Nếu câu trả lời cho câu hỏi 1 là đã biết, thì ta chỉ việc áp dụng cách viết phương trình tổng quát của mặt phẳng để đưa ra đáp số.. Nếu DẠNG 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Phần 1 Các
Trang 1GV: Nguyễn Thanh Tùng
SƠ ĐỒ GIẢI
( Nghĩa là: Khi đứng trước một bài toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng ( ) ta sẽ đặt ra hai câu hỏi:
“ Bài toán đã cho điểm và véc tơ pháp tuyến chưa? Nếu chưa cho thì tìm bằng cách nào?” Nếu câu trả lời cho câu hỏi 1 là đã biết, thì ta chỉ việc áp dụng cách viết phương trình tổng quát của mặt phẳng để đưa ra đáp số Nếu
DẠNG 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Phần 1)
Cách ra đề 1: Cắt nghĩa được yếu tố điểm và véc tơ pháp tuyến
HOCMAI.VN
CHIA S TÀI LI U MI N PHÍ
Trang 2GV: Nguyễn Thanh Tùng
phải trả lời câu hỏi 2 thì ta sẽ đi theo sơ đồ trên như sau:
Nếu là tìm điểm ta sẽ chuyển về bài toán tìm điểm (các bạn xem lại ở bài học trước)
Nếu muốn khai thác được véc tơ pháp tuyến thì đề bài sẽ cho theo ba hướng gián tiếp:
Hướng 1 : Cho ( ) / /( ) ở đó ( ) đã biết phương trình khi đó n ( ) n( ) ( ; ; )a b c
Hướng 2 : Cho phương trình đường thẳng d và biết d ( ) , lúc này n ( ) u d ( ; ; )a b c
Hướng 3 : Đề bài cho 2 trong 3 yếu tố là “mặt vuông góc với mặt, đường song song với mặt,
đường nằm trên mặt” khi đó ta sẽ tìm được cặp véc tơ chỉ phương của ( ) là u u 1, 2
và suy ra được
( ) 1 , 2 ( ; ; )
n u u a b c
Sau khi đã trả lời được câu hỏi 2 thì việc viết phương trình mặt phẳng lúc này sẽ không có gì khó khăn nhờ công thức: a x( x0) b y( y0) c z( z0) ) 0
Ví dụ minh họa
Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(1; 2; 0) và
1) song song với mặt phẳng ( ) : x y 2z 7 0
2) vuông góc với đường thẳng AB với A(2; 3;1), (3; 0; 2) B
3) vuông góc với các mặt phẳng ( ) :P x 2y z 2 0 ; ( ) : 2Q xy z 0
4) song song đồng thời với trục Ox và đường thẳng : 1 1
5) và chứa đường thẳng ' : 1 1
x y z
6) đi qua điểm N(2; 3;1) , đồng thời : a) song song với trục Oy b) vuông góc với mặt phẳng xOy
7) đi qua các điểm A(2; 1; 2), ( 3;1; 1) B
8) vuông góc với mặt phẳng ( ) :R xy 3z 1 0 và song song với đường thẳng : 4 1 1
Giải
1) Do ( ) //( ) nên n ( ) n( ) (1; 1; 2)
là vectơ pháp tuyến của ( )
Mặt khác ( ) đi qua điểm M(1; 2; 0) nên suy ra phương trình ( ) :
x 1 (y 2) z 0 hay xy z 3 0 (thỏa mãn song song với ( ) )
2) Do AB ( ) n ( ) AB (1;3; 3)
là vectơ pháp tuyến của ( )
Mặt khác ( ) đi qua điểm M(1; 2; 0) nên suy ra phương trình ( ) : x 1 3(y 2) 3 z 0 hay x 3y 3z 5 0
3) Vectơ pháp tuyến của ( ), ( )P Q lần lượt là n( )P (1; 2;1), n( )Q (2;1; 1)
Do ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 2 1 ; 1 1 1; 2 (1;3;5)
P
là vec tơ pháp tuyến của ( )
Suy ra mặt phẳng ( ) có phương trình: x 1 3(y 2) 5 z 0 hay x 3y 5z 5 0
4) Ta có i (1; 0; 0),u (2; 1;1)
lần lượt là vectơ chỉ phương của trục Ox và đường thẳng
Do / /( ) ( ) , 0 0 0; 1 1; 0 (0; 1; 1)
Ox
n i u
là vec tơ pháp tuyến của ( )
Trang 3GV: Nguyễn Thanh Tùng
Suy ra mặt phẳng ( ) có phương trình:0(x 1) ( y 2) z 0 hay y z 2 0
Kiểm tra kết quả: Chọn M1(1;0; 0) Ox và M2(1; 1; 0) Ta có: M1 ( ); M2 ( ) / /( )
/ /( )
(thỏa mãn) Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là: y z 2 0
5) ' đi qua điểm N(0;1; 1) và có vectơ chỉ phương u' (2;1; 3)
Ta có MN ( 1;3; 1)
Do ( ) ( ) ', 1 3; 3 2 ; 2 1 (8;5; 7)
M
là vec tơ pháp tuyến của ( ) Suy ra mặt phẳng ( ) có phương trình:
8(x 1) 5( y 2) 7 z 0 hay 8x 5y 7z 2 0
6) a) Ta có MN (1; 1;1)
và j (0;1; 0)
là vectơ chỉ phương của trục Oy Khi đó ( ) có vectơ pháp tuyến : n( ) MN j , ( 1;0;1)
nên có phương trình : 1.(x 1) z 0 hay x z 1 0 (thỏa mãn song song với Oy)
b) Ta có MN (1; 1;1)
, k (0; 0;1)
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng xOy
( ) / /( )
MN
là vectơ pháp tuyến của ( )
Khi đó ( ) có phương trình: 1.(x 1) 1.( y 2) 0 z 0 hay xy 1 0
7) Ta có MA (1;1; 2)
và MB ( 4;3; 1)
Khi đó vectơ pháp tuyến của ( ) được xác định như sau: ( ) , 1 2; 2 1 ; 1 1 (5;9; 7)
n MA MB
Suy ra phương trình mặt phẳng ( ) :5(x 1) 9( y 2) 7 z 0 hay 5x 9y 7z 13 0
8) Mặt phẳng ( )R có vectơ pháp tuyến n( )R (1;1; 3)
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u d (2;1; 1)
Do ( ) ( ) ( ) ( ), 1 3; 3 1 1 1; (2; 5; 1)
R
Suy ra phương trình ( ) :2(x 1) 5( y 2) z 0 hay 2x 5y z 12 0
Kiểm tra kết quả: Chọn điểm M0(4; 1;1) d Nhận thấy M0(4; 1;1) ( ) (do 2.4 5.( 1) 1 12 0)
Suy ra d ( ) (không thỏa mãn vì theo đề bài d //( ) )
Vậy không tồn tại mặt phẳng ( ) thỏa mãn điều kiện bài toán
Chú ý quan trọng : Trong các bài toán có yếu tố song song (như đường thẳng song song với mặt phẳng
hoặc hai mặt phẳng song song với nhau), khi sử dụng tính chất song song để tìm ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần lập, ta mới sử dụng điều kiện cần nhưng chưa đủ Vì vậy trước khi kết luận phải có bước kiểm tra lại điều kiện đủ (điều kiện song song) để đưa ra đáp số chính xác cho bài toán
Trang 4GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN
SƠ ĐỒ GIẢI ( Nghĩa là: Khi bài toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng ( ) mà ta chỉ khai thác được yếu tố véctơ pháp tuyến (giống như Cách ra đề 1 ) mà không có được yếu tố điểm Thì sau khi tìm được n( ) ( ; ; )a b c ta sẽ gọi phương trình mặt phẳng ( ) có dạng: ax by czm 0 Tìm cách cắt nghĩa dữ kiện bài toán (thường là yếu tố định lượng) để thiết lập phương trình f m ( ) 0, tìm m và suy ra phương trình ( ) ) CHÚ Ý: Nếu biết cả yếu tố điểm M mà mặt phẳng 0 ( ) đi qua ( đây là Cách ra đề 1 ) ta vẫn có thể đi theo sơ đồ của Cách ra đề 2 này Bởi ở Bước 2 trong khâu cắt nghĩa ta sẽ thay tọa độ độ điểm M vào 0 phương trình ax by czm 0 và dễ dàng tìm được m để có được phương trình mặt phẳng ( )
Ví dụ minh họa Ví dụ 1 Cho hai mặt phẳng ( ) :P xy z 3 0 và ( ) :Q xy z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )R vuông góc với ( )P và ( )Q sao cho khoảng cách từ ( )O đến ( )R bằng 2 Giải ( )P (1;1;1) n và n(Q) (1; 1;1) lần lượt là vectơ pháp tuyến của ( )P và ( )Q Do ( )R vuông góc đồng thời với ( )P và ( )Q nên ( )R có vectơ pháp tuyến: n( )R n( )P ,n( )Q (2; 0; 2) 2.(1; 0; 1) Vậy phương trình ( )R có dạng: x z m 0
Ta có: d O R( ; ( )) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 m m m Vậy phương trình của ( )R : x z 2 2 0 hoặc x z 2 2 0
Ví dụ 2 Cho phương trình mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 10 0 , đường thẳng : 1 2
x y z
và mặt
( ) :S x y z 2x 2y 4z 3 0 Viết phương trình:
1) mặt phẳng ( ) vuông góc với ( )P , song song và cách một khoảng bằng 2
2) tiếp diện của ( )S và song song với ( )P
DẠNG 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Phần 2)
Cách ra đề 2: Khai thác được véctơ pháp tuyến nhưng không có được yếu tố điểm
Trang 5GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN
Giải
1) Ta có n( )P (2; 1; 2)
, u (1;1; 3)
lần lượt là các vectơ pháp tuyến, chỉ phương của ( )P và
Vì ( ) ( ) ( ) ( ), (5; 4;3)
P
là vectơ pháp tuyến của ( )
Khi đó mặt phẳng ( ) có dạng: 5x 4y 3zm 0
Chọn M(1;0; 2) d , ( ) d M , ( ) ( vì // ( ) )
11
5 6
9
m m
m
m
Vậy mặt phẳng ( ) có phương trình : 5x 4y 3z 11 0 hoặc 5x 4y 3z 9 0
2) Gọi ( ) là tiếp diện của ( )S Do ( ) / /( ) P n ( ) n( )P (2; 1; 2)
Khi đó mặt phẳng ( ) có dạng : 2 xy 2zm 0 với m 10
Với mặt cầu ( )S ta có tâm I(1; 1; 2) và bán kính R 3 ( ) là tiếp diện của ( )S
, ( )
2 1 4
m
m
8
m hoặc m 10 (loại) Vậy tiếp diện của ( )S là: 2xy 2z 8 0
Trang 6Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
Bài tập tự luyện :
qua 3 điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;;0;1)
( đề thi đại học- cao đẳng khối B năm 2008)
Bài 2: a/Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm M(3;4;1), N(2;3;4),
( đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007)
đ-ờng thẳng d:
t z
t y
t x
3 1
2 1
1
( đề thi tốt nghiệp THPT lần 2 năm 2007)
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(-1;-1;0) và mặt phẳng (P)
có ph-ơng trình: x + y - 2z - 4 = 0
Trang 7Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
( đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban năm 2007)
trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0
( Sách bài tập nâng cao hình học 12 )
hai mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 5 = 0 và (Q): 3x + 2y + z - 3 = 0
( Sách bài tập nâng cao hình học 12 )
của hai mặt phẳng: x - y + z - 4 = 0 và 3x - y + z - 1 = 0
( Sách bài tập nâng cao hình học 12 )
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đ-ờng
thẳng
d:
t z
t y
t x d z
y
x
2
2 1
1 : ' , 1
1 1
1
( đề thi đại học- cao đẳng khối B năm 2006)
song song với Oy
(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)
Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có ph-ơng trình
vuông góc với (P)
(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)
Bài 10 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đ-ờng thẳng
d:
0 4 2
2
0 4 2
z y
x
z
y
x
và d’:
t z
t y
t x
2 1 2
1
( đề thi đại học- cao đẳng năm 2002)
Trang 8Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đ-ờng thẳng d có ph-ơng trình
3
1 2
1
1
x
và mặt phẳng (P) : x - y + 3z +2 =0
( đề thi tốt nghiệp THPT năm 2007)
Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm E(1;-4;5), F(3;2;7)
( đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban lần 2 năm 2007)
t z
t y
t x
3 1
2 1
1
phẳng (P): x + y + z = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) :
(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)
Bài 16 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S)
0 1 -z
y -3x
0 4 -z
y
-x
và
d’ :
2 2
2 1
1
x
thời song song với d và d’
đáp án:
Bài 1: x + 2y - 4z + 6 = 0
Bài 3 : x + y - 2z + 2 = 0
Bài 4 : 3x - 2z - 2 = 0
Bài 5 : 3x - 4y - z + 19 = 0
Trang 9Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
Bài 6 : 15x - 7y + 7 z - 16 = 0
Bài 7: x + 3y + 5z - 13 = 0
Bài 8 : x - z + 2 = 0
Bài 9: 11x + 8y + 2z - 19 = 0
Bài 10 : 2x - z = 0
Bài 11 : 3x - z - 5 = 0
Bài 12: x + 3y + z - 5 = 0
Bài 13: 2x - 2y + z + 17 = 0 và 2x - 2y + z -1 = 0
e- kết quả thực hiện
Là dạng toán hay các em tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập đó có thể coi là một thành công của ng-ời giáo viên Kết thúc đề tài này tôi đã tổ chức cho các em học sinh lớp 12B1 làm một đề kiểm tra 45 phút với nội dung là các bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng thuộc dạng có trong đề tài Đồng thời lấy lớp 12A1 để làm lớp đối chứng cũng với đề kiểm tra đó Kết quả rất khả quan, cụ thể nh- sau:
Rõ ràng là đã có sự khác biệt giữa hai đối t-ợng học sinh Nh- vậy chắc chắn ph-ơng pháp mà tôi nêu ra trong đề tài đã giúp các em phận loại đ-ợc bài tập và nắm khá vững ph-ơng pháp làm và trình bầy bài giúp các em tự tin hơn trong học tập cũng nh- khi đi thi