CÔNG PHÁ TOÁN 3 FILE WORD PHẦN (5)

* Đồ thị  C cắt trục hoành tại hai điểm khi phương trình 1 có đúng hai nghiệm phân biệt  phương trình 2 có một nghiệm kép x  hoặc phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt trong đó có

V Sự tương giao của hai đồ thị hàm số

Bài toán tổng quát: Xét sự tương giao của hai đồ thị  C1 :y f x  và

 C2 :y f x 

Phương pháp chung Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

   

f x g x (*)

Bước 2: Số giao điểm của  C và 1  C là số nghiệm của phương trình (*)2

- Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì hai đồ thị hàm số không có điểm chung

- Nếu phương trình (*) có nghiệm kép thì hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau

- Nếu phương trình (*) có n nghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung ( n¥ ).*

Sự tương giao của đồ thị hàm bậc ba

* Đồ thị  C cắt trục hoành tại duy nhất một điểm khi phương trình (1) có duy

nhất một nghiệm  phương trình (2) có một nghiệm kép x 

* Đồ thị  C cắt trục hoành tại hai điểm khi phương trình (1) có đúng hai

nghiệm phân biệt  phương trình (2) có một nghiệm kép x  hoặc phương

trình (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x 

* Đồ thị hàm số  C cắt trục hoành tại 3 điểm khi phương trình (1) có 3 nghiệm

phân biệt  phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 

D

ạn

g 1

* Trường hợp 2: Đồ thị hàm số  C cắt trục hoành tại hai điểm khi  C tiếp xúc

với Ox.

 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và y CD.y CT  (hình 2)0

* Trường hợp 3: Đồ thị hàm số  C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ

khi đồ thị  C có 2 điểm cực trị và y CD.y CT  (hình 3)0

* Trường hợp 4: Đồ thị hàm số  C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành

độ dương  đồ thị hàm số  C có hai điểm cực trị và

* Trường hợp 5: Đồ thị hàm số  C cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ

âm khi và chỉ khi đồ thị  C có hai điểm cực trị thỏa mãn

Có hai cách để nhẩm nghiệm của phương trình (*) như sau:

Cách 1: Coi phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn m

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay để đoán nghiệm

Ta thấy phương trình (*) chỉ là phương trình bậc ba Trong khi đó trong máytính có chức năng giải phương trình bậc ba Do đó ta sẽ sử dụng chức năngnày để đoán nghiệm của phương trình (*) Ta sẽ thử các trường hợp riêng của

m từ đó rút ra kết luận.

Thử m1 Ta bấm máy như sau:

Lúc này phương trình có hai nghiệm là x11;x2  3

Tiếp tục ta thử trường hợp 2: m Ta cũng bấm máy tương tự:2

Thì ta có phương trình có 1 nghiệm x2.

Ta có thể thử tiếp với các trường hợp khác, tuy nhiên từ hai trường hợp thử

trên ta đã có thể kết luận phương trình (*) luôn có một nghiệm x m

Ta có (*) x m mx   26x9m  0(*) có hai nghiệm phân biệt mx26x9m (**) có đúng một nghiệm khác0

m hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng m.



 có tập xác định D¡ \ 1Lúc này ta có BBT:

STUDY TIP

Trong trường hợp không

tìm được nghiệm của

Trong trường hợp không

tìm được nghiệm của

phương trình hoành độ

giao điểm thì phương

pháp hàm số vẫn tối ưu

hơn cả!

Từ BBT ta kết luận, đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt khi

94

22

m m

- Thực chất bài toán biện

luận số nghiệm của

- Thực chất bài toán biện

luận số nghiệm của

* Đồ thị  C không cắt trục Ox  Phương trình (1) vô nghiệm

 phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm

* Đồ thị  C cắt trục Ox tại duy nhất một điểm  phương trình (1) có duynhất 1 nghiệm  phương trình (2) có 1 nghiệm kép   hoặc có hait 0nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm t  và một nghiệm âm 0 t 0

* Đồ thị  C cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt  Phương trình (1) có banghiệm phân biệt  phương trình (2) có một nghiệm t0 và 1 nghiệm t0

* Đồ thị  C cắt trục Ox tại 4 điểm  Phương trình (1) có 4 nghiệm phânbiệt  phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

Ví dụ 1: Cho hàm số y  x4 2mx2m2  Tất cả các giá trị của m để đồ thị m

hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt là

     D.

10;

của tam thức bậc hai để

giải quyết bài toán

STUDY TIP

Với các bài toán này, ta

cần kết hợp với định lý

Viet và định lý về dấu

của tam thức bậc hai để

giải quyết bài toán

Đặt 2

tx t Phương trình (*) trở thành t22m1t m 23m (**)0

Đồ thị hàm số  C cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt  phương trình (**) có một

nghiệm kép dương hoặc hai nghiệm phân biệt trái dấu

* TH1: Phương trình (**) có một nghiệm kép dương:

Tương tự với các trường hợp còn lại ta có thể tự đưa ra công thức STUDY TIPgiống như hai bài toán trên.

Bài toán đặc biệt: Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số  C :y ax 4bx2 cắtc

trục Ox tạ 4 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành cấp số cộng.

Từ lý thuyết trên ta có điều kiện để đồ thị  C cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt là

phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

  2 000

c a b a

Ví dụ 1: Cho hàm số  C m :y x 42m2x2m2 với m là tham số Tìm m để

đồ thị  C cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng? m

quả hoặc kết quả để đi

thi giải quyết bài toán

quả hoặc kết quả để đi

thi giải quyết bài toán

một cách nhanh chóng

như ví dụ 1 tôi đề cập ở

phía dưới

(thỏa mãn điều kiện)

Sự tương giao của đồ thị hàm số  C :y f x  ax b

kiện của tham số m để đường thẳng : d y kx m  cắt  C tại hai điểm phân biệt

thỏa mãn điều kiện K?

Phương pháp chung Bước 1: * Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C và d ta có:

d g c

Giải hệ này ta tìm được m D (1)1

* Gọi A x kx 1; 1m B x kx , 2; 2m với x x là hai nghiệm phân biệt của1; 2

Bước 2: * Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của x x (3)1; 2

Kết hợp (1); (2); (3) ta thu được điều kiện của m.

Ví dụ 1: Tất cả các giá trị của m để đường thẳng : d y2x m cắt đồ thị

Áp dụng biến đổi của bài toán tổng quát phía trên ta có phương trình hoành độ giao

m

x x m

phương trình g x   0

Áp dụng định lý Viet ta có 1 2

1 2

1 32

nhau về điều kiện K

Các điều kiện K này

thường liên quan đến độ

dài, biểu thức vecto,

diện tích, tiếp tuyến, …

nhau về điều kiện K

Các điều kiện K này

thường liên quan đến độ

dài, biểu thức vecto,

diện tích, tiếp tuyến, …

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

 C :y  x3 3x tại ba điểm phân biệt; trong1

đó có đúng một điểm có hoành độ âm là

A; B; C phân biệt sao cho C 0;1 nằm giữa A

và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài bằng

phân biệt có hoành độ x x1; 2 thỏa mãn x2 2x1.

Bài tập rèn luyện kỹ năng

sao cho độ dài AB nhỏ nhất?

d x y m   tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho AB OA OBuuur uuur , với O là gốc tọa độ.

Hướng dẫn giải chi tiết

U  và U là tâm đối xứng của đồ thị m

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và

Yêu cầu bài toán  Phương trình (1) có hai

nghiệm phân biệt khác 1

33

m m

m m

Để d cắt  C tại ba điểm phân biệt trong đó có

đúng một điểm có hoành độ âm thì phương trình

(1) phải có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng

một nghiệm âm

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác

2 và trong đó có đúng một nghiệm âm

Để d cắt  C tại ba điểm phân biệt  (1) có ba

nghiệm phân biệt 2 0 01 2 

2

m m

Để  C cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt  (1) m

có ba nghiệm phân biệt 2 2 

3

m m

  có hai nghiệm phân biệt x x thỏa1; 2

mãn x1   0 x2 g x   có hai nghiệm phân0

biệt trái dấu 1 2

thẳng y m  (cùng phương với trục Ox) tại ba

điểm phân biệt

Để d cắt  C tại bốn điểm phân biệt có hoành độ m

nhỏ hơn 2 thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Nhận thấy bốn điểm A, B, C, D nằm trên trục

hoành thỏa mãn AB BC CD   bốn điểm A,

B, C, D có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Áp dụng công thức ở phần lý thuyết ta có

Để d cắt  C tại hai điểm phân biệt A, B  (1) m

2

(2)

Gọi A x 1;3 , B x2;3 với x x là hai nghiệm của1; 2

phương trình g x   Theo định lý Viet ta có0

1 2 0; 1 2 1 2

x  x x x   m và 2  2

2 1

AB  x x Theo đề bài ta có

Để  C cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có m

hoành độ x x thỏa mãn 1; 2 x2 2x1 (2) có hai

nghiệm dương phân biệt t t thỏa mãn 1; 2 t2 4t1

Để (2) có hai nghiệm dương

Gọi A x m x 1;  1 ,B x m x2;  2 với x x là hai 1; 2

nghiệm của phương trình g x   0

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường

2 hay

d x y m   luôn cắt  C tại hai điểm phân

biệt A, B với mọi m.

Gọi M là trung điểm của AB.

Theo đề ta có AB OA OBuuur uuur  AB2OM hay

tam giác OAB vuông tại O

Để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại hai điểm

phân biệt A, B thì phương trình (*) có hai nghiệm

Quý độc giả vui lòng khai báo sách chính hãng tại web: congphatoan.com để nhận được đáp án chi tiết.

BÀI KIỂM TRA SỐ 1

1

x y x

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để  C m

cắt Ox tại 2 điểm phân biệt:





x y x

Câu 16: Hình vẽ dưới đây là đồ thị của một trong

bốn hàm số được liệt kê ở các phương án A, B, C,

Câu 19. Cho hàm số 2 1

1

x y x





 Mệnh đề nào

dưới đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên tập ¡

B. Hàm số đã cho đồng biến trên   và; 1

biến thiên như sau

Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng

y m cắt đồ thị hàm số y f x  tại 3 điểm phânbiệt





21

x y x









 Phát biểu nào

sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang

là y1;y  và hai đường tiệm cận đứng là1

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

D. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là

D. Hàm số f x đồng biến trên khoảng    0;5

Câu 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

để đường thẳng y x m   cắt đồ thị hàm số1

1

x y x

13

m m

Câu 33: Hàm số y f x  nào trong số các

phương án dưới đây có đồ thị như hình vẽ sau:

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y ,34



 Mệnh đề nào dưới

đây sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 

C. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng

xác định

D. Hàm số luôn nghịch biến trên ¡

2

x y x





là

cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho

có điểm cực trị thuộc khoảng 2;3

C.   ; 3 D. 1;5

ngang là đường thẳng nào trong các đường thẳng

Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m sao cho

hàm số đã cho đồng biến trên 1; S là tập hợp

con của tập hợp nào sau đây?

A. ;0 B.   ; 2

C.   1;  D. 3; 2

thuộc đồ thị  C :y x 3 3x2 cách đều hai2

B. Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng

  2; 

C. Hàm số y f x  đạt cực đại tại x0

D. Hàm số y f x  có giá trị lớn nhất trên ¡bằng 14

2

x y x





 Mệnh đề nào dưới

đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên ¡

B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng

Câu 26: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình

vẽ phía dưới Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực

và B khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và

trên cùng một con đường Biết đồ thị biểu diễn vận

tốc của xe A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng ở hình dưới.

Hỏi sau khi đi được 3 giây khoảng cách giữa hai





32

x y





12

x y x







có đồ thị  C Tìm tất cả các giá trị thực của m

tham số m để đồ thị  C có ba điểm cực trị tạo m

thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng

D. Đồ thị của hàm số luôn có tâm đối xứng

Câu 34: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của

tham số m sao cho hàm số y x 1

x m





 nghịch biếntrên khoảng ; 2

hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh góc vuông của

một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 74

m m

Câu 38: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của hàm số y x  2 cosx trên0;

nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng

Câu 40: Gọi k, l lần lượt là số đường tiệm cận

ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

sao cho phương trình f x   có đúng haim

nghiệm thực phân biệt

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đường thẳng y  cắt 4  C tại hai điểm.

B. Đường thẳng 5

3

y cắt  C tại ba điểm.

C. Đường thẳng y cắt 3  C tại ba điểm.

D.  C cắt trục hoành tại một điểm

Câu 43: Cho đồ thị hàm số 3 2

1

x y x

Câu 44: Cho hàm số y x 44x3 Mệnh đeề1

nào sau đây là đúng?

trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cựctiểu của đồ thị hàm số đã cho là

 



 , điểm trên đồthị hàm số đã cho cách đều hai đường tiệm cận cóhoành độ bằng

Câu 1: Cho hàm số y f x  có lim1  

Câu 3: Cho hàm số y ax 4bx2 với a khác 0 c

có đồ thị  C Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số đã cho luôn có khoảng đồng biến và

khoảng nghịch biến

B. Trên đồ thị  C tồn tại vô số cặp điểm đối

xứng nhau qua trục tung

C. Đồ thị  C luôn có ba điểm cực trị tạo thành

một tam giác cân có đỉnh nằm trên trục tung

D. Tồn tại a, b, c để đồ thị  C và trục hoành

có duy nhất một điểm chung

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm

số y x 3 mx cắt trục hoành tại một điểm duy2

Câu 6: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục

trên ¡ có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số có các điểm cực trị là 1;1;3

B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0 và giá trị lớnnhất là 4

C. Hàm số có 3 cực trị

D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 0

Câu 7: Từ điểm A6;5 có thể kẻ được bao

nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị hàm số 2

2

x y x

A.  ;1

C.  1;3

D.  và ;1 3; 

Câu 12: Cho hàm số y f x  xác định và liên

tục trên ¡ và đồ thị của hàm số y f x'  như

hình vẽ dưới Xác định các điểm cực đại của hàm

x y





  có hai tiệm cậnđứng?

A. (I) đúng, (II) sai

B. (I) sai, (II) đúng

C. Cả (I) và (II) cùng đúng

D. Cả (I) và (II) cùng sai

Câu 16: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

15max

 C Gọi A, B là hai điểm trên đồ thị  C tại đó có

tiếp tuyến với  C song song nhau và có hệ số góc

bằng 3 Biết rằng khoảng cách từ gốc tọa độ tới

đường thẳng AB bằng 1? Tìm giá trị nhỏ nhất của

nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng

Câu 22: Cho hàm số y f x  liên tục trên ¡ và

có đồ thị là đường cong như hình vẽ dưới Tìm

điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y f x 

Câu 23: Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn

2; 2 và có đồ thị là đường cong như hình vẽ

dưới Tìm số nghiệm của phương trình f x  1

2

x 

Câu 25: Gọi x x là hai điểm cực trị của hàm số1, 2

2 41

y x

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 3

B. Hàm số đồng biến trên khoảng 3;1

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 

Câu 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

sao cho đồ thị của hai hàm số 3 2

nào dưới đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang

và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng

1

x 

B. Đồ thị hàm số (1) có hai tiệm cận ngang là

các đường thẳng y 2;y và không có tiệm2

cận đứng

đứng

D. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang

và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng1

x  ; x1

Câu 33: Cho hàm số y f x  xác định và liêntục trên mỗi nửa khoảng   và ; 2 2; , có

bảng biến thiên như hình dưới đây

Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để

phương trình f x   có hai nghiệm phân biệt.m

Câu 34: Cho hàm số y x3mx  , m là tham5

số Hỏi hàm số đã cho có thể có nhiều nhất baonhiêu điểm cực trị

các giá trị của tham số m để tất cả các điểm cực trị

của đồ thị hàm số đã cho nằm trên các trục tọa độ là:

3

 