CÔNG PHÁ TOÁN 3 FILE WORD PHẦN (12)

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó là đa giác nội tiếp một đường tròn.. Một số bài toán nổi bật Bài toán 1: Xác định tâ

Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

I Mặt cầu, khối cầu

1 Định nghĩa

Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r r 0 được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r.

Người ta thường kí hiệu mặt cầu tâm O bán kính r là S O r  ; 

- Nếu hai điểm C; D nằm trên mặt cầu S O r thì đoạn thẳng CD được gọi là dây ;  cung của mặt cầu đó

- Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu Khi đó độ dài đường kính bằng 2r.

Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó

2 Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu Khối cầu

Cho mặt cầu S O R và một điểm A bất kì trong không gian (hình 6.1). ; 

a Nếu OA R thì điểm A nằm trên mặt cầu Khi đó đoạn thẳng OA là bán

kính của mặt cầu.

b Nếu OA R thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu.

c Nếu OA R thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu.

Nếu OA OB là hai bán kính của mặt cầu thỏa mãn O, A, B thẳng hàng thì;

AB là đường kính của mặt cầu.

d Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu  S cùng với các điểm nằm trong mặt

cầu đó được gọi là khối cầu  S hoặc hình cầu  S Vậy khối cầu  S là tập hợp các điểm A thỏa mãn OA R

3 Biểu diễn mặt cầu

Người ta thường dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu Khi đó hình biểu diễn của mặt cầu là một hình tròn

4 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Vấn đề cần nắm:

I Mặt cầu, khối

cầu

II Mặt nón, khối

nón, hình nón

III Mặt trụ, khối

trụ, hình trụ

IV Các ứng dụng

thực tế

Chủ đề VI

Cho mặt phẳng  P và mặt cầu S O R Gọi H là hình chiếu của O lên mặt ;  phẳng  P thì d OH

a Trường hợp d = R

- Với mọi điểm M khác H thuộc mặt phẳng  P ta luôn có OM OH R nên

OM R

- Khi đó mặt phẳng  P và mặt cầu có một điểm chung duy nhất là H và ta nói mặt

phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu S O R (hình 6.2) ; 

- Điểm H là tiếp điểm của mặt cầu S O R và mặt phẳng  ;   P , mặt phẳng  P

được gọi là tiếp diện của mặt cầu Lúc này ta có

Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu S O R tại ; 

điểm H là  p vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.

b Trường hợp d > R

Nếu M là một điểm bất kì trên mặt phẳng  P thì OM OH Từ đó suy ra

OM R

Vậy với mọi điểm M thuộc mặt phẳng  P đều nằm ngoài mặt cầu Do đó mặt

phẳng  P không cắt mặt cầu (hình 6.3)

c Trường hợp d < R

Trường hợp này mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn tâm H, bán kính

2 2

r R  d

Thật vậy, gọi M là một điểm thuộc giao tuyến của mặt phẳng  P với mặt

cầu S O R Xét tam giác OMH ta có  ;  MH  R2 d2 , do đó M thuộc đường tròn tâm H nằm trong mặt phẳng  P và có bán kính 2 2

r R  d Đặc biệt khi h 0 thì tâm O của mặt cầu thuộc mặt phẳng  P ta có giao

tuyến của mặt phẳng  P và mặt cầu S O R là đường tròn tâm O bán kính ; 

R Đường tròn này được gọi là đường tròn lớn.

Mặt phẳng đi qua tâm O của mặt cầu gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó.

5 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Tiếp tuyến của mặt cầu

Cho mặt cầu S O R và đường thẳng Δ. ; 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O lên  và d OH là khoảng cách từ O

tới Δ

Tương tự như trong trường hợp mặt cầu và mặt phẳng, ta có ba trường hợp sau đây:

Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing

a Nếu d > R thì Δ không cắt mặt cầu S O R , vì với mọi điểm M thuộc Δ ta đều ; 

có OM R như vậy thì mọi điểm M thuộc đường thẳng Δ đều nằm ngoài mặt cầu

(hình 6.5)

b Nếu d = R thì điểm H thuộc mặt cầu S O R Khi đó với mọi điểm M thuộc Δ ; 

nhưng khác H ta luôn có OM OH  R OM r

Vậy H là điểm chung duy nhất của mặt cầu S O R và đường thẳng Δ. ;  Khi đó ta nói đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu S O R tại H Điểm H được gọi ; 

là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm) của Δ và mặt cầu Đường thẳng Δ gọi là tiếp tuyến của mặt cầu

Vậy ta có Điều kiện cần và đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu S O R tại điểm ; 

H là Δ vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó (hình 6.6)

c Nếu d < R đường thẳng Δ cắt mặt cầu S O R tại hai điểm A, B phân biệt Hai ;  điểm đó chính là giao điểm của đường thẳng Δ với đường tròn giao tuyến của mặt cầu S O R và mặt phẳng  ;  O  (hình 6.7); 

Đặc biệt, khi d 0 thì đường thẳng Δ đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm M,

N Khi đó MN là đường kính của mặt cầu.

Nhận xét:

Người ta chứng minh được rằng:

* Qua một điểm A nằm trên mặt cầu S O R có vô số tiếp tuyến của mặt cầu ; 

đó Tất cả các tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính OA của mặt cầu tại

A và đều nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A.

* Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S O R có vô số tiếp tuyến với mặt ; 

cầu đã cho Các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau.

Chú ý:

Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, còn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu

6 Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Mặt cầu có bán kính r có diện tích là: 2

4

S  r Khối cầu có bán kính r có thể tích là: 4 3

3

V  r

Chú ý

a Diện tích S của

mặt cầu bán kính r

bằng bốn lần diện

tích hình tròn lớn của

mặt cầu đó

b Thể tích V của

khối cầu bán kính r

bằng thể tích khối

chóp có diện tích đáy

bằng diện tích mặt

cầu và có chiều cao

bằng bán kính mặt

cầu đó

Bổ sung một số vấn đề mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp

hình đa diện

1 Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện

Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện H gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện H và hình đa diện H được gọi là hình đa diện nội tiếp mặt cầu đó.

a Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó là đa giác nội tiếp một đường tròn

Từ đây ta có

Hệ quả

Mọi hình tứ diện có mặt cầu ngoại tiếp

Mọi hình chóp đều nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp

Các phương pháp cơ bản xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài toán: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

1 2 n

S A A A

Lời giải Phương pháp 1

1 Xác định tâm O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A A A 1 2 n

2 Dựng trục Δ là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A A A (Δ là1 2 n

đường thẳng đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông

góc với mặt phẳng đáy)

3 Vẽ mặt phẳng trung trực  P của một cạnh bên bất kì của hình chóp.

4 Giao của mặt phẳng trung trực  P và đường thẳng Δ là tâm I của mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S A A A 1 2 n

Phương pháp 2

1 Xác định tâm O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A A A 1 2 n

2 Dựng trục Δ là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A A A1 2 n

3 Vẽ trục đường tròn ngoại tiếp của tam giác mặt bên 2 sao cho Δ và 2 đồng phẳng

4 Lấy giao hai đường thẳng ta được tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chóp.

Phương pháp 3

Chứng minh các đỉnh của hình chóp nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông Khi đó trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, và đoạn thẳng nối hai đỉnh là đường

STUDY TIP

1 Khi hình chóp là hình

chóp đều, hình chóp có

một cạnh bên vuông góc

với đáy thì có thể thay

mặt phẳng trung trực

bằng đường trung trực

2 Khi dựng mặt phẳng

trung trực của cạnh bên,

nên chọn cạnh bên của

hình chóp đồng phẳng

với Δ

STUDY TIP

1 Khi hình chóp là hình

chóp đều, hình chóp có

một cạnh bên vuông góc

với đáy thì có thể thay

mặt phẳng trung trực

bằng đường trung trực

2 Khi dựng mặt phẳng

trung trực của cạnh bên,

nên chọn cạnh bên của

hình chóp đồng phẳng

với Δ

Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing

kính của mặt cầu đó

Phương pháp 4

Tìm một điểm đặc biệt cách đều các đỉnh của hình chóp

Phương pháp 5

Ta tạo các lăng trụ quen thuộc để dễ dàng hơn trong việc xác định tâm hay tính toán các yếu tố của mặt cầu ngoại tiếp đa diện Bằng việc mở rộng khối

đa diện đã cho, thay vì xác định tâm và bán kính của khối đa diện một cách trực tiếp, ta xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện quen thuộc

b Một số bài toán nổi bật

Bài toán 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác

đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.

Lời giải tổng quát

Gọi S.ABC là hình chóp tam giác đều, có chiều cao SH h ; cạnh đáy bằng a.

Trong mặt phẳng SAH kẻ đường trung trực của cạnh SA, khi đó gọi I là giao

điểm của đường trung trực cạnh SA và SH Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Ta có cảm giác ABC là tam giác đều nên H là trọng tâm của tam giác ABC

AH

3

a

H  SA SH AH  h 

Tam giác SDI và tam giác SHA là hai tam giác đồng dạng nên

2 2

3 2

a SA

h SA

SI





Đến đây ta có kết luận: bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có

cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h là

2 2 3 6

h a R

h





Bài toán 2: Tính bán kính của hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy là a và chiều cao là h.

Lời giải tổng quát

Tương tự bài toán trên ta có bán kính của hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy

là a và chiều cao h là

2 2 2 4

h a R

h



Tổng quát: Công thức đọc thêm: Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều

n giác có cạnh đáy bằng a và chiều cao h là

2

180

4 sin

180

8 sin

n R

h

n









Bài toán 3: Xác định tâm và bán kính của tứ diện SABC có SA a SB b ,  ,

SC c và ba cạnh SA SB SC đôi một vuông góc., ,

Lời giải tổng quát

Cách 1: Gọi H là trung điểm của AB Dễ thấy H là tâm đường tròn ngoại tiếp

SAB

 Mặt phẳng trung trực của SC cắt trục đường tròn SAB tại O.

Ta có O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Dễ thấy

2

c

OH 

R SO  SH HO  HO   HO

2 2 2

2

Cách 2: Sử dụng phương pháp 5: Phương pháp tạo lăng trụ bao

Mở rộng tứ diện SABC thành hình hộp chữ nhật SADB CMPQ Khi đó tâm của

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC chính là tâm của hình hộp chữ nhật

SADB CMPQ Khi đó 1 2 2 2

2

OS  R a b c (Công thức độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật tôi đã giới thiệu)

Bài toán 4: Cho tứ diện ABCD có AB CD c  , AC BD b  , AD BC a 

Tìm bán kính R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCD.

Lời giải tổng quát

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì dễ thấy IJ AB IJ, CD, hay

nói cách khác IJ là cạnh vuông góc chung của hai cạnh AB, CD.

Gọi O là trung điểm của IJ thì OA OB và OC OD (Do IJ là đường trung trực của AB, CD).

Do AB CD nên IB JC , khi đó hai tam giác OIB và OJC bằng nhau Suy ra

OB OC

Từ đây suy ra O cách đều bốn đỉnh của tứ diện ABCD Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là mặt cầu có tâm O, bán kính R OA

Ta có

IJ AB IJ c

OA OI IA    

Vì CI là trung tuyến của tam giác ABC nên

2 2 2

2 2 2

4

IC    , suy ra

IJ CI  CJ

2 2 2 2 2 2 2

a  b  c c a b  c

STUDY TIP

Bán kính của mặt cầu

ngoại tiếp khối tứ diện

gần đều là

STUDY TIP

Bán kính của mặt cầu

ngoại tiếp khối tứ diện

gần đều là

Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing

R OA  a b c  R a b c

Bài toán 5*: Cho một mặt cầu bán kính R cố định Tìm hình chóp tứ giác đều có

thể tích lớn nhất nội tiếp trong mặt cầu

Đây là một bài toán mà kết hợp cả yếu tố hình không gian và giải tích (tìm max của một hàm số trên một khoảng (đoạn))

Lời giải tổng quát

Giả sử S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu bán kính R thì đường cao

SH đi qua tâm mặt cầu.

Gọi a, h lần lượt là cạnh đáy, chiều cao hình chóp thì áp dụng bài toán 2 ta có

2 2 2 4

h a R

h



 với 0h2R

2 2 2

Thể tích khối chóp là 1 2 1 2  

V  a h h R h Đến đây ta có hai cách

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức

3

3 2

h h

R h

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 4

R h h

Khi đó 4

3

R

a 

Cách 2: Xét hàm

Xét hàm số   2 2 

3

f h  h R h trên 0; 2R 

R

f h  R h h  Rh h   h Kết quả tương tự trên

Đến đây ta rút ra được Study Tip để ghi nhớ.

c Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ

Một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng với đáy là đa giác nội tiếp đường tròn

Hệ quả

Hình hộp H có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi H là hình hộp chữ nhật Tâm

O của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là giao điểm các đường chéo, và

độ dài đường chéo là đường kính của mặt cầu Khi đó 2 2 2

2

a b c

STUDY TIP

Hình chóp tứ giác đều

có thể tích lớn nhất nội

tiếp trong mặt cầu bán

kính R cố định là hình

chóp tứ giác đều có cạnh

, chiều cao và thể tích

STUDY TIP

Hình chóp tứ giác đều

có thể tích lớn nhất nội

tiếp trong mặt cầu bán

kính R cố định là hình

chóp tứ giác đều có cạnh

, chiều cao và thể tích

Bài toán 6: Trong số các hình hộp nội tiếp hình cầu bán kính R cho trước, hình

hộp nào có tổng các kích thước lớn nhất

Lời giải

Ta có hình hộp nội tiếp mặt cầu bán kính R nên nó là hình hộp chữ nhật và các kích thước lần lượt là a, b, c của nó liên hệ với bán kính mặt cầu bởi công thức

2 2 2 4 2

a b c  R Tổng các kích thước của hình hộp đó là 4 a b c    Mặt khác, ta có

a b c  2 3a2b2c2 12R2 a b c  2R 3

4 a b c 8R 3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 3

3

R

a b c   Khi đó hình hộp cần tìm chính

là hình lập phương có cạnh bằng 2 3

3

R .

Bài toán 7: Trong các hình nội tiếp mặt cầu tâm I bán kính R, hình hộp có thể

tích lớn nhất bằng:

A. 8 3

3

8R

Đáp án B

Lời giải

Hình vẽ bên minh họa một hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' nội tiếp mặt cầu tâm I bán kính R.

Vì tính đối xứng nên hình hộp nội tiếp khối cầu luôn là hình hộp nội tiếp khối cầu luôn là hình hộp chữ nhật Do vậy đặt ba kích thước của hình hộp chữ nhật lần lượt

là a, b, c.

Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật là V abc

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có

3 3

a b c   abc

3

2

R

V

d Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cụt (đọc thêm) Một hình chóp cụt có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy của hình chóp cụt nội tiếp đường tròn có các cạnh bên bằng nhau

STUDY TIP

Cho hình hộp chữ nhật

có 3 kích thước là a, b, c

khi đó độ dài đường

chéo của hình hộp chữ

nhật được tính bằng

công thức

STUDY TIP

Cho hình hộp chữ nhật

có 3 kích thước là a, b, c

khi đó độ dài đường

chéo của hình hộp chữ

nhật được tính bằng

công thức

Chủ đề 6: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón The best or nothing

Hệ quả Mọi hình chóp cụt đều luôn có mặt cầu ngoại tiếp

Cho hai đường tròn C I r ,  ;  C I r lần lượt nằm trên hai mặt phẳng ' '; '   P

và  P mà '    P || P' , 'II  P II, 'h Khi đó mặt cầu đi qua cả hai đường tròn đã cho

Bài toán 8: Cho hình chóp cụt ABCD A B C D ' ' ' ' có hai đáy ABCD và

' ' ' '

A B C D lần lượt là hai tứ giác nội tiếp hai đường tròn có bán kính , 'r r Biết hình chóp cụt có chiều cao là h.

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cụt ABCD A B C D ' ' ' '

Lời giải

Gọi , 'I I lần lượt là tâm của hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD A B C D ; ' ' ' ' Theo giả thiết thì hình chóp cụt này nội tiếp mặt cầu nên các cạnh bên bằng nhau,

do đó II' là trục của hai đường tròn đáy

Kí hiệu như hình vẽ bên thì AA I I' ' là hình thang vuông tại , 'I I Gọi O là giao điểm của đường trung trực cạnh AA' với II' Khi đó mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp cụt đã cho là mặt cầu tâm I bán kính R OA

Ta có R2 OA'2 r'2OI'2 r'2x2 với x OI ' Mặt khác R2 OA2 r2II' x2 r2h x 2

Từ đó 2hx r 2h2 r'2 hay

2 2 '2 2

r h r x

h



2 2

2

' '

4

h r r

R r

h

2 Mặt cầu nội tiếp hình chóp, hình đa diện

Một mặt cầu dc gọi là nội tiếp một đa diện (hay đa diện ngoại tiếp mặt cầu) nếu mặt cầu tiếp xúc với các mặt của đa diện đó

Hệ quả 1

Với mặt cầu tâm O, bán kính r nội tiếp hình đa diện cho trước thì

a Hình chiếu của điểm O trên các mặt của đa diện là điểm tiếp xúc giữa mặt

cầu và các mặt đa diện, khoảng cách từ O đến các mặt là bằng nhau.

b Gọi V là thể tích khối đa diện, S là diện tích toàn phần của hình đa diện tp

thì 1

3 tp

V  S r (*)

Hệ quả 2

Mọi hình tứ diện luôn có mặt cầu nội tiếp

Hình chóp đều nào cũng có mặt cầu nội tiếp

Chứng minh công thức (*) ta có

STUDY TIP

Bán kính mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp cụt là

trong đó r, r’ lần lượt là

hai bán kính của đường

tròn ngoại tiếp hai đáy

của hình chóp cụt h là

độ dài đường cao của

hình chóp cụt

STUDY TIP

Bán kính mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp cụt là

trong đó r, r’ lần lượt là

hai bán kính của đường

tròn ngoại tiếp hai đáy

của hình chóp cụt h là

độ dài đường cao của

hình chóp cụt