Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ VIẾT PT MẶT PHẲNG HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài Trong không gian tọa độ Oxyz cho (d ) : x2 y z   ; ( P) : x  y  z   Tìm giao (d) (P) Lời giải: Tọa độ giao điểm (d) (P) nghiệm hệ phương trình:  x  3t   x  3t   x  3t  x  x2 y z   y  t   y  t    y  t   y 1    2 x  y  z    z  2t  z  2t  z  2t z   2(3t  2) 2 x  y  z    2)  33t  2.2 2.2t  33 00 t  11 Vậy giao điểm cần tìm (1;1;2) Bài Trong không gian tọa độ Oxyz cho (d1 ) : x2 y 4 z 3 x  y 1 z     ; (d ) :  ; A(0;0;1) 2 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A song song với đường thẳng Lời giải:   Theo giả thiết, véctơ phương đường thẳng cho là: ud1  (1;1;2); ud2  (2;3;1)    Mặt phẳng (P) song song với d1 , d nên véctơ pháp tuyến (P) là: n( P )  ud1 , ud2   (5;3;1) Mặt phẳng (P) qua A nên phương trình mặt phẳng (P) là: 5( x  0)  3( y  0) 0)  1( 1(z  1) 1)  00 hay 5x  y  z   Bài Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(0;0;1), B(2;0;0) mặt phẳng: (Q): x – y + = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B vuông góc với (Q) Lời giải:     Ta có AB(2;0; 1), nQ (1; 1;0),  AB; nQ   (1; 1; 2) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian      Vì  AB; nQ   nên mặt phẳng (P) nhận  AB; nQ  làm véc tơ pháp tuyến Vậy (P) có phương trình x  y  z   Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(2;3;7) B(4;1;3) Lời giải: Cách Gọi I trung điểm AB, ta có: I(3;2;5) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua I vuông  góc với AB nên nhận AB (2; 2; 4) làm vec tơ pháp tuyến, phương trình (P) là: 2.(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = hay (P): x – y - 2z + = Cách Mọi điểm M(x;y;z) thuộc (P) cách A B nên: MA2  MB  ( x  2)2  ( y  3)2  ( z  7)  ( x  4)  ( y  1)  ( z  3)  x  y  z   Vậy (P): x – y - 2z + = Cách  Mặt phẳng (P) nhận AB (2; 2; 4) làm vec tơ pháp tuyến, phương trình (P) có dạng: x – y - 2z + d = Vì A, B cách (P) nên: d ( A, ( P))  d ( B, ( P))  |   2.7  d | |   2.3  d |  | d  15 || d  | d  11 11 Do đó: (P): x – y - 2z + = Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) song song cách x   t x 1 y  z 1    đường thẳng: d1 :  y   t ; d : z   t  Lời giải: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian  x   2t  Chuyển phương trình tham số ta có đường thẳng d :  y   t  z   5t  Do véc tơ phương đường thẳng cho là:      u1  (1;1; 1); u2  (2;1;5)  uP  u1 , u2   (6; 7; 1) Do phương trình (P) có dạng 6x - 7y – z + d = Hai đường thẳng cho qua điểm M1 (2; 2;3), M (1; 2;1)  d ( M1 ,( P))  d ( M ,( P)) | d  || d  | d   ( P) : 6x  7y  z   Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng x  1 t x  y  z    song song với đường thẳng d :  y   t d1 :  x  y  2z    z   2t  Lời giải:   Chọn điểm M (0; 2;0)  d1; u1  (2;3;4); u2  (1;1;2) Mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d (P) qua M có véc tơ phương tuyến là:    nP   u1 , u2   (2;0; 1)  ( P) : 2( x  0)  0( y  2)  1( z  0)   ( P) : x  z  2x  y   3x  y  z   Bài Trong hệ trục oxyz cho đường thẳng: d1 :  d :  x  y  z   2x  y   a Chứng minh đường thẳng đồng phẳng viết phương trình (P) chứa chúng b Tìm thể tích phần không gian giới hạn (P) ba mặt phẳng tọa độ Lời giải: a     2 x  y   u1   n1.n   (1; 2; 3)   d1     x  y  z    M (0; 1;0)  d1     u   n '1.n '2   (1; 2; 5)  3x  y  z      d :  x  y     M (0;1; 4)  d1  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian  u1  (1; 2; 3)       u  (1; 2; 5)  u1 , u  M 1M   d1; d đồng phẳng    M 1M   0; 2;   (0;1; 2) Ta có:    n ( P )  u1 , u   (4;8; 4)  (1; 2; 1)  ( P ) : ( x  0)  2( y  1)  ( z  0)   ( P) : x  y  z   b Giả sử (P) cắt trục tọa độ A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) Ta có: ( P) : x  y  z    x  y  z  2   (a; b; c)  (2; 1; 2)  V  x y z   1 2 1 2 abc  (dvtt ) Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC Lời giải:    Ta có AB  (2; 3; 1), AC  (2; 1; 1)  n  (2; 4; 8) vtpt (ABC) Suy phương trình (ABC) (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = hay x + 2y – 4z + = Giả sử M(x; y; z) thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = Theo giả thiết MA = MB = MC Ta có:  2x  2y  z –   2 2 2  x  ( y  1)  ( z  2)  ( x  2)  ( y  2)  ( z  1) ( x  2)  ( y  2)  ( z  1)  ( x  2)  y  ( z  1)  Giải hệ x = 2, y = 3, z = -7 Vậy M(2;3;-7) Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A(10;2; -1), song song  x   2t  với đường thẳng d:  y  t khoảng cách từ d tới (P) lớn  z   3t  Lời giải: Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A song song với d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H tới (P) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Giả sử I hình chiếu H (P), ta có AH  HI  max HI  A  I  Vậy (P) cần tìm qua A nhận AH véc tơ pháp tuyến Ta có: H  d  H (1  2t ; t ;1  3t )    AH  d  AH ud   H (3;1; 4)  AH (7; 1;5)  ( P) :  7( x  10)  ( y  2)  5( z  1)   ( P) : x  y  z  77  Bài 10 Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm I( 0;0;1) K( 3;0;0) Viết phương trình mặt phẳng qua I, K tạo với mặt phẳng (xOy) góc 300 Lời giải: Giả sử mặt phẳng cần tìm có dạng: x y z    (a, b, c  0) a b c I  ( )  c  x y z K  ( )  a   ( ) :    b ( ) :     1 n n xOy x y z  n  ( ; ;1) n xOy  (0;0;1)  cos30    b  ( ) :   1 b 3 n n xOy Vậy có mặt phẳng cần tìm theo phương trình Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt x y z   1 3 2 Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian BÀI TẬP BỔ SUNG Bài Lập phương trình mặt phẳng   biết: a Mặt phẳng   qua M  3, 2, 1 song song với mặt phẳng    có phương trình x  y  z  b Mặt phẳng   qua điểm M  0,1,1 ; N  1, 0,  vuông góc với mặt phẳng Lời giải a Vì   //    : x  y  z  nên phương trình mặt phẳng   có dạng:   : x  y  z  D  Do M  3, 2, 1    nên:  5.2  (1)  D   D    D  Vậy phương trình mặt phẳng   là: x  y  z    b Đặt    : x  y  z    n  1, 1,1 VTPT mp     Vì       nên n VTCP mp    Vì   qua hai điểm M , N vuông góc với mp    nên mp   có cặp VTCP là: MN   1, 1,1  n  1, 1,1    Suy ra: VTPT mp   n   MN , n    0, 2,   Mặt phẳng   qua M  0,1,1 có VTPT n   0,1,1 Bài Lập phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB biết A 1,3, 2  B 1, 2,1 Lập phương trình mp   chứa đường thẳng AB song song với CD , A  5,1,3 ; B 1, 6,  ; C  5, 0,  ; D  4, 0,  3.Lập phương trình mặt phẳng qua điểm M 1, 0, 2  vuông góc với hai mặt phẳng  P  : x  y  z    Q  : x  y  z   Lời giải Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Gọi   mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Gọi I trung điểm đoạn AB Khi đó: 11   xI    3    yI  2    1   zI     A I  1  I 1, ,    2 α B Vì   mặt phẳng trung trực AB I trung điểm AB nên I     AB    Ta có: AB     AB VTPT mp   , với AB   0, 1,3  VTPT AB   0, 1,3  Mặt phẳng   xác định bởi:   1 qua I 1, ,    2  5  1  Phương trình mp   :  x  1  1 y     z     y  z   2  2    Vì mp   chứa AB   // CD nên AB CD cặp VTCP mp      Khi đó: VTPT mp   là: n   AB, CD    Ta có: AB   4,5, 1 & CD   1, 0,    n  10,9,5   Mặt phẳng   qua A  5,1, 3 có VTPT n  10,9,5  Phương trình mp   : 10  x     y  1   z  3     : 10 x  y  z  74  Ta có:  P  : 2x  y  z      nP   2,1, 1 ;  Q  : x  y  z    nQ  1, 1, 1 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương     P  Vì      Q  mà Hình học giải tích không gian   n P   P    // nP     n Q   Q    // nQ   Do nP ; nQ cặp VTCP mp       VTPT mp   là: n   nP , nQ    2,1, 3 phẳng    VTPT n   2,1, 3 bởi:  qua M  1, 0, 2  Mặt xác định Phương trình mp   : 2  x  1  1 y     z       : x  y  z      : y  z   Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d d’ có phương trình : d : y2 x2 z5 x  z d’ :  y 3 1 1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua d tạo với d’ góc 300 Lời giải  Đường thẳng d qua điểm M (0;2;0) có vectơ phương u  (1; 1;1)  Đường thẳng d’ qua điểm M ' (2;3;5) có vectơ phương u '(2;1; 1) Mặt phẳng ( ) phải qua điểm M có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u cos(n; u ' )  cos 600  Bởi đặt n  ( A; B; C ) ta phải có : A  B  C    2A  B  C   2 2  A  B C  B  A  C B  A  C     2 2 2 A  A  ( A  C )  C 2 A  AC  C  Ta có A2  AC  C   ( A  C )(2 A  C )  Vậy A  C A  C Nếu A  C ,ta chọn A=C=1, B  , tức n  (1;2;1) mp ( ) có phương trình x  2( y  2)  z  hay x  y  z   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Nếu A  C ta chọn A  1, C  2 , B  1 , tức n  (1;1;2) mp ( ) có phương trình x  ( y  2)  z  hay x – y - 2z + = LuyệnOxyz thi PEN-C: Môncầu Toán – Thầy Lê Bá Trần(P) Phương Hình học giải tích tr Bài Trong không gian cho mặt (S), mặt phẳng có phương trình (S): x  y  z  x  y  z  , (P): 2x +2y – z + = Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Lời giải Ta có: x2 + y2 + z2 - 2x + 4y +2z -3=  ( x  1)  ( y  2)  ( z  1)  32 => mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = ( D  )  D  10 Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d  I ;(Q)   R  D      D  8 Vậy (Q) có phương trình: Hoặc 2x + 2y - z + 10 = 2x + 2y - z - = Bài Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) Lời giải •Gọi n  (a; b; c)  O véctơ pháp tuyến (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0)  pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0  b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 • d(C;(P)) = 3 2a  c a  c   2a  16ac  14c     a  7c a  ( a  2c )  c •TH1: a  c ta chọn a  c   Phương trình (P): x-y+z+2=0  TH2: a  7c ta chọn a =7; c = Phương trình (P):7x+5y+z+2=0 x 1 y 1 z  điểm A(2;1;2)   1 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  cho khoảng cách từ A đến (P) Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Lời giải  Đường thẳng  qua điểm M(1 ; ; ) có vtcp u = (2 ; -1 ; 1)      Gọi n = (a ; b ; c ) vtpt (P) Vì   ( P)  n  u  n u    2a – b + c =  b = 2a + c  n =(a; 2a + c ; c ) từ ta có: (P) : a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – ) =  (P) : ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = d(A ; (P)) = a  a  (2a  c)  c   a  c   a  c  với a + c = , chọn a = , c = -1  phương trình (P) : x + y – z = Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz tạo với mặt z = góc 600 phẳng (Q): 2x + y Lời giải   Mặt phẳng (P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0,  n p  ( A ; B ; 0) nQ  (2 ; ; )  2A  B  Theo giả thiết: cos(n p , nQ )  cos 60  A  B 1 2   2 A  B  10 A  B 2  A  16 AB  B  Chọn B = ta có : 6A2 + 16A – = suy ra: A = -3 , A = 1/3 Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = -3x + y = Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | -