Nếu là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì với cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.. Hai vectơ không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương của nếu các giá của chúng song song h
Trang 1Cho mặt phẳng Nếu vectơ khác và có giá vuông góc
với mặt phẳng thì được gọi là vectơ pháp tuyến của
Chú ý Nếu là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì
với cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó
Hai vectơ không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương của
nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên
Chú ý:
Nếu là một vectơ pháp tuyến của thì cũng
là vectơ pháp tuyến của
Nếu là một cặp vectơ chỉ phương của thì
là một vectơ pháp tuyến của
◈- Ghi nhớ ❸
Trang 2 Chú ý : Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Ở đây cắt các trục toạ độ tại các điểm với
Trang 3
_Bài tập minh họa:
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 3 x + 2 y − 4 z + = Vectơ nào sau đây là một 1 0 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) ?
Ⓐ. n =2 ( 3; 2; 4 ) Ⓑ . n =3 ( 2; 4;1 − ) Ⓒ . n =1 ( 3; 4;1 − ) Ⓓ n =4 ( 3; 2; 4 − )
Lời giải Chọn D
Vectơ n1= ( 2; 0; 3 − ) có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) P vì là
một vectơ pháp tuyến của ( ) P
Trang 4Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 2; 1;3 − ) , B ( 4; 0;1 ) và C − ( 10;5;3 ) Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) ?
Ⓐ n = ( 1; 2; 2 ) Ⓑ n = ( 1; 2; 2 − ) Ⓒ n = ( 1;8; 2 ) Ⓓ n = ( 1; 2; 0 )
Lời giải
Chọn A
Ta có AB = ( 2;1; 2 − , ) AC = − ( 12;6;0 ) ,
, 12; 24; 24 12 1; 2; 2
AB AC
( ABC )
có một vectơ pháp tuyến là n = ( 1; 2; 2 )
PP nhanh trắc nghiệm
Casio:
_Bài tập rèn luyện:
Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
mặt phẳng ( ) P : x + 2 y − 3 z + = Trong các 3 0
véctơ sau véc tơ nào là véctơ pháp tuyến của ( ) P
?
A. n = ( 1; 2;3 − ) B n = ( 1;2; 3 − )
C n = ( 1;2;3 ) D n = − ( 1; 2;3 )
Lời giải :
Câu 2 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P : 3 x + − y 2 z + = 1 0 Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P ? A n =1 ( 3;1; 2 − ) B n =2 ( 1; 2;1 − ) C n = −3 ( 2;1;3 ) D n =4 ( 3; 2;1 − ) Lời giải :
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P có vectơ pháp tuyến là ( 2; 1;1 ) n = − Vectơ nào sau đây cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P ? A. ( 4; 2; 2 − ) B ( − 4; 2;3 )
C ( 4; 2; 2 − ) D ( − 2;1;1 ) Lời giải :
Câu 4 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P : 2 x + − = Mặt phẳng y 1 0 ( ) P có một vectơ pháp tuyến là A n = ( 2;1;0 ) B n = ( 2;1; 1 − ) C n = ( 1;2;0 ) D n = − − ( 2; 1;1 ) Lời giải :
Trang 5
Câu 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz
, vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng ( ) P : x + 3 y − 5 z + = 2 0
A. n = − − ( 1; 3; 5 ) B n = ( 2; 6; 10 − )
C. n = − − − ( 2; 6; 10 ) D n = − − ( 3; 9;15 )
Lời giải :
Câu 6 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P : z − 2 x + = Một vectơ 3 0 pháp tuyến của ( ) P là: A v = ( 1; 2;3 − ) B n = ( 2;0; 1 − ) C w = ( 1; 2;0 − ) D u = ( 0;1; 2 − ) Lời giải :
Câu 7 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P : 2 x − 2 y + + = z 5 0 Mặt phẳng ( ) P có một véctơ pháp tuyến là A. n =3 ( 2; 2;5 − ) B n = −4 ( 2;1; 2 ) C n =2 ( 1;1;0 ) D n =1 ( 2; 2;1 − ) Lời giải :
Câu 8 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P : 3 x + − y 2 z + = Vectơ nào sau đây là vectơ 1 0 pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P ? A n = −3 ( 2;1;3 ) B n =4 ( 3; 2;1 − ) C n =1 ( 3;1; 2 − ) D n =2 ( 1; 2;1 − ) Lời giải :
Câu 9 Vectơ n = ( 1; 2; 1 − là một vectơ pháp ) tuyến của mặt phẳng nào dưới đây ? A x − 2 y + + = z 1 0 B x + 2 y + + = z 2 0 C x + 2 y − − = z 2 0 D x + − y 2 z + = 1 0 Lời giải :
Câu 10 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P : x − 2 y + 3 z − = Mặt phẳng 1 0 ( ) P có một vectơ pháp tuyến là A n = − ( 2;1;3 ) B n = ( 1;3; 2 − ) C n = ( 1; 2;1 − ) D n = ( 1; 2;3 − ) Lời giải :
Câu 11 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 x + − + = Vectơ nào sau đây không là y z 1 0 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ? Lời giải :
Trang 6
A. n =4 ( 4; 2; 2 − ) B n2 = ( − 2; 1;1 − )
C n =3 ( 2;1;1 ) D n =1 ( 2;1; 1 − )
Câu 12 Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P có phương trình 3 x z − + = Véctơ 1 0 pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P có tọa độ là A. ( − 3;1;1 ) B ( 3; 1;1 − ) C ( 3; 1;0 − ) D ( 3;0; 1 − ) Lời giải :
Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( Oyz ) là: A. n ( 0; 0; 1 ) B n ( 1; 0; 1 ) C n ( 1; 0; 0 ) D n ( 0; 1; 0 ) Lời giải :
Câu 14 Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2 x − + y 3 z − = Véctơ nào sau đây 1 0 là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) A n = ( 2;1;3 ) B n = − ( 4; 2; 6 − ) C n = ( 2;1; 3 − ) D n = − ( 2;1;3 ) Lời giải :
Câu 15 Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P có phương trình 3 x z − + = Véctơ 1 0 pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P có tọa độ là A. ( 3;0; 1 − ) B ( 3; 1;1 − )
C ( 3; 1;0 − ) D ( − 3;1;1 ) Lời giải :
Câu 16 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P : x − 4 y + 3 z − = 2 0 Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P là A n = −4 ( 4;3; 2 − ) B n =1 ( 0; 4;3 − ) C n =2 ( 1; 4;3 ) D n = −3 ( 1; 4; 3 − ) Lời giải :
Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P : 3 − + x 2 z − = Vectơ n nào 1 0 sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P A n = − ( 3;0; 2 ) B n = ( 3;0; 2 ) Lời giải :
Trang 7
C n = ( 3; 2; 1 − ) D n = − ( 3; 2; 1 − )
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
cho mặt phẳng ( ) P : 2 x z − + = Tọa độ một 1 0
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P là
A. n ( 2; 1; 0 )
→
= − B n ( 2; 1; 1 )
→
C n ( 2; 0; 1 )
→
→
Lời giải :
Câu 19 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P : x − 4 y + 3 z − = Một vectơ pháp tuyến của 2 0 mặt phẳng ( ) P là ? A n =2 ( 1; 4;3 ) B n = −3 ( 1; 4; 3 − ) C n = −4 ( 4;3; 2 − ) D n =1 ( 0; 4;3 − ) Lời giải :
Câu 20 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm I ( 1; 2;3 − ) , bán kính R = 2 có phương trình là A ( ) (2 ) (2 )2 2 1 2 3 2 x + + y − + z + = B ( ) (2 ) (2 )2 1 2 3 4 x − + y + + z − = C ( ) (2 ) (2 )2 1 2 3 4 x − − y + + z − = D 2 2 2 2 3 4 x + y + z = Lời giải :
Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) P : x + ( m + 1 ) y − 2 z + = và m 0 ( ) Q :2 x − + = , với m là tham số thực Để y 3 0 ( ) P và ( ) Q vuông góc với nhau thì giá trị thực của m bằng bao nhiêu? A. m = − B 5 m = 1 C m = D 3 1 m = − Lời giải :
Câu 23 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1;1;0 ) , B ( 0; 1; 2 − ) Biết rằng có hai mặt phẳng cùng đi qua hai điểm A, O và cùng cách B một khoảng bằng 3 Véctơ nào trong các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó A n = ( 1; 1; 5 − − ) B n = ( 1; 1; 1 − − ) C n = ( 1; 1; 3 − − ) D n = ( 1; 1;5 − ) Lời giải :
Trang 8
Câu 24 Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz , cho hai điểm A ( 1;1;0 ) , B ( 0; 1; 2 − ) Biết
rằng có hai mặt phẳng cùng đi qua hai điểm A , O
và cùng cách B một khoảng bằng 3 Véctơ nào
trong các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyến
của một trong hai mặt phẳng đó.
A n = ( 1; 1; 1 − − ) B n = ( 1; 1; 3 − − )
C n = ( 1; 1;5 − ) D n = ( 1; 1; 5 − − )
Lời giải :
Cách giải:
❶ Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.
Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
Hay
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
cho trước
VTPT của là
// nên VTPT của mặt phẳng là
Phương trình mặt phẳng :
❸ Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm , , không thẳng hàng.
Tìm tọa độ các vectơ:
Vectơ pháp tuyến của là :
Điểm thuộc mặt phẳng: (hoặc hoặc )
Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT
Viết phương trình mặt phẳng
▣
②
Trang 9 _Bài tập minh họa:
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng ( Oyz ) ?
Lời giải Chọn D
Mặt phẳng ( Oyz ) đi qua O ( 0;0;0 ) và nhận n = ( 1;0;0 ) làm
vec tơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng ( Oyz ) là x = 0
Gọi I là trung điểm của AB I ( 2;3; 0 )
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua điểm I và
Trang 10Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng ( ) : x − + y 2 z − = có vec tơ pháp tuyến 1 0
( 1; 1; 2 )
n = −
Trên trục Oz có vec tơ đơn vị k = ( 0;0;1 )
Mặt phẳng chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng ( ) là
mặt phẳng qua O và nhận n k; = − − ( 1; 1; 0 ) làm vec tơ pháp
tuyến
Do đó có phương trình − − = + = x y 0 x y 0
PP nhanh trắc nghiệm
_Bài tập rèn luyện:
Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba
điểm M ( 3; 0; 0 ) , N ( 0; 2; 0 − ) và P ( 0; 0; 2 ) Mặt phẳng
( MNP ) có phương trình là
x + + y z =
x + y + = z
Lời giải :
Câu 2 Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A ( 1; 2;3 ) , ( 3; 2; 1 ) B − − − Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là A. x − − = y z 0 B x + + + = y z 6 0 C x + + − = y z 6 0 D x + + = y z 0 Lời giải :
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A ( 2; 3; − − 2 ) và có một vectơ pháp tuyến ( 2; 5;1 ) n = − có phương trình là A. 2 x − 3 y − 2 z − = 18 0 B 2 x − 5 y + + z 17 = 0 C. 2 x − 5 y + − z 12 = 0 D 2 x − 5 y + − z 17 = 0 Lời giải :
Câu 4 Mặt phẳng có phương trình nào sau đây song song với trục Ox ? A. 3 x + = 1 0 B 2 y + = z 0 C 2 x + + = y 1 0 D y − 2 z + = 1 0 Lời giải :
Trang 11
Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng
đi qua các điểm A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0;3; 0 ) , C ( 0; 0; 4 ) có
phương trình là
A 6 x + 4 y + 3 z = 0 B
6 x + 4 y + 3 z − 12 = 0
C 6 x + 4 y + 3 z − 24 = 0 D
6 x + 4 y + 3 z + 12 = 0
Lời giải :
Câu 6 Cho ba điểm M ( 0; 2;0 ) ; N ( 0; 0;1 ) ; A ( 3; 2;1 ) Lập phương trình mặt phẳng ( MNP ) , biết điểm P là hình chiếu vuông góc của điểm A lên trục Ox A. 1 3 2 1 x + + = y z B 1 2 1 3 x + + = y z C 1 3 2 1 x + + = y z D 1 2 1 1 x + + = y z Lời giải :
Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng ( Oyz ) ? A. x = 0 B y − = z 0
C y + = z 0 D x = + y z Lời giải :
Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P đi qua điểm A ( 0; 1; 4 − ) và có một véctơ pháp tuyến n = ( 2;2; 1 − ) Phương trình của ( ) P là A. 2 x − 2 y − − = z 6 0 B 2 x + 2 y + − = z 6 0 C. 2 x + 2 y − + = z 6 0 D 2 x + 2 y − − = z 6 0 Lời giải :
Câu 9 Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng ( Oyz ) là A. y + = z 0 B z = 0 C x = 0 D y = 0 Lời giải :
Câu 10 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( ) đi qua gốc tọa độ O ( 0; 0; 0 ) và có vectơ pháp tuyến là ( 6; 3; 2 ) n = − thì phương trình của ( ) là A. 6 x + 3 y − 2 z = 0 B 6 x − 3 y − 2 z = 0 C. − − 6 x 3 y − 2 z = 0 D − + 6 x 3 y − 2 z = 0 Lời giải :
Câu 11 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng Oxz ? A. y − = 1 0 B y = 0 C x = 0 D 0 z = Lời giải :
Trang 12
Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm ( 2;1; 1 ) A − , B − ( 1;0; 4 ) , C ( 0; 2; 1 − − ) Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng đi qua A và vuông góc BC A. x − 2 y − 5 z − = 5 0 B x − 2 y − 5 z + = 5 0 C. 2 x − + y 5 z − = 5 0 D x − 2 y − 5 z = 0 Lời giải :
Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm ( 3; 1; 2 ) M − − và mặt phẳng ( ) P : 3 x − + y 2 z + = 4 0 Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với ( ) P ? A. ( ) Q : 3 x − + y 2 z + = 6 0 B ( ) Q : 3 x − − y 2 z − = 6 0 C. ( ) Q : 3 x − + y 2 z − = 6 0 D ( ) Q : 3 x + − y 2 z − 14 = 0 Lời giải :
Câu 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng qua A ( 1; 2; 1 − ) có một vectơ pháp tuyến ( 2;0;0 ) n có phương trình là A. 2 x − = 1 0 B y + = z 0 C y + − = z 1 0 D x − = 1 0 Lời giải :
Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( ) P đi qua điểm M ( 1; 2; 3 − ) và vuông góc với trục Oz có phương trình là A. z + = 3 0 B z − = 3 0 C x + − = y 3 0 D x + + = y z 0 Lời giải :
Câu 16 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm ( 3; 2; 1 ) A − , B − ( 1; 4;5 ) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là A. 2 x − − y 3 z + = 7 0 B 2 x y 3 z 7 0 − + + + = C. 2 x + + y 3 z − = 11 0 D 2 x − − y 3 z − = 7 0 Lời giải :
Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) 2 2 2 ( ) : 2 2 3 0 S x + y + z − x + y + z = Gọi A , B , C lần lượt là giao điểm của mặt cầu ( ) S và các trục tọa độ Ox , Oy , Oz Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: A. 6 x − 3 y − 2 z − 12 = 0 B 6 x − 3 y − 2 z + 12 = 0 Lời giải :
Trang 13
C. 6 x − 3 y + 2 z − 12 = 0 D
6 x + 3 y + 2 z − 12 = 0
Câu 18 Trong không gian Oxyz cho hai điểm
( 2;0;1 )
A − , B ( 4; 2;5 ) phương trình mặt phẳng trung
trực của đoạn thẳng AB là
A. 3 x + + y 2 z − 10 = 0 B 3 x + + y 2 z + 10 = 0
.
C. 3 x + − y 2 z − 10 = 0 D 3 x − + y 2 z − 10 = 0
.
Lời giải :
Câu 19 Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 1; 0; 1 − ) Mặt phẳng ( ) đi qua M và chứa trục Ox có phương trình là A. x + + = y z 0 B y = 0 C x + = z 0 D y + + = z 1 0 Lời giải :
Câu 20 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) qua ba điểm A , B , C lần lượt là hình chiếu của điểm M ( 2;3; 5 − ) xuống các trục Ox , Oy , Oz A. 15 x + 10 y − 6 z − 30 = 0 B 15 x − 10 y − 6 z − 30 = 0 C. 15 x − 10 y − 6 z + 30 = 0 D 15 x + 10 y − 6 z + 30 = 0 Lời giải :
Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 1;1;1 ) , B ( 0; 2;3 − ) , C ( 2;1; 0 ) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M ( 1; 2; 7 − ) và song song với mặt phẳng ( ABC ) là A. 3 x + + y 3 z − 22 = 0 B 3 x + − y 3 z − 26 = 0 C. 3 x + − y 3 z − 32 = 0 D 3 x + + y 3 z + 16 = 0 Lời giải :
Câu 22 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng ( ) : x − + y 2 z − = 1 0 có phương trình là A x + − = y 1 0 B x + 2 y = 0 C x − = y 0 D x + = y 0 Lời giải :
Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng ( Oyz ) ? A. x = 0 B y − = z 0
C y + = z 0 D x = + y z Lời giải :
Trang 14
Câu 24 Trong không gian Oxyz , Cho hai điểm
( 5; 4; 2 )
A − và B ( 1; 2; 4 ) Mặt phẳng đi qua A và vuông
góc với đường thẳng AB có phương trình là
A. 2 x − 3 y − + = z 8 0 B 3 x − + y 3 z − 13 = 0
.
C. 2 x − 3 y − − z 20 = 0 D 3 x − + y 3 z − 25 = 0
.
Lời giải :
Câu 25 Trong không gian , cho hai điểm ( 3; 2; 1 ) A − , B − ( 1; 4;5 ) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là A. 2 x + + y 3 z − = 11 0 B 2 x − − y 3 z − = 7 0 C. 2 x − − y 3 z + = 7 0 D − + + 2 x y 3 z + = 7 0 . Lời giải :
Câu 26 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1; 2;3 ) Gọi A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các trục Ox , Oy , Oz Phương trình của mặt phẳng ( A A A1 2 3) là A. 0 1 2 3 x + + = y z B 1 3 6 9 x + + = y z C 1 1 2 3 x + + = y z D 1 2 4 6 x + + = y z Lời giải :
Câu 27 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ( 1;1; 3 ) H − Phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua H cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC là: A. x + + y 3 z + = 7 0 B x + − y 3 z + = 11 0 C. x + − y 3 z − = 11 0 D x + + y 3 z − = 7 0 Lời giải :
Câu 28 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 3; 0; 0 ) , B ( 1; 2;1 ) và C ( 2; 1; 2 − ) Biết mặt phẳng qua B , C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là ( 10; ; a b ) Tổng a b + là A. − 2 B 2 C 1 D − 1 Lời giải :
Câu 29 Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm M ( 1; 2;1 ) ; N − ( 1;0; 1 − ) Có bao nhiêu mặt phẳng qua M , N cắt trục Ox , trục Oy lần lượt tại A , B ( A B ) sao cho AM = 3 BN A Vô số B 1 C 2 D 3 Lời giải :
Oxyz
AB
Trang 15Câu 30 Trong không gian Oxyz , cho điểm H ( 2;1;1 )
Viết phương trình mặt phẳng qua H và cắt các trục Ox
, Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho H là trực tâm
tam giác ABC
A. x − − = y z 0 B 2 x + + − = y z 6 0
C. 2 x + + + = y z 6 0 D 1
2 1 1
x + + = y z
Lời giải :
Câu 31 Tập hợp tâm các mặt cầu luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước là A một mặt phẳng B một điểm C một đoạn thẳng D một đường thẳng. Lời giải :
Câu 32 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( ) 2 2 2 : 2 6 4 2 0 S x + y + z − x + y − z − = , mặt phẳng ( ) : x + 4 y + − = z 11 0 Gọi ( ) P là mặt phẳng vuông góc với ( ) ( ) , P song song với giá của vecto ( 1;6; 2 ) v = và ( ) P tiếp xúc với ( ) S Lập phương trình mặt phẳng ( ) P A. 2 x − + y 2 z + = 3 0 và 2 x − + y 2 z − 21 0 = B 2 x − + y 2 z + = 5 0 và 2 x − + y 2 z − = 2 0 C. 2 x − + y 2 z − = 2 0 và x − 2 y + − z 21 0 = D x − 2 y + 2 z + = 3 0 và x − 2 y + − z 21 0 = Lời giải :
Câu 33 Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 1;1; 2 ) Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng ( ) P đi qua M và cắt các trục x Ox , y Oy , z Oz lần lượt tại điểm A , B , C sao cho OA OB = = OC 0 ? A. 8 B 3 C 1 D 4 Lời giải :
Câu 34 Trong không gian Oxyz , gọi ( ) P là mặt phẳng chứa đường thẳng : 2 1 1 2 1 x y z d − = − = − và cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với d Phương trình của mặt phẳng ( ) P là A. x + 2 y + 5 z − = 4 0 B x + 2 y − − = z 4 0 C. 2 x − − = y 3 0 D x + 2 y + 5 z − = 5 0 Lời giải :
Câu 35 Trong không gian Oxyz , cho điểm H ( 2; 1; 1 ) Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A , B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( ) P là Lời giải :
Trang 16
A. 2 x + + + = y z 6 0 B x + 2 y + − = z 6 0
C. x + 2 y + 2 z − = 6 0 D 2 x + + − = y z 6 0
Câu 36 Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 3; 2;1 ) Mặt phẳng ( ) P đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm của tam giác ABC Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) P ? A 2 x + + y 3 z + = 9 0 B 2 x + + − = y z 9 0 C 3 x + 2 y + − z 14 = 0 D 3 x + 2 y + + z 14 = 0 Lời giải :
Câu 37 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1 2 : 2 1 2 x y z d + = = + − và mặt phẳng ( ) : P x + − + = y z 1 0 Đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) P đồng thời cắt và vuông góc với d có phương trình là: A. 1 4 3 x t y t z t = − + = − = − B 3 2 4 2 x t y t z t = + = − + = + C 3 2 4 2 3 x t y t z t = + = − − = − D 3 2 2 6 2 x t y t z t = + = − + = + Lời giải :
Câu 38 Trong không gian Oxyz cho điểm M ( 3; 2;1 ) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và cắt các trục x Ox , y Oy , z Oz lần lượt tại các điểm A , B , C sao cho M là trực tâm của tam giác ABC A. 3 x + + y 2 z − 14 = 0 B 3 x + 2 y + − z 14 = 0 C. 1 9 3 6 x + + = y z D 1 12 4 4 x + + = y z Lời giải :
Câu 39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết mặt phẳng ( ) P : ax by cz + + + = d 0 với c 0 đi qua hai điểm A ( 0;1;0 ) , B ( 1;0;0 ) và tạo với mặt phẳng ( yOz ) một góc 60 Khi đó giá trị a b c + + thuộc khoảng nào dưới đây? A. ( ) 0;3 B ( ) 3;5 C ( ) 5;8 D ( 8;11 ) Lời giải :
Trang 17
Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
mặt cầu ( ) 2 2 2
S x + y + z − x + y − z − = , mặt
phẳng ( ) : x + 4 y + − = z 11 0 Gọi ( ) P là mặt phẳng
vuông góc với ( ) , ( ) P song song với giá của véctơ
( 1;6; 2 )
v = và ( ) P tiếp xúc với ( ) S Lập phương trình
mặt phẳng ( ) P
A. x − 2 y + 2 z + = 3 0 và x − 2 y + − z 21 0 =
B 2 x − + y 2 z + = 3 0 và 2 x − + y 2 z − 21 0 =
C. 2 x − + y 2 z + = 5 0 và 2 x − + y 2 z − = 2 0
D 2 x − + y 2 z − = 2 0 và x − 2 y + − z 21 0 =
Lời giải :
Câu 41 Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 3; 2;1 ) Mặt phẳng ( ) P đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm của tam giác ABC Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) P ? A. 3 x + 2 y + + z 14 = 0 B 2 x + + y 3 z + = 9 0 C. 2 x + + − = y z 9 0 D 3 x + 2 y + − z 14 = 0 Lời giải :
Câu 42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng chứa M ( 1;3; 2 − ) và cắt các tia Ox , Oy, Oz lần lượt tại A , B , C sao cho 1 2 4 OA = OB = OC A. x+2y+4z+ =1 0 B 4x+2y+ − =z 8 0 C 4x+2y+ + =z 1 0 D 2x− − − =y z 1 0. Lời giải :
Câu 43 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A ( 1;0;0 ) , B ( 0; 2; 0 ) , C ( 0; 0;3 ) , D ( 2; 2; 0 − ) Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm O , A , B , C , D ? A. 10 B 7 C 5 D 6 Lời giải :
Câu 44 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1; 2;5 ) Số mặt phẳng ( ) đi qua M và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A , B , C sao cho OA OB = = OC ( A , B , C không trùng với gốc tọa độ O ) là A. 4 B 1 C 8 D 3 Lời giải :
Câu 45 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2 : 2 3 4 2 S x − + y − + z − = và điểm A ( 1; 2;3 ) Xét điểm M thuộc mặt cầu ( ) S sao cho đường thẳng Lời giải :
Trang 18
AM tiếp xúc với ( ) S , M luôn thuộc mặt phẳng có
phương trình là
A. 2 x + 2 y + 2 z + 15 = 0 B 2 x + 2 y + 2 z − 15 = 0
C. x + + + = y z 7 0 D x + + − = y z 7 0
_Bài tập minh họa:
Câu 1: Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng ( ) P : 2 x − + − = y z 2 0 ?
Ⓐ . Q ( 1; 2; 2 − ) Ⓑ P ( 2; 1; 1 − − ) Ⓒ M ( 1;1; 1 − ) Ⓓ . N ( 1; 1; 1 − − )
Lời giải Chọn D
Thay toạ độ điểm Q vào phương trình mặt phẳng ( ) P ta được
Câu 2: Trong không gian Oxyz , gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2 x − + y 3 z − = và 7 0
( ) : x − 2 y + − = Đường thẳng z 2 0 d đi qua điểm nào dưới đây?
Trang 19 Điểm ( )
( )
P
P d P
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xác định tọa độ điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm M ( 2;3;1 ) lên mặt phẳng ( ) : x − 2 y + = z 0
Ⓐ 2; ;3 5
2
M Ⓑ M ( 1;3;5 ) Ⓒ 5 ; 2; 3
M Ⓓ M ( 3;1; 2 )
Lời giải
Chọn C
Gọi là đường thẳng qua M và vuông góc với ( )
Phương trình tham số của là:
2
3 2 1
= +
= −
= +
Ta có M = ( )
Xét phương trình: 2 + − t 2 3 2 ( − t ) + + = 1 t 0 1
2
t
=
Vậy 5 ; 2; 3
M
PP nhanh trắc nghiệm
_Bài tập rèn luyện:
Câu 1 Trong không gian Oxyz , điểm M ( 3; 4; 2 − )
thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
A. ( ) Q : x − = 1 0 B ( ) P : z − = 2 0
C. ( ) R : x + − = y 7 0 D ( ) S : x + + + = y z 5 0
Lời giải :
Câu 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng nào sau đây chứa trục Ox ? A. 2 y + = z 0 B x + 2 y = 0 C x + 2 y − = z 0 D x − 2 z = 0 Lời giải :
Câu 3 Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng ( ) P : 2 x − + − = y z 2 0 A P ( 2; 1; 1 − − ) B M ( 1;1; 1 − ) C Q ( 1; 2; 2 − ) D N ( 1; 1; 1 − − ) Lời giải :
Câu 4 Trong không gian Oxyz , điểm M ( 3; 4; 2 − ) thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau? A ( ) P : z − = 2 0 B ( ) R : x + − = y 7 0 Lời giải :
Trang 20
C ( ) S : x + + + = y z 5 0 D ( ) Q : x − = 1 0
Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2; 1;1 − ) , tìm tọa độ M là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( Oxy ) A M ( 0;0;1 ) B M ( 2; 1; 0 − ) C M − ( 2;1; 0 ) D M ( 2;1; 1 − ) Lời giải :
Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P : 2 x − + y 3 z − = Điểm nào sau đây thuộc 2 0 mặt phẳng ( ) P A M ( 1; 0;1 ) B N ( 0;1;1 ) C Q ( 1;1;1 ) D ( 1;1;0 ) P Lời giải :
Câu 7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng ( ) P : x + + − = y z 1 0 A. O ( 0; 0; 0 ) B J ( 0;1;0 ) C I ( 1;0;0 ) D ( 0; 0;1 ) K Lời giải :
Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P : x + 2 y + − = Chọn khẳng định sai z 6 0 trong các khẳng định sau? A. Mặt phẳng ( ) P đi qua điểm A ( 3; 4; 5 − ) B. Mặt phẳng ( ) P song song với mặt phẳng ( ) Q : x + 2 y + + = z 5 0 C. Mặt phẳng ( ) P tiếp xúc với mặt cầu tâm ( 1;7;3 ) I bán kính bằng 6 D. Mặt phẳng ( ) P có vectơ pháp tuyến là ( 1; 2;1 ) n = Lời giải :
Câu 9 Trong không gian Oxyz , cho điểm A − ( 1; 2;3 ) Tìm tọa độ điểm điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng ( Oyz ) A B ( 1; 2;3 − ) B B ( 1; 2; 3 − ) C B − − − ( 1; 2; 3 ) D B ( 1; 2;3 ) Lời giải :
Trang 21
Câu 10 Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây
nằm trên mặt phẳng ( ) P : 2 x − + − = y z 2 0
A Q ( 1; 2; 2 − ) B N ( 1; 1; 1 − − )
C P ( 2; 1; 1 − − ) D M ( 1;1; 1 − )
Lời giải :
Câu 11 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng ( ) P : x + + − = y z 1 0 A K ( 0; 0;1 ) B J ( 0;1;0 ) C I ( 1;0;0 ) D ( 0; 0; 0 ) O Lời giải :
Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2; 1;1 − ) , tìm tọa độ M là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( Oxy ) A M − ( 2;1; 0 ) B M ( 2;1; 1 − ) C M ( 0;0;1 ) D M ( 2; 1; 0 − ) Lời giải :
Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( ) P : 2 x + 3 y + 4 z − 12 = cắt trục 0 Oy tại điểm có tọa độ là A ( 0; − 4; 0 ) B ( 0; 6; 0 ) C ( 0; 3; 0 ) D ( 0; 4; 0 ) Lời giải :
Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện OABC ( O là gốc tọa độ), A Ox , B Oy , C Oz và mặt phẳng ( ABC ) có phương trình: 6 x + 3 y + 2 z − 12 = 0 Thể tích khối tứ diện OABC bằng A 14 B 3 C 1 D 8 Lời giải :
Câu 15 Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt cầu ( ) S đi qua điểm O và cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C khác O thỏa mãn ABC có trọng tâm là điểm G ( 2; 4;8 ) Tọa độ tâm của mặt cầu ( ) S là A 2 4 8 ; ; 3 3 3 . B ( 3; 6;12 ) C ( 1; 2;3 ) D 4 8 16 ; ; 3 3 3 . Lời giải :
Trang 22
Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
Câu 17 Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua M ( 1; 1; 2 − ) và
chứa trục Ox Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc
mặt phẳng ( ) ?
A Q ( 0; 4; 2 ) B M ( 0; 4; 2 − )
C N ( 2; 2; 4 − ) D P − ( 2; 2; 4 )
Lời giải :
Câu 18 Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua M ( 1; 1; 2 − ) và
chứa trục Ox Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc
mặt phẳng ( ) ?
A Q ( 0; 4; 2 ) B M ( 0; 4; 2 − )
C N ( 2; 2; 4 − ) D P − ( 2; 2; 4 )
Lời giải :
Câu 19 Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua M ( 1; 1; 2 − ) và
chứa trục Ox Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc
mặt phẳng ( ) ?
A N ( 2; 2; 4 − ) B P − ( 2; 2; 4 )
C Q ( 0; 4; 2 ) D M ( 0; 4; 2 − )
Lời giải :
Câu 20 Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 1; 2;3 )
Câu 21 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
Trang 23Câu 22 Cho điểm A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 2; 0 ) , C ( 0; 0; 2 ) ,
Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
điểm A ( 1; 4; 5 − − Tọa độ điểm ) A đối xứng với điểm
A qua mặt phẳng Oxz là
A. ( 1; 4;5 − ) B ( − 1; 4;5 ) C ( 1; 4;5 ) D
( 1; 4; 5 − )
Lời giải :
Câu 24 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
Câu 25 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
( ) : 3 x − 2 y + + = Hình chiếu vuông góc của điểm z 6 0
Câu 26 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,
Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
mặt phẳng ( ) P có phương trình x y z 2 0
a + + − = b c , 0
abc , xét điểm M a b c ( ; ; ) Mệnh đề nào sau đây
đúng?
Lời giải :