CÔNG PHÁ TOÁN 3 FILE WORD PHẦN (4)

Đường thẳng y=y0 là đường tiệm cận ngang hay tiệmcận ngang của đồ thị hàm số y= f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau 3.. Cách 1: Vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của đa mẫu thức n

III Đường tiệm cận

A Lý thuyết về đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Định nghĩa

Cho hàm số y= f x( ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a;+∞),(−∞;b) hoặc (−∞ +∞; ) Đường thẳng y=y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệmcận ngang) của đồ thị hàm số y= f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau

3 Nếu bậc của tử thức p x lớn hơn bậc của mẫu thức ( ) q x thì đồ thị hàm số( ) ( )

y= f x không có tiệm cận ngang

Một số lưu ý về các giới hạn đặc biệt

* limx→+∞x k = +∞ với k nguyên dương;

* limx→−∞x k = −∞, nếu k là số nguyên lẻ;

* limx→−∞x k = +∞, nếu k là số nguyên chẵn.

Kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Kĩ năng sử dụng máy tính để tìm giới hạn đã được giới thiệu rất kĩ trong chủ đềGiới hạn của cuốn Công phá toán tập 2 (lớp 11)

hàm nothing

Với bài toán cần tìm giới hạn của hàm số tại vô cực ta sẽ sử dụng chức năng

CALC để tính các giá trị của f x tại các giá trị x rất lớn.( )

+

=+

Cách 1: Ta có lim 5 22 lim 5 lim 22 5 2.0 5

x→±∞ x x→±∞ x→±∞x

Vậy đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận ngang là y=5

2 3

3 1

x y x

=

3 2

2 3

3 1

x y x

=+

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho (hình 1.24)

Cách 2: Bấm máy tính với CALC 10

c Cách 1: Vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của đa mẫu thức nên đồ thị hàm số

không có tiệm cận ngang (hình 1.25)

Cách 2: Bấm máy tính máy hiện một giá trị rất bé khi CALC x=1010 và khi

10

CALC x= −10 thì ta có kết quả là một giá trị rất lớn Do vậy đồ thị hàm sốkhông có tiệm cận ngang

Nhắc lại quy tắc về giới hạn vô cực

Các định lý và quy tắc dưới đây được áp dụng cho mọi trường hợp: x→x0,

0

x→x−, x→x0 +, x→ +∞ và x→ −∞.

Tuy nhiên, để cho gọn, ta chỉ phát biểu cho trường hợp x→x0

Quy tắc 1 (Quy tắc tìm giới hạn của tích)

( )0

q x

= , trong đó( )

p x và q x là các hàm đa thức.( )

Nếu c là một số thực thỏa mãn q c( ) =0 và p c( ) ≠0 , thì đồ thị hàm số( )

2 Để tính lim ( )

x a− f x

→ thì ta nhập hàm số f x vào màn hình, sử dụng lệnh( )CALC và gán x a= −10− 9

1

x y x

x − = ⇔ = −x x= (thỏa mãn không là nghiệm của đa thức tử số), do

đó x=1;x= −1 lần lượt là hai đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.Kiểm tra lại ở hình 1.26 là đồ thị hàm số 2

1

x y x

=+ Số tiệm cận của đồ thị hàm số bằng

=+ + có đúng một tiệm cận đứng.

A Không có giá trị thực nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài

A Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang

B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang phân biệt

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng x=2

D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang

Ví dụ 8: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 2

3 416

y x

Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số

Khi đó, áp dụng STUDY TIP ở trên thì đồ thị hàm số đã cho luôn có một tiệm cận

đứng là x m= Do vậy để tiệm cận đứng nằm bên phải trục Oy thì m>0 và5

chọn hai tiệm cận đứng là x=2;x=3 là sai.

Đây cũng chính là ứng dụng của lý thuyết về tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ởphía trên Một cách khác để nhanh chóng giải bài toán trên như sau:

A. Đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận là các đường thẳng

C. Đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận đứng là đường thẳng x= −3

và một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y=0

D. Đồ thị hàm số đã cho chỉ có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang

Đáp án C.

Lời giải

Tương tự như bài toán trên

1 Vì đây là hàm phân thức có bậc của đa thức tử số nhỏ hơn bậc của đa thức mẫu

số nên có một tiệm cận ngang là y=0

Do vậy x= −2 không phải là phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

đã cho Do vậy đồ thị hàm số đã cho chỉ có một tiệm cận đứng là đường thẳng3

x= − và một tiệm cận ngang là đường thẳng y=0

Đồ thị hàm số

2 2

C Một số dạng toán thường gặp liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số

cx d

+

=+ , suy ra

0 0 0

− và M là một điểm nằm trên ( )C Giả

sử d d tương ứng là các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của 1, 2 ( )C khi đó tích

Đến đây ta có bài toán:

Bài toán 1: Tìm điều kiện sao cho tổng khoảng cách từ điểm M x y thuộc( 0; 0)

đồ thị hàm số y ax b

cx d

+

=+ đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là nhỏ

nhất.

Lời giải tổng quát

Từ các kết quả trên ta có tổng khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận của

công thức này là công

thức này gần giống với

công thức đạo hàm của

công thức này là công

thức này gần giống với

công thức đạo hàm của

hàm số, chỉ khác là mẫu

số ở đây chỉ có hệ số c

bình phương

;

khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận của ( )C đạt nhỏ nhất và M có hoành độ

Do đề bài yêu cầu tìm hoành độ dương nên ta chọn A

Bài toán 2: Tìm điểm M x y trên đồ thị hàm số ( 0; 0) y ax b

cx d

+

=+ sao cho khoảng

cách từ M đến đường tiệm cận đứng bằng k lần khoảng cách từ M đến đường

tiệm cận ngang.

Lời giải tổng quát

Ở kết quả ban đầu ta có:

+

=

− có đồ thị ( )C Có tất cả bao nhiêu điểm M thuộc

( )C sao cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách

rất nhiều trong các bài

toán sau này

STUDY TIP

Lưu ý là công thức nên

ghi nhớ, vì nó áp dụng

rất nhiều trong các bài

toán sau này

Ta chú ý đề bài này ngược so với bài toán tổng quát số 2 nên ở đây 1

5

k = Gọi M x y lúc này ta áp dụng công thức tổng quát ở trên ta có:( 0; 0)

Vậy có tất cả hai điểm M thỏa mãn.

Bài toán 3: Tìm điểm M x y trên đồ thị hàm số ( 0; 0) y ax b

cx d

+

=+ sao cho khoảng

cách từ M đến điểm I là ngắn nhất, biết I là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Lời giải tổng quát

+

=+ có đồ thị ( )C Điểm M trên đồ thị ( )C thỏa mãn

khoảng cách từ M đến giao điểm I của hai đường tiệm cận ngắn nhất có tọa độ là

Dạng 1: Bài toán liên quan đến tiệm cận của

đồ thị hàm số không chứa tham số

Câu 1: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên

\ −1;1

¡ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có

bảng biến thiên sau:

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

−

=+ có đồ thị ( )C

A. Đường thẳng y=2 là tiệm cận đứng của đồthị hàm số y= f x( )

B. Đường thẳng x=2 là tiệm cận ngang của đồthị hàm số y= f x( )

C. Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồthị hàm số y= f x( )

D. Đường thẳng x=2 là tiệm cận đứng của đồthị hàm số y= f x( )

Câu 6: Đường thẳng y= −1 là đường tiệm cận của

đồ thị hàm số:

3

x y

x y x

− +

=+

6

x y

y x

−

=+

9

x y

là các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của ( )C

+

=+ − có baonhiêu tiệm cận?

2 3

x y x

−

=+ có đồ thị ( )C

Mệnh đề nào dưới đây sai?

−

=+ −

A. chỉ có một tiệm cận ngang

B. một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng

C. một tiệm cận ngang và hai tiệm cận đứng

D. hai tiệm cận đứng

2 2

nào sau đây sai?

A. Hàm số chỉ có một tiệm cận đứng là x=1

B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là1; 3

−

=

− + có sốđường tiệm cận là?

Câu 18: Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm

A. Đồ thị hàm số chỉ có hai tiệm cận trong đó

có tiệm cận ngang là y= −1, có tiệm cận đứng là

Câu 21: Cho hàm số y= f x( ) có lim ( ) 2

→+∞ = ,( )

x y

−

=+ + :

đường tiệm cận ngang?

−

=

21

x y x

−

=+

1

x y

x y x

+

=

−

Câu 24: Đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số nào sau đây?

x y x

−

=+

1

x y

x y

x

+

=+

1

x y

x

=

− có bao nhiêuđường tiệm cận ngang:

+

=+ − có tất

cả bao nhiêu tiệm cận (gồm tiệm cận đứng và tiệmcận ngang)?

Câu 27: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2

22

y x

−

=

− Đồ thị hàm số

có mấy tiệm cận?

x y x

x y x

−

=

− − Đồ thịhàm số có bao nhiêu tiệm cận?

−

=+

14

y x

+ +

=

−

Câu 36: Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên

như sau Khẳng định nào dưới đây là đúng?

m m

m m m

+

=+ + Đồ thị hàm

số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận

ngang và tiệm cận đứng Khi đó tổng m n+ bằng:

m m m

m m

m m m

m m

+

=+ + Tìm tất cả

các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba tiệm cận?

−

=

− có đúnghai đường tiệm cận

Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

sao cho đồ thị của hàm số 2 1

4

x y

−

=+ + có haiđường tiệm cận đứng

22

2

2x 3x m y

x m

− +

=

− Để đồ thịhàm số không có tiệm cận đứng thì tất cả các giá

¡ , liên tục trên các khoảng xác định của nó

và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận

B. Phương trình f x( ) =m có 3 nghiệm thựcphân biệt thì m∈( )1; 2 .

C. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2

D. Hàm số đồng biến trên (−∞;1)

Câu 51: Cho hàm số y= f x( ) xác định, liên tụctrên ¡ \ 2{ } và có bảng biến thiên:

A. Giá trị cực đại của hàm số bằng 5

B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận

C. Phương trình f x( ) − =1 0 có đúng hainghiệm thực

D. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng( )0; 2 bằng 5

Câu 52: Cho hàm số 1

2

ax y bx

+

=

− Tìm a, b để đồthị hàm số có x=1 là tiệm cận đứng và 1

2

y= làtiệm cận ngang

2 64

8

m m

x

+

=

− Với giá trị nào

của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang

của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành

một hình chữ nhật có diện tích bằng 8

Hướng dẫn giải chi tiếtDạng 1: Bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số

Câu 1: Đáp án B.

Dễ thấy tại x=1 hàm số không xác định nên B là

khẳng định sai

Câu 2: Đáp án D.

Áp dụng định nghĩa về tiệm cận ngang suy ra đồ

thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y= −1 và

2

y=

Câu 3: Đáp án C.

Đây là hàm số phân thức có bậc của đa thức tử số

nhỏ hơn bậc của đa thức mẫu số nên có một tiệm

cận ngang là y=0

Câu 4: Đáp án A.

Đây là hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất

nên có một tiệm cận ngang là y=2 và một tiệm

Phương án A Sai: Vì là hàm số phân thức bậc nhất

trên bậc nhất nên có một tiệm cận ngang là

Phương án B Sai: Vì là hàm số phân thức có bậc

của đa thức tử số lớn hơn bậc của đa thức mẫu số

nên không có tiệm cận ngang

Phương án C Đúng: Tương tự phương án A, hàm

số có một tiệm cận ngang là y= −1.

Phương án D Sai: Vì hàm số phân thức có bậc của

đa thức tử số nhỏ hơn bậc của đa thức mẫu số nên

x

=



− = ⇔  = −

Ta thấy tại x=3 hoặc x= −3, đa thức của tử số

không xác định nên đồ thị hàm số không có tiệm

Ta thấy với x=1 hoặc x= −3 thì x+ ≠1 0, do vậy

đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng là đườngthẳng x= −3 và x=1

x= − + .

Câu 14: Đáp án A.

- Đây là hàm số phân thức bậc hai trên bậc hai nên

Ta thấy phương trình 3x2− + =3x 1 0 vô nghiệm,

do vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng là

đường thẳng x=1 và x= −3

Câu 15: Đáp án C.

- Đây là hàm số phân thức có bậc của tử thức nhỏ

hơn bậc của mẫu thức nên có một tiệm cận ngang

Ta thấy với x=1 hoặc x=6 thì 3x− ≠1 0, do vậy

đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng là đường

Ta thấy với x=1 thì x− =1 0, do vậy x=1 không

phải là phương trình đường tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số đã cho

Do vậy đồ thị hàm số đã cho chỉ có một tiệm cận

đứng là đường thẳng x=2 và một tiệm cận ngang

2 33

1 1

1 2 3lim

2 33

1 4

1 2 1lim

x x x

4 3lim lim

2 2

111

≥



 ≤ −



Do vậy, x=0 không phải là phương trình đường

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Câu 20: Đáp án C.

Áp dụng định nghĩa về tiệm cận đứng và tiệm cận

ngang nên suy ra mệnh đề C là mệnh đề đúng

−

=+ có 1 tiệm cậnngang là đường thẳng y=1

Phương án B Đúng: Vì

212

−

=+ có 2 tiệm cận ngang

→+∞

−+ không tồn tại.

2

4lim

1

x

x x

→−∞

−+ không tồn tai (do tập xác định

2

x

x x

x

x

→+∞ = →+∞ = →+∞ =

3 2lim lim

2 1

x y

Ta thấy với x= 2 1+ thì 3x2+ ≠2 0, do vậy đồ

thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng là đường

2

212

x x x

Ta thấy với x=2 thì 2

2 0

x + x≠ , do vậy đồ thịhàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng2

Ta thấy với x= −1 thì 1− x2+ + =x 1 0, do vậy

đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng

Câu 29: Đáp án C.

- Ta có:

414

≥



 ≤ −

Giải phương trình: x− = ⇔ =1 0 x 1

Ta thấy với x=1 thì tử thức không xác định nênkhông tồn tại limx→1+ y

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

x

x

→+∞ = →+∞ = →+∞ =

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Phương án D Sai vì đây là hàm phân thức bậc

nhất trên bậc nhất nên đều có 1 tiệm cận đứng và 1tiệm cận ngang

4 1010

Câu 37: Đáp án C.

- Đây là hàm số phân thức có bậc của đa thức tử số

nhỏ hơn bậc của đa thức mẫu số nên có một tiệm

Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên

đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng

Tương tự câu 37, để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm

cận thì đồ thị hàm số phải có 2 tiệm cận đứng hay

phương trình 2

2 3 0

mx − x+ = là phương trình bậchai có 2 nghiệm phân biệt 1≠

Tương tự câu 37, để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm

cận thì đồ thị hàm số phải có 2 tiệm cận đứng hay

phương trình 2

x + x m+ = có 2 nghiệm phânbiệt ≠ −3

số phải có 2 tiệm cận ngang là đường thẳng

y= m và y= − m (với m>0) và 1 tiệm cậnđứng là đường thẳng x= −2

2

m m

m m

≠



⇔ ≠ − ⇔ ∉ −

Câu 45: Đáp án C.

Đây là hàm số phân thức bậc hai trên bậc hai nên

đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng

=



⇒  =

Vậy a+2b= +4 2.2 8=

Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên

đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng

a y b

= và 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x 2

b

=1

2

12

1

2.1 1 0

a b

a b b

hai nghiệm phân biệt

Kết quả 2: Đồ thị hàm số bậc ba luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm

Kết quả 3: Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Lưu ý: Các kết quả trên rất quan trọng trong việc nhận dạng đồ thị.

Các bước nhận biết đồ thị hàm số bậc ba:

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, (a ≠ 0), nhận dạng đồ thị hàm số.

Ta có các bước làm được biểu thị trong sơ đồ sau

Ví dụ 1: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm sốđược liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

b − ac và xét, tuy nhiên ở đây ta thấy chỉ có

hai phương án, hệ số a của 3

x ở hai phương án lại khác nhau, cho nên ở đây ta

không cần xét b2−3ac mà kết luận luôn đáp án D

(Bởi ta thường có mẹo: Nếu b2−3ac>0: khi a>0 thì đồ thị dạng chữ N, khi0

hàm nothing

Với hai phương án A, và C ta có thể không xét b2−3ac bởi ta nhận thấydths ởhình bên đã cung cấp đủ các dữ kiện, giao với trục hoành, trục tung,…

Nhận thấy với x=0 thì y=1, do vậy ta chọn C

Ở đây ta xét luôn x=0 bởi hai hàm số này khác nhau ở mỗi hệ số d =1 và1

d = −

y ax= +bx + +cx d có đồ thị như hình vẽ bên Mệnh đềnào dưới đây đúng?

A. a<0,b>0,c>0,d <0 B. a<0,b<0,c>0,d <0

C. a>0,b<0,c<0,d >0 D. a<0,b>0,c<0,d <0

Đáp án A.

Phân tích

Với bài toán nhận dạng đồ thị hàm số, trước tiên ta quan sát những đặc điểm sau:

1 Hình dáng đồ thị: với hàm bậc ba thì là chữ N hay ngược lại.

2 Vị trí của hai điểm cực đại, cực tiểu.

c c

y y < Tuy nhiên ta thấy nếu xét như vậy khá là lâu, trong khi ta chỉ còn hai

phương án là A và B, và hai phương án này chỉ khác nhau ở điều kiện của b, do

vậy ta xét b<0 và b>0.Nhận thấy b>0 thì 1 2

206

b

a

−+ = > (thỏa mãn, do a<0 và nhìn vào đồ thị tathấy nếu kí hiệu x1< <0 x2 thì x1 < x2 nên x1+ >x2 0)

Ví dụ 4: Cho hàm số y ax= 3+bx2+ +cx d (a≠0) có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Khẳng định nào sau đây về dấu của a, b, c, d là đúng nhất?

2 Tiếp theo, hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía của trục Ox, do

3 Tiếp theo ta thấy khi x=0 thì y d= >0 Từ các kết qura trên ta chọn D

Ví dụ 5: Đồ thị hàm số ở hình bên là của hàm số nào dưới đây?

Với phương án B: b2−3ac= −02 3 1 1( ) ( )− − = − <3 0

Với phương án D: b2−3ac= −02 3 1 0 0( )− =Tuy nhiên nhìn vào đồ thị thì ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm ( )1;1 nên ta loạiluôn B, do khi x=1 thì y=0

2 Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0).

Dạng của đồ thị hàm số y ax= 4+bx2+c a( ≠0)

0

a> a<0Phương trình ' 0y =

có ba nghiệm phân biệt