CÔNG PHÁ TOÁN 3 FILE WORD PHẦN (10)

Biểu diễn hình học của số phức Điểm M a b trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm ;biểu diễn số phức z a bi= + hình 4.1.. Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễ

Trang 1

LOVEBOOK.VN|1

Trang 2

LOVEBOOK.VN|2

Trang 3

Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB

Mỗi biểu thức dạng a bi+ , trong đó a b, ∈¡ ,i2 = −1 được gọi là một số phức.

Đối với số phức z a bi= + , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z.

Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K.

1 Từ sự bằng nhau của số phức, ta suy ra mỗi số phức hoàn toàn được xác định

bởi một cặp số thực Đây là cơ sở cho phần 3 Biểu diễn hình học của số phức.

2 Mỗi số thực a được đồng nhất với số phức a+0i, nên mỗi số thực cũng làmột số phức Do đó, tập số thực ¡ là tập con của tập số phức £

3 Số phức 0 bi+ được gọi là số thuần ảo và được viết đơn giản là bi.

4 Số i được gọi là đơn vị ảo.

3 Biểu diễn hình học của số phức

Điểm M a b trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm( );biểu diễn số phức z a bi= + (hình 4.1)

Từ định nghĩa ta có thể suy ra:

Các điểm biểu diễn số thực đều có tung độ bằng 0, do đó đều nằm trên trục Ox.

Các điểm biểu diễn số thuần ảo đều có hoành độ bằng 0, do đó nằm trên trục

mô-đun min, max

IV Biểu diễn hình

Trang 4

z z z z z z z z z z z z

z z

“Thực hiện phép chia c di

a bi

++ là nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a bi+

3 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Các căn bậc hai của số thực a<0 là i a±

LOVEBOOK.VN|161

STUDY TIP

Trang 5

Xét phương trình bậc hai ax2+ + =bx c 0 với , ,a b c∈¡ ,a≠0.Xét biệt số ∆ = −b2 4ac, ta có:

a

= −

Phương trình có hainghiệm thực phân biệtđược xác định bởi côngthức

1,2

2

b x

a

− ± ∆

=

1 Nếu xét trên tập số thực thì phương trình vô nghiệm

2 Nếu xét trên tập hợp số phức, phương trình có hainghiệm phức được xác định bởi công thức

1,2

2

b i x

Trong đó a a0; ; ;1 a n∈£,a0 ≠0 đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất

thiết phân biệt)

LOVEBOOK.VN|162

Trang 6

Trong máy tính Casio có chế độ tính toán với số phức như sau:

Khi đó các nút quan trọng sau:

2 Nút ENG phía trên có chữ i nhỏ, khi chuyển sang chế độ tính toán phức thì sẽ

là i

3 Đặc biệt, khi ấn SHIFT 2 máy hiện như hình bên.

Ở đây:

1: arg là argument của số phức.

2: Conjp là hiển thị số phức liên hợp của số phức (Ở đây Conjp là viết tắt của

conjugate)

3: Dạng lượng giác của số phức 4: Từ dạng lượng giác của số phức chuyển thành dạng chính tắc

Trên đây là một số lưu ý về tính toán với số phức trên máy tính cầm tay Đặc biệt,

chính là nút giá trị tuyệt đối

2 Tính năng tính căn bậc hai của số phức

Để tính căn bậc hai của số phức ta thực hiện nhập

1 Chuyển máy tính về chế độ MODE 2:CMPLX

Trang 7

Trong bài toán ở ví dụ 2, rất

nhiều độc giả sẽ chọn A, tuy

nhiên đây là sai lầm thường

gặp Phần ảo của số phức là

b (không phải bi).

Phân tích: Bài toán cho ta

Trang 8

Trong bài toán này, nhiều

độc giả không chú ý loại

trường hợp vì không để ý

điều kiện Cho nên, với

các bài toán dạng này cần

kiểm tra điều kiện kĩ trước

khi kết luận.

STUDY TIP

Trong bài toán này, nhiều

độc giả không chú ý loại

trường hợp vì không để ý

điều kiện Cho nên, với

các bài toán dạng này cần

kiểm tra điều kiện kĩ trước

khi kết luận.

Trang 9

Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đáp án C.

Vậy hai số phức z z là nghiệm của phương trình 1, 2 z2−2z+ =3 0

Ví dụ 9: Gọi z z là hai nghiệm của phương trình 1, 2 2

P z

 =

 ÷

10

P z

Ta có w iz i= = (1 2− i) = −i 2i2 = +2 i , số phức w có điểm biểu diễn là N( )2;1 .

Ví dụ 12: Số phức có điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong

Từ bài toán ta có ghi nhớ

Cho là một đa thức với hệ

số thực thỏa mãn thì suy

ra

STUDY TIP

Từ bài toán ta có ghi nhớ

Cho là một đa thức với hệ

số thực thỏa mãn thì suy

ra

Trang 10

Chủ đề 4: Số phức The best or

nothing

hình bên (tính cả biên)

A. Số phức có phần ảo nằm trong khoảng (−1;1) và mô đun không vượt quá 2

B. Số phức có phần thực nằm trong khoảng (−1;1) và mô đun nhỏ hơn 2.

C. Số phức có phần ảo nằm trong đoạn [−1;1] và mô đun không vượt quá 2

D. Số phức có phần thực nằm trong đoạn [−1;1] và mô đun không vượt quá 2

Đáp án D.

Lời giải

Nếu gọi số phức thỏa mãn điều kiện đề bài là z x yi x y= + , ;( ∈¡ thì ta thấy, trên)

trục Ox, giá trị của x nằm trong đoạn [−1;1]⇒ số phức z thỏa mãn yêu cầu đề bài

Trang 11

LOVEBOOK.VN|168

Trang 12

Chủ đề 4: Số phức The best or nothing

Câu 4: Cho hai số phức z1 = −1 ;i z2 = +3 2i Phần

thực và phần ảo của số phức z z tương ứng bằng:1, 2

−

2 Biểu diễn hình học của số phức

Câu 9: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z

A. − +x 7y+ =9 0 B. x+7y− =9 0

C. x+7y+ =9 0 D. x−7y+ =9 0

Câu 12: Điểm M trong hình vẽ

bên là điểm biểu diễn của số

Trang 13

A. x y− =0 B. x y+ =0

C. 2x y+ − =1 0 D. x−2y=0

Câu 14: Cho số phức z= −5 4i Số phức đối của z

có điểm biểu diễn là:

Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm

biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn (1 3+ i z) + = −2i 4

Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của z trong các

điểm M, N, P, Q ở hình bên?

Câu 17: Cho hai số phức z1 = −1 ,i z2 = +3 2i Trong

mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm

biểu diễn số phức z z , gọi G là trọng tâm của tam1, 2

giác OMN, với O là gốc tọa độ Hỏi G là điểm biểu

diễn của số phức nào sau đây?

Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z+ = − +1 z 2i 3

Biết tập các điểm biểu thị cho z là một đường thẳng.

Phương trình đường thẳng đó là:

A. x y− − =3 0 B. x y− + =3 0

C. x y+ + =3 0 D. x y− =0

Câu 20: Giả sử M z là điểm trên mặt phẳng phức( )

biểu diễn số phức z Tập hợp các điểm M z thỏa( )

mãn điều kiện z− + =1 i 2 là một đường tròn

Trang 14

3 Các phép toán với số phức, mô đun số phức, số phức liên hợp

Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn z− + + =4 z 4 10

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt

Trang 15

Câu 37. Cho hai số phức z1 = +1 3i ; z2 = −2 i Tìm

số phức w=2z1−3z2

A. w= − −4 9i B. w= − +3 2i

C. w= − −3 2i D. w= − +4 9i

Câu 38. Cho số phức z a bi= + thỏa mãn

2z z+ = +3 i Giá trị của biểu thức 3a b+ là:

Câu 46. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức

biểu diễn các số phức z thỏa mãn z− +3 5i =4 là

một đường tròn Tính chu vi C của đường tròn đó.

A. C=4π B. C =2π

C. C=8π D. C=16π

Trang 16

Câu 48. Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo0

dương của phương trình 2

4z −16z+17 0= Trênmặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu

M  

Câu 49. Cho phương trình z2 −2z+ =3 0 có hai

nghiệm là z z Giá trị của 1, 2 2 2

Câu 51. Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của2

phương trình z2+2z+ =10 0 Giá trị của biểu thức

Câu 55. Cho a, b, c là các số thực và 1 3

z= − +i Giá trị của (a bz cz+ + 2) (a bz+ 2+cz) bằng:

Câu 56. Cho hai số thực b và c (c>0) Kí hiệu A,

B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai

nghiệm phức của phương trình z2+2bz c+ =0 Tìm

điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).

Trang 17

Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1. Đáp án C.

2

2 2

101

Trang 18

z z nên M(1; 1 ,− ) ( )N 3; 2 Khi đó tọa độ điểm G

là trọng tâm của tam giác OMN có tọa độ 4 1;

Trang 19

Đến đây, ta nhớ đến các bất đẳng thức vectơVậy đặt ur= −(x 4;y v),r= +(x 4,y) Khi đó áp dụng

x

z y

Trang 21

122

222222

z z

1 0

z z

Trang 22

z z

+ = −

Hai nghiệm của phương trình z2+2bz c+ =0 là hai

số phức liên hợp với nhau nên hai điểm A, B sẽ đối

xứng nhau qua trục Ox.

Do đó, tam giác OAB cân tại O.

Vậy tam giác OAB vuông tại O.

Để ba điểm O, A, B tạo thành tam giác thì hai điểm

A, B không nằm trên trục tung, trục hoành Tức là

nếu đặt z x yi x y= + , ,( ∈¡ thì ) 0( )*

0

x y

OA OBuuuruuur= ⇔b − +c b = ⇔ b =c

Trang 23

Đọc thêm: Các bài toán số phức vận dụng cao

1 Bài toán tìm số phức liên quan đến môđun

Tìm số phức z có môđun lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) thỏa mãn một điều kiện cho

trước

A MỘT SỐ KIẾN THỨC ÁP DỤNG

1 Bất đẳng thức: Bunyakovsky

2 Định lý về dấu của tam thức bậc hai

3 Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, bảng biến thiên

4 Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và đường tròn

5 Tính chất của hàm số lượng giác

* Một số công thức tính nhanh số phức vận dụng vào bài toán tìm min max số phức.

z z z z z z z z z z z z

z z

24min

10. Cho số phức z thỏa mãn z z− 0 =R Lúc này tập hợp các điểm biểu diễn số

phức z là đường tròn có tâm là điểm I là điểm biểu diễn số phức z Lúc này0

0 0

Trang 24

nothing

nhất của biểu thức P= −z z3 là

2 3

maxmin

z r

Bước 1: Tìm tập hợp ( )G các điểm biểu diễn của z thỏa mãn điều kiện.

Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M∈( )G sao cho khoảng

Đáp án A.

Lời giải Cách 1: Ta có

z lần lượt là hai nghiệm của phương trình đã cho Tính giá trị của biểu thức

P= +z z + −z z − z − z

Trang 25

Trang 26

nothing

C HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH

Ví dụ 1. Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu

diễn trên mặt phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm

như hình vẽ bên Môđun lớn nhất của số phức z là

Ví dụ 2. Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu

diễn trên mặt phẳng tọa độ là phần tô đậm Môđun

Ví dụ 3: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu

diễn trên mặt phẳng tọa độ là hình tròn tô đậm như

hình vẽ bên Môđun lớn nhất của số phức z là

diễn trên mặt phẳng tọa độ là hình tròn tô đậm như

hình vẽ bên Môđun lớn nhất của số phức z là

Trang 27

Elip có độ dài trục nhỏ bằng 2b= ⇒2 zmin =1

Ví dụ 5: Biết số phức z có tập ohwpj điểm biểu diễn

trên mặt phẳng tọa độ là ihnfh elip tô đậm như hình

vẽ bên Môđun lớn nhất của số phức z là

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng

( )d :x y− + =4 0 Giả sử M x y là điểm biểu( ; )

diễn của z thì

( )

min min

diễn của z thì zmin ⇔OMmin; zmax ⇔OMmax Tìmđược:

Trang 28

1 Chuyển máy tính sang chế độ MODE 2:CMPLX

2 Nhập phương trình (*) (chuyển vế đổi dấu) vàomáy tính sau đó sử dụng lệnh CALC để gán giá trị

của z tương ứng với từng phương án A; B; C; D.

Nếu như có nhiều đáp án bằng 0 thì tính môđun cácđáp án đó và chọn đáp án có môđun nhỏ nhất

Trang 29

Khẳng định nào sau đây là sai:

A max z =2 B. z− ≤1 1

Đáp án D.

Lời giải

A đúng z đạt giá trị lớn nhất là 2, khi điểm biểu

diễn của z cùng với O là hai đầu mút đường kính

Ví dụ 12: Trong mặt phẳng tọa độ, miền trong hình

chữ nhật ABCD (kể cả các cạnh AB, BC, CD, DA)

trong hình vẽ bên biểu diễn cho các số phức z Chọn

C C sai, do tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là

miền trong của hình chữ nhật, nên zmin =0

D Đúng

Ví dụ 13: Cho số phức z thỏa mãn z− +1 2i =3.Tìm môđun lớn nhất của số phức z−2i

x− + +y i =( ) (2 )2

Trang 31

2 Biểu diễn hình học của số phức, quỹ tích phức

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ, hình tròn tô đậm

như hình vẽ bên là tập hợp điểm biểu diễn số phức

z Hỏi số phức z thỏa mãn bất đẳng thức nào sau

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ, hình tròn tô đậm

như hình vẽ bên là tập hợp điểm biểu diễn số phức

z Hỏi số phức z thỏa mãn bất đẳng thức nào sau

diễn trên mặt phẳng tọa độ là hình vuông tô đậmnhư hình vẽ bên Tập hợp các điểm biểu diễn sốphức z+2 là

Gọi z x yi= + , (x∈¡ ,y∈¡ Điểm ) M x y biểu( ; )

diễn z trên mặt phẳng tọa độ.

Tập hợp điểm biểu diễn z như hình vẽ là hình

x y

− ≤ ≤



− ≤ ≤



Trang 32

Tổng quát: Nếu số phức z có hình ( )H biểu

diễn trên mặt phẳng tọa độ thì tập hợp các điểm

biểu diễn số phức z a+ ; (a∈¡ là hình ) ( )H'

có được bằng cách tịnh tiến hình ( )H sang phải

a đơn vị (nếu a>0) và sang trái a đơn vị

(nếu a<0)

diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn tô đậm

như hình vẽ bên Tập hợp các điểm biểu diễn số

Gọi z x yi x= + ,( ∈¡ ,y∈¡ Điểm ) M x y biểu( ; )

Tập hợp điểm biểu diễn z như hình vẽ là đường tròn

Tổng quát: Nếu số phức z có hình ( )H biểu

diễn trên mặt phẳng tọa độ thì tập hợp các điểmbiểu diễn số phức z bi+ ; (b∈¡ là hình ) ( )H'

có được bằng cách tịnh tiến hình ( )H lên trên

b đơn vị (nếu b>0) và xuống dưới b đơn vị

(nếu b<0)

Ví dụ 5: Điều kiện để số phức z có điểm biểu diễn

thuộc phần tô đậm (kể cả bờ) trong hình vẽ bên là

A z có phần thực không lớn hơn 2

B. z có môđun thuộc đoạn [−1; 2]

C z có phần ảo thuộc đoạn [−1; 2]

D. z có phần thực thuộc đoạn [−1; 2]

Đáp án D.

Lời giải

Trang 33

Gọi z x yi x= + ,( ∈¡ ;y∈¡ Điểm ) M x y biểu( ; )

Từ hình vẽ ta có: − ≤ ≤1 x 2

A z có phần ảo không lớn hơn 3

B. z có môđun thuộc đoạn [−2;3]

C z có phần ảo thuộc đoạn [−2;3]

D. z có phần thực thuộc đoạn [−2;3]

Đáp án C.

Lời giải

Gọi z x yi x= + ,( ∈¡ ;y∈¡ Điểm ) M x y biểu( ; )

Từ hình vẽ ta có: 2− ≤ ≤y 3

A z có phần thực thuộc đoạn [− −3; 1]

B. z có môđun không lớn hơn 3

C z có phần thực thuộc đoạn [− −3; 1] và có

môđun không lớn hơn 3

D. z có phần ảo thuộc đoạn [− −3; 1]

Đáp án C.

Lời giải

Gọi z x yi x= + ,( ∈¡ ,y∈¡ Điểm ) M x y biểu( ; )

Từ hình vẽ ta có:

x y x

Trang 34

y x

Trang 35

3 Một số dạng toán nâng cao về số phức

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z =1 Tìm giá trị

Trang 36

Suy ra: f z( ) =15(z z− 1) (z z− 2) (z z− 3) (z z− 4)

.1

Trang 37

x y M

A Hai tam giác ABC và A B C' ' ' bằng

B. Hai tam giác ABC và A B C' ' ' có cùng trực

tâm

C Hai tam giác ABC và ' ' ' A B C có cùng trọng

tâm

D. Hai tam giác ABC và A B C' ' ' có cùng tâm

đường tròn ngoại tiếp

Ví dụ 9: Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn các số

phức z z z z1, 2( 1 2 ≠0) trên mặt phẳng tọa độ (A, B,

B. Tam giác OAB vuông cân tại O

C Tam giác OAB vuông cân tại B

D. Diện tích tam giác OAB không đổi

Ví dụ 10: Cho số phức 1 ( 2 )

m i z

Trang 39

III Tổng ôn tập chủ đề 4

Quý độc giả vui lòng khai báo sách chính hãng tại web: congphatoan.com để nhận được đáp án chi tiết

BÀI KIỂM TRA

Câu 1: Phần ảo của số phức z= −3 3i bằng

Câu 4: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời

các điều kiện z− =2 2 và (2+i z) ( )−2 có phần ảo

Câu 7: Cho số phức z a bi a b= + ,( ∈¡ tùy ý.)

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Môđun của z là một số thực dương

B. 2 2

z = z

C. Số phức liên hợp của z có môđun bằng môđun của iz.

D. Điểm M(−a b; ) là điểm biểu diễn của z

Câu 8: Cho số phức z có điểm biểu diễn là M Biết

z

bốn điểm P, Q, R, S như hình vẽ bên Hỏi điểm biểu diễn của w là điểm nào?

z

=+ là số thực Giá trị lớn nhất của

a b

< <

Trang 40

Câu 14: Cho hai điểm M, N trong mặt phẳng phức

như hình vẽ, gọi P là điểm sao cho OMNP là hình

bình hành Điểm P biểu thị cho số phức nào trong

Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn 5 z i+ = −5 iz .

Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w

ba điểm biểu diễn lần lượt cho ba số phức z z z 1, ,2 3

Tính diện tích S của tam giác ABC.

Trang 41

Câu 33: Số phức z thỏa mãn ( )2

1 2+ i z z+ = −4i 20thì

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	4,54 MB