CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 6 pptx

CƠ HỌC LƯỢNG TỬNguyễn Văn Khiêm... BÀI 6 DẠNG MA TRẬN CỦA TOÁN TỬ... đều được biểu diễn bởi một ma trận, nếu trong các không gian vector đã cho sẵn các cơ sở.. đều được biểu diễn bởi một

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

BÀI 6 DẠNG MA TRẬN CỦA TOÁN TỬ

đều được biểu diễn bởi một ma trận, nếu trong các không gian vector đã cho sẵn các cơ sở

đều được biểu diễn bởi một ma trận, nếu trong các không gian vector đã cho sẵn các cơ sở

1 Các phần tử ma trận của một toán tử

Trước hết, ta xét một toán tử Mˆ tác dụng trong không gian các hàm

ψ với biến vector r

Trường hợp tổng quát được xét tương tự mà không có khó khan gi

Gia sử mỗi hàm ψ đều có thể viết được dưới dạng:

ψ Khi đó, số phức

được gọi là phần tử ma trận giua hai trạng thái ψ m và ψ n

và ký hiệu là:

n M

dv r

M r

n M

m M n = ∫ψ m* ( r  ) M ˆ ψ n ( r  ) dv (6.2)

Nhân 2 vế của (6.4) với ψ m*

lấy tích phân theo toàn bộ không gian và chú ý đến điều kiện chuẩn hoá

n

mn

n n

n m

MA TRẬN.

Mˆ

mn n

m r ψ r dv δ

∫ * (  ) (  )

Bây giờ ta xét trường hợp khi mọi hàm ψ đều khai triển được dưới dạng:

trong đó tích phân lấy theo một tập hợp liên tục của không gian biến λ

và các hàm ψ ( r λ ,  ) cũng thoa mãn điều kiện chuẩn hoá:

) (

) , ( ) , (

∫ r  r  dv

(6.6)

λ λ

ψ λ

ψ ( r  ) = ∫ c ( ) ( , r  ) d

và: Mˆψ (r) = ∫d(µ)ψ (µ,r)dµ (6.9)

(6.10)

)()

λ

∫thì

Tác động của Mˆ thể hiện dưới dạng ma trận như sau: nếu

(6.8)

λ λ

ψ λ

ψ ( r  ) = ∫ c ( ) ( , r  ) d

Khi đó, phần tử ma trận của toán tử Mˆ giua hai trạng thái ψ λ và ψ µ

là: λ M µ = ∫ ψ *( λ , r  ) M ˆ ψ ( µ , r  ) dv (6.7)

c ψψ

trong đó ψ1,ψ2

( * ˆ )*

*

dv M

n M

m = ∫ψ m ψ n

(6.11)

m M n n

Ngược lại, nếu (6.11) đúng với mọi m, n thi Mˆ là toán tử

hermitic

λλ

ψλ

ψ (r) = ∫c( ) ( ,r)d

thi điều kiện hermitic tương đương với đẳng thức

) (6.11'

µ λ

1.Dạng ma trận của một số toán tử đặc biệt

(Eψ = ψ ) , ta có:

(6.12)

=

≡ m E n m n dv mn n

m ψ * ψ δ

cho khai triển (6.1), và:

) (6.12'

cho khai triển (6.6)

Trước hết, với toán tử đơn vị E

λ λ

ψ λ

n n

n m n

n L

m = ∫ψ * ˆψ =∫ψ *λ ψ =λ δ = λ

(6.14)

µλ

µλδλ

µ L = ( − ) =

Như vậy, có thể nói (theo thuật ngu Dại số) là khi chọn cơ sở khai triển

Ví dụ, cho toán tử xˆ khi cơ sở khai triển là các hàm δ (r− r0)

(6.15)

x x

x

x ˆ ' =

4 Biến đổi các phần tử ma trận khi chuyển cơ sở khai triển

có hai cơ sở (hai hệ đầy đủ) trực chuẩn:

(6.16)

,

, ,, 2(1) (1)

) 1

Vì mọi hàm đều có thể khai triển qua hệ (6.16) nên mỗi hàm của

hệ (6.17) cũng thế, tức là ta có:

n

n qn m

m pm q

p

) 1 ( )*

1 (

* )

1 ( )*

m

m pm

) 1 ( )*

1 (

* ψ ˆ ψ

=

n m

n m

1 (

Suy ra:

(6.19)

∑

=

n m

qn

pm a m M n a

q M

p

,

) 1 (

* )

2 ( = ∑ (6.19)

n m

qn

pm a m M n a

q M

p

,

) 1 (

* )

2 (

Dây chính là công thức cần tim

LÀ CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CÁC PHẦN TỬ MA TRẬN KHI CHUYỂN CƠ SỞ KHAI TRIỂN

5 Biểu diễn giá trị trung bình qua các phần tử ma trận

Ta viết lại công thức tính giá trị trung binh của một đại lượng:

c ψ ψ

n m

n m

n

mc m c

Tim công thức cho trường hợp Lˆ có phổ liên tục.

TIỂU LUẬN

Chú thích lịch sử

Khi Cơ học lượng tử bắt đầu hình thành, chính các phần tử ma trận của toán tử chứ không phải bản thân các toán tử, được dùng

để mô tả các đại lượng vật lý

Với các phần tử ma trận, năm 1925 Werner Heisenberg – một trong những nhà phát minh và nhà tư tưởng lỗi lạc của thế kỷ XX

- đã xây dựng nên “Cơ học ma trận”, phương án ban đầu của Cơ học lượng tử Thành công này đã đem lại cho Werner Heisenberg

giải thưởng Nobel năm 1932