 1 2 2
(1; 2; 3)
1 0 (0; 1; 0)
' ' ( 1; 2; 5)
:
d
d
Trang 4
1
1 2
(1; 2; 3)
0; 2; 4 (0;1; 2)
u
M M
đồng phẳng
Ta có:
P
b Giả sử (P) cắt 3 trục tọa độ tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)
Ta có:
Bài 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương
trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC
Lời giải:
Ta có AB(2; 3; 1), AC ( 2; 1; 1) n (2; 4; 8) là 1 vtpt của (ABC)
Suy ra phương trình (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0
Giả sử M(x; y; z) thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 Theo giả thiết MA = MB = MC Ta có:
2x 2y z – 3 0
Giải hệ được x = 2, y = 3, z = -7 Vậy M(2;3;-7)
Bài 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(10;2;-1), song song
với đường thẳng d:
1 2
1 3
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất
Lời giải: Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d, khi đó khoảng
cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H tới (P)
Trang 5Giả sử I là hình chiếu của H trên (P), ta có AHHImaxHI A I
Vậy (P) cần tìm đi qua A và nhận AH
là véc tơ pháp tuyến
Ta có:
(1 2 ; ;1 3 )
d
Bài 10 Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0) Viết phương trình mặt phẳng qua
I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 0
30
Lời giải:
Giả sử mặt phẳng cần tìm có dạng:
0
( ) : 1 ( , , 0)
2
xOy xOy
xOy
a b c
b
Vậy có 2 mặt phẳng cần tìm theo phương trình 1
2
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn