CÔNG PHÁ TOÁN 3 FILE WORD PHẦN (3)

Ví dụ cụ thể khi thể hiện giá trị lớn nhất nhỏ nhất và điểm cực đại điểm cực tiểucủa đồ thị hàm số được thể hiện ở hình 1.13.. Ta thấy giá trị cực đại và giá trị lớn nhất của hàm số khác

C Lý thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 Định nghĩa

Ở phần A, chúng ta đã được giới thiệu về giá trị cực đai, giá trị cực tiểu của hàm

số Vậy sự khác nhau giữa giá trị cực đại và giá trị lớn nhất (hay giá trị cực tiểu vàgiá trị nhỏ nhất) là gì? Ta sẽ trả lời ngay ở dưới đây

Ví dụ cụ thể khi thể hiện giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) và điểm cực đại điểm cực tiểucủa đồ thị hàm số được thể hiện ở hình 1.13

Ta thấy giá trị cực đại và giá trị lớn nhất của hàm số khác nhau Điểm cực đại nằmgiữa khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến, còn giá trị lớn nhất là tung độ củađiểm "cao nhất" của đồ thị hàm số trên  a b Chú ý rằng, ở hình 1.13, giá trị lớn;nhất của hàm số có thể nằm ở điểm đầu mút của  a b , và giá trị lớn nhất giá trị;nhỏ nhất có thể trùng với giá trị cực trị của hàm số Ta thấy đây là đồ thị của mộthàm liên tục có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, nên ta có định lý 1

Định lý 1

Mọi hàm số liên tục đều trên  a b có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên;đoạn  a b ;

Chú ý: Với hàm liên tục luôn có một giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất đó có thể đạt được tại không chỉ một điểm x a mà có

LOVEBOOK.VN|97

thể nhiều hơn Ví dụ như hình 1.14 với đồ thị hàm số f x    Trên 9 x2 3;3,hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi x hoặc 3 x  3

2 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

Để việc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên  a b nhanh hơn, ta áp dụng nhận xét;sau:

1 Tìm các điểm x x1; ; ;2 x trên khoảng n  a b tại đó ; f x bằng 0 hoặc' 





 Biết M là giá trị lớn nhất của hàm số trên  0;1 ,

m là GTNN của hàm số trên  0;1 , khi đó giá trị của biểu thức M m là





 đơn điệu trên  0;1 nên hàm số đạt GTLN, GTNN trên

 0;1 tại điểm đầu mút, nên ta không cần tính 'y mà có luôn

  với mọi x thỏa mãn điều kiện trên.

Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên  1;3 , từ đây suy ra

 1;3    1 3;  1;3    3 271

Từ các ví dụ trên ta rút ra kết luận sau:

1 Các hàm đa thức chỉ bao gồm các hạng tử có bậc lẻ và hệ số tự do có hệ số làcác số cùng âm, hoặc cùng dương thì luôn đơn điệu trên tập xác định nênGTLN, GTNN xảy ra tại các điểm đầu mút

1

x m y

1

m y

luận 3 phía trên để đưa

ra cách giải như bên

cạnh

STUDY TIP

Ví dụ 5 vận dụng kết

luận 3 phía trên để đưa

ra cách giải như bên

cạnh

+ Nếu m  thì 1 y' 0,  x  2;4  Hàm số đồng biến trên  2; 4

Khi đó min 2;4 y y 2      (không thỏa mãn 2 m 3 m 1 m  ).1

+ Nếu m 1 thì y' 0,  x  2; 4  Hàm số nghịch biến trên  2; 4

1

A x

Ta có

2 2

11

Đối với máy tính cầm tay fx-570VN PLUS và máy tính VINACAL 570 ES PLUS

II ta có thể tìm được GTLN; GTNN của tam thức bậc hai bằng cách sử dụng

MODE 5 EQN 3 Sau đó lần lượt nhập các hệ số của các số hạng trong tamthức Ấn  liên tiếp 4 lần thì ta có kết quả giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.Trong bài toán này ta ấn MODE 5 EQN 3 

x





 Giá trị của m, n sao cho giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của hàm số trên D lần lượt là 4 và ‒1 là

xảy ra Nếu dấu bằng

không xảy ra thì ta phải

kiểm tra lại các bước

xảy ra Nếu dấu bằng

không xảy ra thì ta phải

kiểm tra lại các bước

làm

Từ (1) và (2) ta có  

2 2

dựa vào miền giá trị của hàm số.

Trong trường hợp 2 biến số thì ta xét bài toán tổng quát sau:

Cho các số thực x; y thỏa mãn điều kiện F x y ,  0 Tìm giá trị nhỏ nhất vàgiá trị lớn nhất của biểu thức P G x y  ; 

nghiệm của phương trình bậc hai), rồi suy ra tập giá trị T của P Từ đó suy ra

giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P G x y  ;  .

1

x y





  trêntập xác định là

2 Xét dấu f x và lập bảng biến thiên.' 

3 Dựa vào bảng biến thiên kết luận min, max

A.

 0;2 

3max

  khi2

thường áp dụng cho bài

toán min – max hàm số

lượng giác (tiếp nối

chương hàm số lượng

giác) đã học ở lớp 11 mà

tôi đã đưa vào trong

Công phá toán tập 2

; 1;11

02

2 1;11

Nếu khảo sát trực tiếp

hoặc dùng miền giá trị

đều dẫn đến tính toán

phức tạp Phương pháp

đổi biến trong trường

hợp này rất hiệu quả

Chú ý khi đổi biến ta

cần tìm điều kiện của

 

3Dựa vào bảng biến thiên ta có

30;12

Trong bài toán này, do

bậc của x khá cao, lên

đến mũ 6, nên việc giải

Trong bài toán này, do

bậc của x khá cao, lên

đến mũ 6, nên việc giải

trong dấu ngoặc thì m

hoàn toàn cô lập với x,

trong dấu ngoặc thì m

hoàn toàn cô lập với x,

     nếu m  hoặc 6

2144

m

894

m m

Hàm số đã cho được cho

dưới dạng tổng của hai

căn thức Hai biểu thức

dưới dấu căn có tổng

không đổi bằng 2, vì vậy

Hàm số đã cho được cho

dưới dạng tổng của hai

căn thức Hai biểu thức

dưới dấu căn có tổng

không đổi bằng 2, vì vậy

Đọc thêm 1: Phương pháp giải nhanh các bài tập tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a; b]

Step? Nhập bước nhảy phù hợp

Từ đây ta có thể nghiên cứu nhanh dáng điệu của đồ thị trên đoạn  a b , từ đó;chọn giá trị thích hợp

Cách 2:

1 Giải phương trình f x'   bằng cách sử dụng nút SOLVE (lấy giá trị của x0nằm trên  a b để dò nghiệm), ta được các nghiệm của phương trình ; f x'  0

2 Dùng CALC để tìm các giá trị của f x tại các điểm đầu mút và các điểm 

0

x là nghiệm của phương trình f x'   rồi so sánh từ đó kết luận min, max 0

2 31

x y x

Ấn MODE 7 và nhập F(x) như hình bên

Tiếp theo chọn Start? 2; End 4; step 0,2 thì máy hiện kết quả như sau:

Ta thấy khi cho x chạy từ 2 đến 3 giá trị của hàm số giảm từ 7 đến 6, sau đó từ 3

đến 4 giá trị của hàm số lại tăng lên Từ đây ta kết luận giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. 6 B. 2 C. 3 D. 19

3Tiếp tục ấn MODE 7, chọn Start 0, End 3, Step 0,2 và máy hiện:

Ta nhận thấy giá trị của F x tăng dần khi cho x chạy từ 0 đến 0,6 sau đó giảm 

dần khi đến khi x chạy đến 1 (lúc này giá trị của F x là bằng 0) thì sau đó giá trị 

của hàm số lại tăng dần khi cho x chạy tiếp từ 1 đến 3.

Vậy ta kết luận             3

min f x  f 0  1; max f x  f 3  20

xây một trạm thu phí và trạm xăng ở trên đường cao tốc như hình vẽ Để tiết kiệmchi phí đi lại, hai thành phố quyết định tính toán xem xây trạm thu phí ở vị trí nào

để tổng khoảng cách từ hai trung tâm thành phố đến trạm là ngắn nhất, biết khoảng

cách từ trung tâm thành phố A, B đến đường cao tốc lần lượt là 60 km và 40 km và khoảng cách giữa hai trung tâm thành phố là 120 km (được tính theo khoảng cách của hình chiếu vuông góc của hai trung tâm thành phố lên đường cao tốc, tức là PQ

kí hiệu như hình vẽ) Tìm vị trí của trạm thu phí và trạm xăng? Giả sử chiều rộngcủa trạm thu phí không đáng kể

một số nằm trong khoảng 0;120 để dò nghiệm, như tôi nhập 2 máy nhanh chóng

hiện nghiệm là 72 như sau:

Đọc thêm: Phương pháp giải nhanh các bài tập xác định m để hàm số đạt giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a; b]

Với các bài toán này, thường cho ta 4 giá trị của m Trong máy tính ta có thể

lập bảng giá trị của hai hàm F x  và G x  cùng một lúc, ta sẽ thử bằngcách thế 2 tham số đề bài vào hai hàm F x  và G x  dùng phương pháp ởtrên để giải nhanh

Ta đến với ví dụ đầu tiên:

 2;1 

4max

Lúc này ta kiểm tra hai phương án A, B thì ta nhập hàm

Tiếp theo nhập Start? ‒2; End? 1 Step 0,2 Ta thấy các giá trị của hàm số ở hai

trường hợp m hiện như sau:

Ta thấy khi m thì hàm số không đạt giá trị lớn nhất bằng 0 4

x x

Câu 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2

2

x y x





trên 1; 2 là

A. min1;2 y 1 B. min1;2 y  1

C. min1;2 y  5 D. min1;2 y  4

3 31

x y x

x y x

của hàm số y x 3 3x trên đoạn 1 2; 4 là:

D  Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Giá trị lớn nhất của f x trên D bằng 5. 

B. Hàm số f x có một điểm cực trị trên D. 

C. Giá trị nhỏ nhất của f x trên D bằng 1. 

D. Không tồn tại giá trị lớn nhất của f x trên 

D

nhất của hàm số y2x33x212x trên đoạn1

1;3 Khi đó tổng M m có giá trị là một sốthuộc khoảng nào dưới đây?



trên   4; 2

A min 4; 2 y  1 B. min 4; 2y  6

C. min 4; 2 y  8 D.

 4; 2 

1min

nhất của hàm số trên đoạn 5;0 bằng bao nhiêu?

giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 2

11

y x





 giá trị lớn nhất trênđoạn  0;3 là

trên đoạn 1;e3

Câu 42: Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số

x





 (m là tham sốthực) thỏa mãn

  1;2   1;2

16min max

3

y y Mệnh đề nàodưới đây đúng?

sin cos sin cos

y x x m x x Điều kiện của m

để miny là1

LOVEBOOK.VN|118

Hướng dẫn giải chi tiết

Suy ra: min 2;4 y f  2  11

Cách 2: Sử dụng TABLE trong máy tính ta có:

Ta thấy hàm số đồng biến trên  2; 4 từ đây ta kết

3 4;4

x y

41;33' 3 2 8, ' 0

5 0;2

x P

cùng dương nên hàm số đã cho đơn điệu trên tập

xác định (hay trên ¡ ), suy ra hàm số đơn điệu trên

(lập bảng biến thiên để thấy rõ hơn) và hàm số

nghịch biến trên  0;3 nên y 3 23 là giá trị nhỏ

2 1;3

x y

2 1; 2

x y

Câu 14: Đáp án B.

LOVEBOOK.VN|120

Nhận xét: Hàm số 1

1

x y x

 nên y luôn nghịch biến

trên  và ;1 1; hay hàm số luôn nghịch 

2 2;1

x y

hàm số có dạng parabol quay bề lõm hướng lên

trên, tức là hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 

c

 nênGTLN, GTNN xảy ra tại các điểm đầu mút

Khi đó:  

 

143

3 17

3 17

08

2 1

y y y y

17max

“Các hàm đa thức chỉ bao gồm các số mũ lẻ có hệ

số là các số cùng âm, hoặc cùng dương thì luôn

đơn điệu trên tập xác định nên GTLN, GTNN xảy

ra tại các điểm đầu mút.”

Sử dụng lệnh TABLE trong máy tính cầm tay với

Start: ‒5; End: 5, Step: 1 thì ta có

Nhận xét: Hàm số đạt GTNN là 1

3 khi x1 vàGTLN là 3 khi x 1 Vậy M m 1

Câu 22: Đáp án D.

Xét hàm số

2 31

212

f f

x

LOVEBOOK.VN|122

và luôn nghịch biến trên 1;3

2

 

 

 .Khi đó:

của hàm số tại hai điểm đầu mút x  2;x 2

và tại x1 ta được: min2; 2 f x  f  2 2

y

11

e

 

 0; 

1min y 1

1

x y

 

01

212

Đây là dạng toán tìm min – max hàm lượng giác

tôi đã giới thiệu trong Công phá toán tập 2 (lớp

số ví dụ từ đó đưa ra kết luận về các bước giải quyết bài toán.

vuông Biết diện tích bìa để làm hộp là 108 (đvdt), được biểu diễn ở hình 1.15 Thểtích lớn nhất của hộp là

A. 54 đvtt B 108 đvtt C. 54 2 đvtt D. 108 2 đvtt

Đáp án B.

Lời giải

Vì hộp có đáy là hình vuông nên thể tích của hộp sẽ là V x h2

Với S4 .x h x 2 108 là diện tích bìa làm hộp

Tuy nhiên, ta có một số bước cơ bản để giải quyết bài toán tối ưu thực tế như sau:

1 Xác định tất cả các biến

2 Viết công thức của đại lượng cần tối ưu, sau đó từ mối quan hệ đề cho đưa vềmột biến (có thể là biến cần xác định hoặc biến dẫn đến công thức nhẹ gọn)

3 Tìm miền của hàm cần tìm GTLN, GTNN.

4 Tiếp tục giải như một bài toán tìm GTLN, GTNN thông thường

tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm x để

bể có dạng một hình trụ nội tiếp trong hình nón để chứa nước (như hình vẽ minhhọa)

Cho biết SO h OB R ;  và OH x0  Tìm x để hình trụ tạo ra có thể x h

tích lớn nhất

(Hình trụ nội tiếp trong hình nón là hình trụ có trục nằm trên trục của hình nón, mộtđường tròn đáy nằm trên mặt đáy của hình nón, đường tròn đáy còn lại nằm trênmặt xung quanh của hình nón) (hình 1.17)

Từ các bài toán trên tôi đưa ra một quy trình gợi ý cho bài toán tối ưu thực tế:

Ta tiếp tục với các bài toán sau, từ đó rút ra kết luận để giải quyết bài toán thực tếnhanh hơn

kinh doanh rau được tính xấp xỉ bằng công thức

Dấu bằng xảy ra khi x15000

làm hàng rào Và hàng rào có dạng như hình vẽ bên Hỏi diện tích đất lớn nhất đểtrồng rau là bao nhiêu?

Ở đây đề bài cho một dữ kiện đó là có 200m vật liệu để làm hàng rào Từ đây nếu

ta đặt một chiều của hàng rào theo một biến thì ta sẽ tính được chiều còn lại củahàng rào theo biến này Lúc này, thiết lập công thức diện tích theo một biến, dùngđạo hàm tìm GTLN của hàm số một biến này

Dấu bằng xảy ra khi 4x200 4 x x 25.

dài song song với hàng tường gạch Bác chỉ làm ba mặt hàng rào bởi vì mặt thứ tưbác tận dụng luôn bờ tường (như hình vẽ 1.18)

Từ đó ta có f  100 5000 là giá trị lớn nhất của diện tích đất rào được

Trên đây là cách làm áp dụng quy tắc chúng ta vừa học, tuy nhiên tôi muốn phântích thêm cho quý độc giả như sau: Ta nhận thấy hàm số trên là hàm số bậc hai có

.22

 Từ đó tìm f  100 luôn mà không cần đitính f x ' 

tổng chiều dài l của hộp khoai tây chiên và chu vi đường tròn đáy không vượt quá

hàm nothing

84 cm (để phù hợp với phương thức vận chuyển và chiều dài truyền thống của dòng

sản phẩm như hình 1.19) Công ty đang tìm kích thước để thiết kế hộp sao cho thểtích đựng khoai tây chiên là lớn nhất, thể tích đó là:

A. 29152cm3

 B. 29152 cm 3 C.14576 cm 3 D.

314576

cm



Đáp án A.

Ta có hình 1.20

Do đề bài yêu cầu tìm thể tích lớn nhất của hộp khoai tây chiên và tổng chiều dài l

và chu vi đường tròn đáy không vượt quá 84 cm nên:

Nếu muốn thể tích lớn nhất ta sẽ lấy giới hạn max của tổng độ dài tức là l P 84



 

  làgiá trị cực đại của hàm số Vậy đến đây ta tư duy nhanh

bãi đỗ xe Ba cạnh của khu đất sẽ được rào bằng một loại thép với chi phí 14 000đồng một mét, riêng mặt thứ tư do tiếp giáp với mặt bên của nhà hàng nên đượcxây dựng bằng tường gạch xi măng với chi phí là 28 000 đồng mỗi mét (hình 1.21)

Biết rằng cổng vào của khu đỗ xe là 5m Tìm chu vi của khu đất sao cho chi phí

nguyên liệu bỏ ra là ít nhất, chi phí đó là bao nhiêu?

A. 100 ,1 610 000m đồng B. 100 ,1 680 000m đồng

C. 50 ,1 610 000m đồng D. 50 ,1 680 000m đồng

Đáp án A.

Ta có các kích thước được kí hiệu như sau

Do đề đã cho diện tích khu đất nên xy 600 y 600

x

Chi phí nguyên liệu được tính bằng công thức

Nhận thấy x dương, do vậy ở đây ta có thể nhận ra ngay bất đẳng thức Cauchy với

hai số dương Vậy f x  2 42000 x16800000 70 000 1 610 000

Con đường món chính mà người ta hay đi được miêu tả như sau:

Từ vị trí người đó đi thẳng 300 m gặp một cái ao nên không đi tiếp được nữa, sau khi rẽ trái đi thẳng 600 m đường rừng sẽ đến cái cây quí đó.

Biết rằng nếu đi đường mòn thì anh ta có thể chạy với tốc độ 160 m / phút, còn khi

đi qua rừng anh ta chỉ có thể đi với tốc độ 70 m / phút.

Đó là con đường đi truyền thống mà người ta hay đi, vậy con đường đi mà mất ítthời gian nhất được miêu tả

A. đi thẳng từ vị trí người đó đứng đến cái cây

B. đi theo đường mòn 292 m rồi rẽ trái đi đến cái cây.

C. đi theo cách truyền thống ở trên

D. đi thẳng 8 m rồi rẽ trái đi đến cái cây.

Đáp án D.

Kí hiệu như hình 1.22 ta cóTổng thời gian người đó đi đến cái cây được tính theo công thức:

  300160x 600702 x2

f x     với 0 x 300Đến đây công việc của ta là đi tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên   0;300 

Ta lần lượt làm theo các bước: '  1 1 22 2

hàm nothing

Đến đây nhiều độc giả có thể vội chọn B Tuy nhiên nhìn kĩ thì thấy D mới đúng,

vì theo miêu tả thì người đó sẽ đi 300 x mét sau đó đi thẳng đến cái cây

hình vẽ) cách điểm gần nhất trên bờ biển P là 2km Bác An cần đến điểm Q cách điểm gần nhất S bên bờ biển 1km Kí hiệu như hình vẽ, biết rằng PS3 km Tốc

độ chèo thuyền là 2km h/ , tốc độ đi bộ trên bờ biển là 4km h/ Thời gian ngắn

  với x 0;3 (Tương tự như ví dụ 8)

Để biết con đường đi đến Q mà tốn ít thời gian nhất thì ta đi tìm x để f x đạt giá 

trị nhỏ nhất trên  0;3 Xét hàm số f x   x224  x246x10 trên  0;3

f x    (Do ở đây khoảng nghiệm ngắn nên ta dùng máy tính và dùngx

CALC dò nghiệm ra luôn kết quả)

Khi đó thời gian ngắn nhất mà bác có thể đi đến Q là: