Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng §¹i häc Vinh Céng hßa x héi chñ nghÜa ViÖt Nam §éc lËp Tù do H¹nh phóc §Ò thi tuyÓn sinh cao häc n¨m 2001 M«n Gi¶i tÝch Ngµnh To¸n §Ò sè 1 Thêi gian lµm bµi 180 phót C©u[.]
Trang 1Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001
Môn: Giải tích Ngành: Toán
Đề số 1 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Cho chuổi hàm: ( ) ( )
1
1
2 1 3
n
n n
x n
∞
=
−
−
a) Tìm miền hội tụ của chuỗi (1)
b) Tính tổng của chuổi (1) trong khoảng hội tụ của nó
Câu 2 Cho hàm số ( ), y cos 1x 0
0 0
x
f x y
x
=
nếu nếu a) Tìm tất cả các điểm gián đoạn của f
b) Tập các điểm gián đoạn của f không đóng trong R2 nhưng mở trong tập { (0, ) : y y ∈ Ă }
Câu 3 Cho dãy hàm
( ) [ ] [ ]
[ ]0,1, , , K
0
1, 0
1
=
∉
∈
x
x nx
n x
f n
nếu nếu
Chứng minh rằng
a)lim n( )
→∞ = với ∀x∈[ ]01,
b) lim 1
2
n
x If
→∞ = trong đó If là tích phân Lơbe của n f trên R, n [ ]nx là phần nguyên của nx
Câu 4 Giả sử l là tập tất cả cá dãy số thực bị chặn ; ∞ c là tập tất cả các dãy số thực hội tụ tới0
0
a) Chứng minh rằng công thức
sup n
n
∈
=
N với x = { }x n ∈ l xác định một chuẩn trên ∞ l ∞
b) Chứng minh rằng c là không gian con đóng trong 0 l với chuẩn nói trên.∞
c) Cho ánh xạ f : l∞ →Rxác định bởi công thức ( )
1 3
n n n
x
f x
∞
=
= ∑ , với mọi x = { }x n ∈
∞
l , Hãy chứng minh rằng f là một phiếm hàm tuyến tính, liên tục trên l và tính f ∞
Câu 5 Giả sử E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, B là hình cầu đơn vị đóng trong
E Chứng minh rằng với mọi x ∈ E, đều tồn tại y ∈ B sao cho x − y = d(x, B)