CÔNG PHÁ TOÁN 3 FILE WORD PHẦN (13)

Với B: B sai do chưa chắc đáy của hình lăng trụ đã nội tiếp đường tròn, nên chưa chắc đã có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có đáy là tứ giác lồi Với C: Đúng, mặt cầu có tâm là tâm của

Câu 1: Tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối

cầu ngoại tiếp khối lập phương đó là:

A 3

2 3



B 2

3



C 3

2

Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có

AB a AD  a AA  a Tính bán kính R của

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’

4

a

R

C 3

2

a

Câu 3: Cho mặt cầu  S ngoại tiếp một khối lập

phương có thể tích bằng 1 Thể tích khối cầu  S

là:

A 6

6

3



C

6



D 3

2



Câu 4: Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác

vuông tại A, AB3, AC  , SA vuông góc với4

đáy, SA2 14 Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp

hình chóp S.ABC là

A 169

6

B 729

6

C 2197

8

D 13

8

V  

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác

ABC vuông tại B, AB a  , góc BAC bằng 60 ,

chiều cao SA a 2 Tính thể tích V của khối cầu

ngoại tiếp hình chóp

3

3

C V a3 6 D 4 6 3

3

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình

vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA a 2

Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A 32 3

3

3

V  a

C V 4a3 D 4 2 3

3

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác đều

cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng 60 Diện tích mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?

A

3

4 16

a

36

V  

C 43

4

V  

D 43

12

V  

Câu 8: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng

a, góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 60 Tính bán

kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

A

3

a

3

a

R

3

a

3

a

R

Câu 9: Cho hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh

cùng bằng 1 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là:

A 7 B 7

2



C 7

3



D 7

6



Câu 10: Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình

tứ diện bất kì

B Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình

lăng trụ có đáy là một tứ giác lồi

C Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình

hộp chữ nhật

D Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình

chóp đều

Câu 11: Cho hình lập phương có cạnh bằng 1 Diện

tích mặt cầu đi qua các đỉnh của hình lập phương là:

A 6 B 3 C  D 2

Bài tập rèn luyện kỹ năng

Câu 12: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a.

Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có

bán kính là:

A 6

12

6

a

C 6

3

8

a

Câu 13: Người ta bỏ vào một chiếc hộp hình trụ ba

quả bóng tennis hình cầu, biết rằng đáy hình trụ

bằng hình tròn lớn trên quả bóng và chiều cao của

hình trụ bằng ba lần đường kính quả bóng Gọi S1

là tổng diện tích của ba quả bóng, S là diện tích2

xung quanh của hình trụ Tỉ số diện tích 1

2

S

S là

Câu 14: Một hình trụ có chiều cao bằng 6 nội tiếp

trong hình cầu có bán kính bằng 5 Tính thể tích của

khối trụ

A 96 B 36 C 192 D 48

Câu 15: Cho hình chữ nhật ABCD và nửa đường

tròn đường kính AB như hình vẽ Gọi I, J lần lượt là

trung điểm của AB, CD Biết AB4;AD Thể6

tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên

quanh trục IJ là

A 56

3

3

C 40

3

3

Câu 16: Cho mặt cầu có diện tích là 72 cm2

Bán kính R của khối cầu là

A R3 cm B R3 2 cm

C R 6 cm D R6 cm

Câu 17: Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ

vào đó 2016 quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình trong lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng 2016 lần đường kính của quả banh Gọi V là tổng thể tích của 2016 quả banh và1 2

V là thể tích của khối trụ Tính tỉ số 1

2

V

V .

A Một kết quả khác B 1

2

1 2

V

V 

C 1

2

1 3

V

2

2 3

V

V 

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác

ABC vuông tại B, cạnh AB3,BC , cạnh bên4

SA vuông góc với đáy và SA12 Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là

A 169

6

B 2197

6

C 2197

8

D 13

8

V  

Câu 19: Một hình nón đỉnh O có diện tích xung

quanh bằng 60 cm2 , độ dài đường cao bằng

 

8 cm Khối cầu  S có tâm là đỉnh hình nón, bán

kính bằng độ dài đường sinh của hình nón Thể tích khối cầu  S bằng

4000cm

C 288 cm 2 D 4000 3

3 cm



Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam

giác đều cạnh 3a, cạnh bên SC 2a , và SC vuông góc với mặt phẳng đáy Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

A 2

3

a

2

a

Câu 21: Cho mặt cầu  S có bán kính bằng 4, hình

trụ  H có chiều cao bằng 4 và hai đường tròn đáy

nằm trên  S Gọi V là thể tích của khối trụ 1  H

và V là thể tích của mặt cầu 2  S Tính tỉ số 1

2

V

V .

A 1

2

9

16

V

2

1 3

V

V 

C 1

2

3

16

V

2

2 3

V

V 

Câu 22: Cho mặt cầu  S tâm O, bán kính R3

Mặt phẳng  P cách O một khoảng bằng 1 và cắt

 S theo giao tuyến là đường tròn  C có tâm H

Gọi T là giao điểm của tia HO với  S , tính thể tích

V của khối nón có đỉnh T và có đáy là hình tròn

 C

A 32

3

V  

B V 16

C 16

3

V  

D V 32

Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ

nhật với AB3 ,a BC4 ,a SA12a và SA vuông góc với đáy Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A 5

2

a

2

a

R

C 13

2

a

Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1: Đáp án D

Đặt cạnh của khối lập phương bằng 1

Thể tích khối lập phương là: V tp  1.

Bán kính khối cầu: 12 12 12 3

cÇu

Thể tích khối cầu:

3

cÇu

V     

2 3

3

cÇu

tp

V

Câu 2: Đáp án C

Cách 1: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’ là mặt

cầu ngoại tiếp ABCD.A’B’C’D’

Cách 2: Gọi O là trung điểm của BC’

 O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

' '

BB C

 Lấy N là trung điểm của AD’.

Ta có: NO // ABvà ABBC'B'

 ' '

Gọi I là trung điểm ON, dễ dàng chứng minh được

IA IB

Lại có: IB IC ' IB'

 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’.

Ta có:

2 2

        

3

2

a

IA

Câu 3: Đáp án D

Thể tích khối lập phương là: V tp 1

 Độ dài cạnh khối lập phương 1 (đơn vị độ dài)

 Bán kính khối cầu 12 12 12 3

cÇu

Thể tích khối cầu là:

3

cÇu

V     

Câu 4: Đáp án B

Gọi M là trung điểm của BC

 M là tâm đường trong ngoại tiếp ABC Trên nửa mặt phẳng chứa S, bờ là ABC , kẻ / /

MN SA sao cho MNSA

Gọi O là trung điểm MN

Vì SAABCMN ABC

OA OB OC

Ta có: MN/ /SA và SA MN ; ·SAM   90

 Tứ giác SNMA là hình chữ nhật

OS OA

Từ (1) và (2)  O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

Ta có:

OA OM AM    

      

2

OA

Vậy thể tích khối cầu là:

3

 

 

Câu 5: Đáp án C

Gọi M, O lần lượt là trung điểm của AC, SC

/ /

 MO là trục đường tròn ngoại tiếp của ABC

OA OB OC

2

OS OA  SC

 O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC Ta

cos 60



 2  2

a

Vậy thể tích khối cầu là:

3 3

4

6

3

AO

Câu 6: Đáp án B

Gọi N là tâm hình vuông ABCD.

Kẻ MN/ /SA trên cùng nửa mặt phẳng bờ

ABCD chứa S sao cho  SA MN

Gọi O là trung điểm của MN

OS OA OB OC

 O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có:

OA ON NA     

a

      

Thể tích khối cầu là: 4 3

3

V  a

Câu 7: Đáp án D

Gọi M là trung điểm BCAM BC

Lại có: SABCSAM BC hay

SAM  SBC

SMA

Ta có: tan 60 3 3 3

Gọi G là trọng tâm ABC Trên nửa mặt phẳng bờ là ABC chứa S, kẻ / /

NH SA sao cho NG SA Lấy O là trung điểm của NG.

Lại có OS OA (tứ giác SNGA là hình chữ nhật)

 O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC

Ta có:

SA

OA OG AG     AM

2 2

 

       =

129 12 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S.ABCD bằng: 4 2 43

12

S  OA  

Câu 8: Đáp án B

Gọi G là trọng tâm ABC

 SG là trục đường tròn ngoại tiếp của ABC

Lấy O nằm giữa S và G sao cho SO OA

Ta có: ·SAG  60 ·ASG  30 OAG·



Câu 9: Đáp án C

Ta có:

2 2

R          S 

Câu 10: Đáp án B

Với A: Đúng do hình tứ diện luôn có một mặt cầu

ngoại tiếp

Với B: B sai do chưa chắc đáy của hình lăng trụ đã

nội tiếp đường tròn, nên chưa chắc đã có mặt cầu

ngoại tiếp hình lăng trụ có đáy là tứ giác lồi

Với C: Đúng, mặt cầu có tâm là tâm của hình hộp

và đường kính là đường chéo của hình hộp

Với D: Đúng do hình chóp đều luôn có đáy nội tiếp

đường tròn

Câu 11: Đáp án B

Ta có: 12 12 12 3 3

Câu 12: Đáp án A

Từ công thức ở phần lý thuyết ta chọn đáp án A

Câu 13: Đáp án D

Đặt bán kính của quả bóng tennis bằng R.

2 3.2 2 12

Vậy 1

2

1

S

S 

Câu 14: Đáp án A

Bài toán tương tự như bài toán mà tôi đã giới thiệu

ở phần toán thực tế min max ứng dụng

Ở đây ta có

2

2

h

R   r

 

 

Câu 15: Đáp án D

Thể tích khối trụ là:

 2 2

6 .2 24

trô

V IJ  AI     Thể tích nửa mặt cầu là:

1 2

cÇu

Vậy 88

3

V  

Câu 16: Đáp án B

 

S R    R  R cm

Câu 17: Đáp án D

Đặt bán kính của quả bóng tennis bằng R.

1

4

2016 2688 3

2

2 3

V

V 

Gọi M là trung điểm AC và O là trung điểm SC.

Dễ dàng chứng minh được O là tâm mặt cầu ngoại

tiếp tứ diện SABC.

12 3 4

Vậy 2197

6

Câu 19: Đáp án D

.nãn 60

xq

S  r OM  IM OM

Vậy 4 3 4 3 4000  3

S

Câu 20: Đáp án D

Kẻ trục đường tròn của tam giác ABC, lấy giao

điểm I của đường trung trực cạnh SC và trục đường

tròn, khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối

chóp S.ABC Kí hiệu như hình vẽ:

Khi đó IC là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Ta có IDCG là hình chữ nhật, nên

 

2 2

3 3 4

2 2

2

a a

a

Câu 21: Đáp án A

Bán kính mặt cầu  S là R , chiều cao hình trụ4

 H là h , bán kính đáy của hình trụ là4

2

4 2 2 3

2

h

r R     

 

  Thể tích khối trụ:

 2

2

V  h   (đvtt)

Thể tích khối cầu:

2

4

(đvtt)

Vậy 1

2

V V





Câu 22: Đáp án A

Từ giả thiết, ta có OT  R 3,OH   bán kính1

của đường tròn  C là:

Chiều cao của hình nón là

3 1 4

h TH OT OH   

Vậy thể tích khối nón là:

 2 2

2 2 4

(đvtt)

Câu 23: Đáp án C

Ta có BC AB BC, SABC SAB

    vuông tại B.

Lại có CDAD CD, SACDSAD

    vuông tại D.

Mặt khác SAC vuông tại A do SAAC

Gọi I là trung điểm của SC, suy ra

2

SC

IA IB IC IS   

Như vậy I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABCD Bán kính mặt cầu là

2

SC

R

   2 2

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

II Mặt nún, hỡnh nún, khối nún

1 Khỏi niệm về mặt trũn xoay

Trong khụng gian, cho hỡnh H và đường thẳng d Hỡnh gồm tất cả cỏc đường

trũn  S M với M thuộc H được gọi là hỡnh trũn xoay sinh bởi H khi quay quanh d Đường thẳng d được gọi là trục của hỡnh trũn xoay đú Khi hỡnh H là

một đường thỡ hỡnh trũn xoay sinh bởi nú cũn gọi là mặt trũn xoay

2 Mặt nún trũn xoay

Trong mặt phẳng  P cho hai đường thẳng d và Δ cắt nhau tại điểm O và tạo thành

gúc , 0     90  Khi quay mặt phẳng  P xung quanh Δ thỡ đường thẳng d sinh ra một mặt trũn xoay được gọi là mặt nún trũn xoay đỉnh O Người ta thường gọi tắt mặt nún trũn xoay là mặt nún Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d gọi

là đường sinh và gúc 2 được gọi là gúc ở đỉnh của mặt nún đú

2.1 Hỡnh nún trũn xoay và khối nún trũn xoay

Cho tam giỏc OIM vuụng tại I Khi quay tam giỏc đú quanh cạnh gúc vuụng OI thỡ đường gấp khỳc OMI tạo thành một hỡnh được gọi là hỡnh nún trũn xoay,

gọi tắt là hỡnh nún

Hỡnh trũn tõm I sinh ra bởi cỏc điểm thuộc cạnh IM khi quay IM quanh trục OI

được gọi là mặt đỏy của hỡnh nún, điểm O gọi là đỉnh của hỡnh nún

 ; đáy

OI d I được gọi là chiều cao của hỡnh nún.

OM là đường sinh của hỡnh nún.

Phần mặt trũn xoay sinh ra bởi cỏc điểm trờn cạnh OM khi quay quanh trục

OI được gọi là mặt xung quanh của hỡnh nún đú

Hỡnh nún cựng với phần khụng gian giới hạn bởi hỡnh nún được gọi là khối

nún.

2.2 Diện tớch xung quanh của hỡnh nún trũn xoay và thể tớch khối nún trũn xoay

a Định nghĩa

Diện tớch xung quanh của hỡnh nún trũn xoay là giới hạn của diện tớch xung

quanh của hỡnh chúp đều nội tiếp hỡnh nún đú khi số cạnh tăng lờn vụ hạn

Thể tớch của khối nún là giới hạn của thể tớch hỡnh chúp đều nội tiếp hỡnh nún

đú khi số cạnh đỏy tăng lờn vụ hạn

b Cụng thức tớnh diện tớch xung quanh của hỡnh nún và thể tớch của khối nún

Diện tớch xung quanh của hỡnh nún trũn xoay bằng một nửa tớch độ dài của đường trũn đỏy và đường sinh

xq

S rl Thể tớch của khối nún trũn xoay bằng một phần ba tớch của diện tớch hỡnh trũn đỏy

và chiều cao hỡnh nún

STUDY TIP

Diện tớch xung quanh của

hỡnh nún:

Thể tớch của khối nún:

STUDY TIP

Diện tớch xung quanh của

hỡnh nún:

Thể tớch của khối nún:

3 3

Một số công thức liên quan đến hình nón

Cho hình nón có bán kính đáy là r, chiều cao là h, nội tiếp mặt cầu có bán kính R Khi đó

1 Mặt cầu ngoại tiếp của hình nón có bán kính 2 2

2

r h R

h



2 Mặt cầu nội tiếp hình nón có bán kính r' r h.2 2

r r h



3 Diện tích xung quanh của hình nón là S xq h 2R R h2  

2.3 Khối nón cụt

Định nghĩa

Nếu cắt một khối nón bằng một mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy thì khối

nón được chia làm hai phần: một phần chứa đỉnh S của khối nón, chính là khối nón

tròn xoay, phần còn lại được gọi là khối nón cụt

Thể tích khối nón cụt

Giả sử khối nón cụt có đường cao OO' h, đường sinh AB l , hai bán kính đáy

OB R và O A R'  ' Khi đó thể tích V của khối nón cụt được tính bằng công thức

3

h

V  R R R R (Chứng minh công thức trên bằng cách lấy hiệu của khối nón trừ đi phần khối nón

bỏ đi V V V  1 2).

Diện tích xung quanh của hình nón cụt được tính bằng công thứ:

xq

S  R r l

2.4 Một số bài toán liên quan đến hình nón, khối nón

Chú ý:

a Một hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu (cũng còn nói mặt cầu ngoại tiếp hình

nón) nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu

b Mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp.

c Hình chóp có các mặt bên tạo với mặt đáy các góc như nhau và chân đường

cao hình chóp nằm trong đáy luôn có mặt cầu nội tiếp

Bài toán 1: Trong các hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước, tìm hình

nón có thể tích lớn nhất

Lời giải

Kí hiệu bán kính đáy của hình nón là x, chiều cao của hình nón là y

0  x R,0  y 2R Gọi SS' là đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì ta có

2 2

x  y R y

Gọi V1 là thể tích của khối nón thì 2  

1

V  x y y y R y

4 2

R y y y

Vậy thể tích V1 đạt giá trị lớn nhất bằng 32 3

81

R

 khi và chỉ khi 4R2yy

4

3

R

y

  , từ đó

2

2

x   R 

2 2 3

R

x

Bài toán 2: Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho

trước

Lời giải

Xét mặt phẳng chứa trục của hình nón, mặt phẳng này cắt hình nón theo tam giác

cân SAB và cắt mặt cầu nội tiếp của hình nón theo đường tròn bán kính r và hình tròn này nội tiếp tam giác cân SAB.

Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x, chiều cao của hình nón là y x 0,y 2r thì

2

AH SA r  AB SH  x x y r

2 2

2

r y

xy x

y r

 .

Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính r là

2

2

y

y r



Ta có

2 2 4 2 4 2 4 2

2

y r

2

1

.8

3

V   r , tức là V2 đạt GTNN khi và chỉ khi

2

4

2

r

y r

đó x r 2

2.5 Một số bài toán ứng dụng thực tế của hình nón.

Lấy một miếng bìa, cắt thành hình quạt trong giới hạn bởi một cung tròn AB và hai bán kính OA, OB Ta uốn cong hình quạt tròn đó để có thể dán hai bán kính

OA, OB với nhau.

Sau khi dán, cung tròn AB trở thành một đường khép kín Nếu ta làm cho đường khép kín này trở thành một đường tròn thì ta được một phần của mặt nón tròn xoay.

trũn đú thành một hỡnh cỏi phễu hỡnh nún Khi đú Huyền phải cắt bỏ hỡnh quạt trũn

AOB rồi dỏn hai bỏn kớnh OA và OB lại với nhau Gọi x là gúc ở tõm hỡnh quạt trũn dựng làm phễu Tỡm x để thể tớch phễu lớn nhất?

A 2 6

3



C

2



D

4



Đỏp ỏn A.

Lời giải

Với bài này độc giả cần nhớ lại cụng thức tớnh độ dài cung trũn Độ dài cung trũn

AB dựng làm phễu là: 2

2

Rx

Rx r r



2 2

R x R

Thể tớch cỏi phễu là:   2 3 2 2 2

2

1

4

R

V f x r h x  x



    với x0;2 .

Ta cú   3  2 2

R

f x

x









3

f x     x   x  Vỡ đõy là BT trắc nghiệm nờn ta cú thể

kết luận luụn rằng, thể tớch của cỏi phễu lớn nhất khi 2 6

3

x  Vỡ ta đang xột trờn 0; mà  f x'   tại duy nhất một điểm thỡ ta cú thể làm nhanh mà khụng0

vẽ BBT nữa

Bài toỏn 4: Từ cựng một tấm kim loại dẻo hỡnh quạt như hỡnh vẽ cú kớch thước bỏn

kớnh R5 và chu vi của hỡnh quạt là P8 10, người ta gũ tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cỏch:

1 Gũ tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cỏi phễu

2 Chia đụi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gũ thành mặt xung quanh của hai cỏi phễu

Gọi V là thể tớch của cỏi phễu thứ nhất, 1 V là tổng thể tớch của hai cỏi phễu ở cỏch2

2 Tớnh 1

2

V

V ?

A 1

2

21

7

V

2

2 21 7

V

2

2 6

V

2

6 2

V

V 

Đỏp ỏn B.

Phõn tớch: Do chu vi của hỡnh quạt trũn là

2 độ dài cung

P  R Do đú độ dài cung trũn là l8