Bộ đề thi học sinh giỏi toán 9 cấp huyện

Phiếu học tập tuần toán 7 Tailieumontoan com  Sưu tầm và tổng hợp BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYÊN MÔN TOÁN LỚP 9 Thanh Hóa, ngày 8 tháng 3 năm 2020 Website tailieumontoan com Liên hệ tài liệu word toán zalo 039 373 2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH Đề số 1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn Toán 9 Thời gian làm bài 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức 1 x 1 x 1 P = x x x x x                  a) Tìm x để P xác định, rút[.]

Tailieumontoan.com



Sưu tầm và tổng hợp

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Thanh Hóa, ngày 8 tháng 3 năm 2020

c) Tìm giá trị của x thỏa mãn đẳng thức P x 6 x 3   x 4

Bài 2: (2,0 điểm) Giải c{c phương trình

Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn t}m O đường kính BC

Gọi D l| trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam gi{c ACD, G l| giao điểm của CD và

Bài 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn(AB < AC) Từ trung điểm D của cạnh

BC, kẻ đường vuông góc với đường phân giác của góc A cắt AB và AC lần lượt tại M và

N Chứng minh: BM = CN

- HẾT -

(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh

0,25

0,25

0,25 b)

0,5

điểm

Với x =

32



0,25

0,25 c)

x 2 0 và x 4 0 x = 4 (TM ĐKXĐ)

Kết luận

0,25

0,25 0,25

0 3 x

0 2 x 3 x2

0 b 2 x

0 a 1 x

1 a

Với a = 1  x  1  1  x - 1 = 1  x = 2 (thoả mãn đk) Với b = c  x  2  x  3  x - 2 = x + 3  0x = 5 vô nghiệm

Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2

0,25

0,25

0,25 0,25 b)

y x

y

Từ đó tìm được nghiệm của phương trình l|: x4

0,25 0,5 0,25

E D

M

C B

A

1 điểm

Chứng minh OE  CD :

ODAB (Đường kính qua trung điểm D của dây AB)

Mà EG // AB nên EGOD (1)

ABC cân tại A OG  BC, mà BC // DN nên OG  DN (2)

Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm ODE, do đó OE  DG

1OA.BC

4

OA.BC8

P N

M

C B

A

1 điểm

Vẽ hình chính xác

Chứng minh: BM = CN

Gọi K l| giao điểm của MN v| đường phân giác của góc A

Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC tại P

 AMN là tam giác cân tại A (AK vừa l| đường cao vừa là

Lưu ý: C{c c{ch giải kh{c đúng vẫn cho điểm tối đa

a/ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng p2 – 1 24

b/ Tìm số tự nhiên n sao cho 2

6

An  n l| số chính phương

c/ Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn: y22xy3x 2 0

Bài4: (3,0 điểm) Cho đường tròn t}m O, đường thẳng d cố định nằm ngo|i đường tròn, M

di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB

tại I

a Chứng minh tích OI.OM không đổi

b Tìm vị trí của M để MAB đều

c Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố định

Bài5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng

x yzy zx z xy 4

<<<<<<<HẾT.<<<<<<<

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi: Toán – Lớp 9

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25

0,25

Toạ độ điểm G thoả mãn phương trình đường thẳng y = -2x + 1 cố

định Chứng tỏ G luôn thuộc đường thẳng y = -2x + 1 cố định khi m

thay đổi

0.5đ 0.5đ

0.5đ 0.5đ

a/ Ta có p2 – 1 = (p – 1)(p + 1)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ do đó p – 1 và p + 1 là hai số

chẵn liên tiếp , suy ra (p – 1)(p + 1) 8 (1)

0,25

3 Xét ba số tự nhiên liên tiếp p – 1; p; p + 1 ta có (p – 1) p(p + 1) 3

Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, 3 là số

VT của (*) là số chính phương; P của (*) là tích của 2 số nguyên liên

0,25đ

0,25đ

4

Vẽ hình đúng đến câu a

a) Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O,R)

 OBMB ; OA  MA

Chứng minh được  OAM   OBM từ đó suy ra MA = MB

Lại có OA=OB suy ra OM l| đường trung trực của đoạn thẳng AB

 OMB vuông tại B có BI l| đường cao

 OB2 = OI.OM

 OI.OM = R2 không đổi

b) AMB cân tại M (chứng minh trên)

Để  AMB đều thì góc AMB = 600 góc BMO = 300

 OBM vuông tại B có OB = 0,5 OM

 OM = 2.OB = 2R

Kết luận

c/ Kẻ OH d, H  d  H cố định, OH cắt AB tại K

Chứng minh OIK và OHM đồng dạng

 OH.OK = OI OM = R2 không đổi

Mà O, H cố định nên OH không đổi  OK không đổi, K  OH cố

định

 K cố định

0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,5đ 0,25đ

0,5đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

(

) )(

)(

( 2

) )(

)(

(

) (

) ( ) (

x z z y y x

xyz x

z z y y x

x z z y y x

y x z x z y z y x xy z

z zx

y

y yz

x x

   ( vì áp dụng BĐT Côsi cho hai số

dương ta có: (xy)(y z)(z x)2 xy.2 yz.2 zx 8xyz))

<<<<<<<HẾT.<<<<<<<

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Bài 2: (2,0 điểm) 1/ Giải phương trình : 2 x  2  2x 3    5 x3 3x2  3x 2 

2/ Một thầy giáo còn trẻ dạy môn To{n, khi được hỏi bao nhiêu tuổi đã trả lời như sau : “Tổng, tích, hiệu, thương của tuổi tôi v| đứa con trai của tôi cộng lại l| 216” Hỏi thầy giáo bao nhiêu tuổi?

Bài 3: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng :

1(d ): y    3x 6; (d ): y2 1 x 1;

2/ Tính diện tích của tam giác ABC

Bài 4: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn t}m O, đường kính AB Kẻ tia Ax vuông góc với AB

(tia Ax và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Lấy một điểm C bất kì thuộc nửa đường tròn (C khác A và B) Qua O kẻ một đường thẳng song song với BC cắt

tia Ax tại M và cắt AC tại F

1/ Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O;

2/ Biết bán kính của đường tròn là 5cm, dây AC = 8cm Tính MB;

3/ BM cắt nửa đường tròn tại D Chứng minh MDF đồng dạng với MOB

Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x y z 2   

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi : Toán - Lớp 9

4 16 (phương trình vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  3  37

Từ đó, suy ra cặp nghiệm   x;y phù hợp là   30;5

Vậy tuổi của thầy giáo là 30 tuổi

0,25đ

0,25đ

0,25đ 0,25đ

*) Tìm tọa độ của A, B, C:

+) Theo cách vẽ dễ thấy A trùng với N và Q  A(2;0)

) Ho|nh độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình :

+)  BAF có chiều cao ứng với AF là 8 S BAF 1 .4. 8 16 (ñvdt)

Vậy diện tích  ABC là : 48 16 224 (ñvdt)

0,25đ 0,25đ

3

x y z 2 x;y;z 0

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

b Cho hàm số: y x 2m1; với m tham số

Tính theo m tọa độ c{c giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy

H là hình chiếu của O trên AB X{c định giá trị của m để 2

a.(1 điểm) Cho tam giác ABC Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường vuông góc với

đường phân giác của góc A cắt AB và AC lần lượt tại M và N.Chứng minh: BM = CN:

b (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn t}m O đường kính BC Gọi D

l| trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam gi{c ACD, G l| giao điểm của CD và AO

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi: Toán- Lớp 9

x P x

0,5

Ta có: AOB vuông tại O v| có OH l| đường cao nên:

1(2 1)

m m

4 1

D K

P N

M

C B

A

Chứng minh: BM = CN

Gọi K l| giao điểm của MN v| đường phân giác của góc A

Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC tại P

 AMN là tam giác cân tại A (AK vừa l| đường cao vừa l| đường phân giác)  AM = AN (1)

BP//MN nên BP  AK.Tương tự ABP cân tại A  AB = AP (2)

BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3)

0,25

0,25

3.0

Từ (1),(2),(3) suy ra BM = PN (4) Trong BCP, D l| trung điểm của BC, DN// BP  N l| trung điểm của CP hay NP = NC (5)

Từ (4),(5) BM = CN

0,25 0,25

2

O G

N

E D

M

C B

A

a) Chứng minh EG //AB:

Kẻ c{c đường trung tuyến CM, DN củaADC chúng cắt nhau ở E Hai trung tuyến AO và CD cắt nhau tại G, nên G là trọng tâmABC Xét MCD, ta có:

ABC cân tại A OG  BC, mà BC // DN nên OG  DN (2)

Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm ODE, do đó OE  DG hay OE  CD

c) Chứng minh: SDAC + SBDO =

.21

.8

12

12

12

12

12

BC OA S

S

BC OA OA

BC OA

OC S

ODC ABC ODC

Vậy SABC = 4 SODC hay SODC =

4

1

SABC

0,25 0,25

0,25 0,5

0,25

Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC –

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

a.Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 0

b Tìm số tự nhiên n sao cho 2

2 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn nhất

Bài 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R ) AB v| CD l| hai đường kính cố định của (O)

vuông góc với nhau M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O) K và H lần lượt là hình

chiếu của M trên CD và AB

a Tính sin2MBAsin2MABsin2MCDsin2MDC

b Chứng minh: 2

OK  AH RAH

c Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn nhất

Bài 5: (0,75 điểm) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2

2x 3y 4x19

- HẾT -

(Đề thi gồm có … trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi: Toán - Lớp 9

Áp dụng BĐT cô si vói hai số dương T 28 (2) 0.25

Để có (1) thì dấu bằng sảy ra trong (2)Khi

9

22

4

1

x x

1 Điểm cố định m| đường thẳng luôn đi qua l| A(0; 2) 0.5

2 Điểm cắt trục tung A(0; 2) OA2

C

A O

Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH 0,25

Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lƣợng trong tam giác vuông MAB có

(Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

a/ iết phương trình của đường thẳng AB; BC

b/ X{c định vị trí điểm D sao cho tứ gi{c ABCD l| hình bình h|nh

Bài 3 (2,0 điểm)

1/ Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy  2014 x  2015 y  2016  0

2/ Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng: Tổng của số đó với các chữ số của nó bằng

2023

Bài 3 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) cố định, đường kính AB Lấy điểm I nằm trên tia

đối của BA, kẻ tiếp tuyến IC (C l| tiếp điểm) Gọi M l| 1 điểm cố định thuộc nửa đường tròn đường kính AB không chứa điểm C (M kh{c A;B) Gọi N l| giao điểm thứ 2 của IM với (O); H l| hình chiếu của C trên AB; K l| hình chiếu của O trên IM, E l| giao điểm của

CH và OK

a/ Chứng minh: IC2 = IA.IB

b/ Chứng minh: IH.IO = IM.IN

c/ Khi I di động trên tia đối của BA, hãy tìm quỹ tích điểm E

Bài 5 (1,0 điểm) Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn a2  b2 1 2(ab a b  ) Chứng minh a; b l| 2 số chính phương liên tiếp

- Hết -

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn thi: Toán - Lớp 9

Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)

x x

x x

Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng

23

y  x b ì N thuộc đường thẳng BC tìm ra b = – 6 ậy phương trình của

2-b/

Giải hệ

762

2 – 63

Sử dụng công thức tọa độ trung điểm, với P l| trung điểm AC nên P l| trung

điểm của BD, tìm ra tọa độ điểm D(10;12)

0,25đ 0,25đ

2/

Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng: Tổng của số đó với các chữ số của nó

bằng 2023

Gọi số cần tìm là abcd ĐK: a b c d; ; ; N;1 a 9;0b c d; ; 9

Theo bài ra ta có: abcd      a b c d 2023 (1)

Vì abcd      a b c d 2023 nên abcd  3000 và 1 a 9 nên a=1; 2

0,25đ

c/

Khi I di động trên tia đối của BA, hãy tìm quỹ tích điểm E

Chỉ ra: OHE đồng dạng với OKI suy ra OK.OE=OH.OI (3)

+ OCI vuông tại C, đường cao CH nên OH.OI=OC2= OM2 (4)

Từ (3); (4) suy ra: OK.OE=OM2 Chỉ ra OKM đồng dạng với OME

Nên OMEOKM 900 suy ra: MEOM

ì (O); AB ; M cố định nên đường thẳng đi qua M v| vuông góc với OM cũng

cố định tức l| đường thẳng ME cố định Nên quỹ tích điểm E l| nằm trên

đường thẳng đi qua M v| vuông góc với OM

Giới hạn quỹ tích: Phần đường thẳng ME nằm giới hạn giữa 2 đường tiếp

tuyến của đường tròn (O) tại A v| B

0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ

Bài 5 (1,0đ): Cho 2 số nguyên a, b thỏa mãn a2  b2 1 2(ab a b  ) Chứng minh a; b l| 2

số chính phương liên tiếp (1đ SX)

a b   a l| số chính phương suy ra a l| số chính phương

Nên đặt a = x2 (x l| số nguyên) Khi đó:

x   b  x  x     b x

 21

 

Ta thấy x v| (x 1) hoặc (x-1) v| x l| c{c số nguyên liên tiếp

Suy ra: x2 và (x+1)2 hoặc (x-1)2 và x2 l| c{c số chính phương liên tiếp

ậy a v| b l| hai số chính phương liên tiếp

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Ghi chú: C{c c{ch giải kh{c, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

a,Tìm m để (d) cắt đường thẳng (d1) y = 2x + 4 tại một điểm trên trục hoành

b,Chứng minh rằng: khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định

Bài 3: (2,0 điểm)

1.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy- 2x + 3y = 21

2.Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

Bài 4: (3,0 điểm) Cho AB l| đường kính của đường tròn (O;R) C là một điểm thay đổi

trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H Qua A kẻ đường thẳng

xy vuông góc với AB.Gọi I l| trung điểm của AC, OI cắt đường thẳng xy tại M, MB cắt CH

tại K

a) Chứng minh MC OC

b) Chứng minh K l| trung điểm của CH

c) X{c định vị trí của C để chu vi tam gi{c ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R

Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức: P = ab bc ca

c ab  a bc  b ca

- HẾT -

PHÒNG GIÁO DỤC À ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI

0,25 0,25 0,25 0,25

b

2

1 3 31

Bài 3(2 điểm)

1

Ta có : xy- 2x + 3y = 21 x(y-2) + 3(y-2) =21 (x+3).(y-2) =21

ì x,y nguyên dương nên x 3 nguyên dương v| x 3≥4

Vì (x+3).(y-2) =21 nên x 3 l| Ư(21)

Có Ư(21)={-1 ;-3 ;-7 ;-21 ;1 ;3 ;7 ;21}

0,25 0,25

Bài 4(3 điểm)

Vì x + 3 ≥ 4 nên x + 3 = 7 hoặc x + 3 = 21

 x = 4 hoặc x = 18

 y = 5 hoặc y = 3 Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương l| (x ;y)=(4 ;5) hoặc (x ;y)=

(18 ;3)

0,25 0,25

2

A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x + y)(x + 4y) (x + 2y)(x + 3y) + y4

0,25 0,25

Bài 5(1 điểm)

- Chứng minh AOM = COM

- Chứng minh

0,25 0,25

b

b) Chứng minh K l| trung điểm của CH ( 1 điểm)

MAB có KH//MA (cùng AB)

(1) Chứng minh cho CB // MO (đồng vị)

C/m MAO đồng dạng với CHB

(2)

Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH CK = KH K l| trung điểm của CH

0,25 0,25 0,25 0,25

Đẳng thức xảy ra khi AC = CB M l| điểm chính giữa cung AB

Suy ra , dấu "=" xảy ra khi M l| điểm

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

a Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2)

b X{c định m để ba đường thẳng trên l| 3 đường thẳng phân biệt đồng quy

2 Có hay không số tự nhiên n để: 1990 + n2 là số chính phương

Bài 4: (3,0 điểm) Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) C{c đường cao AD,

BE, CF cắt nhau tại H Kéo dài AO cắt đường tròn tại K

1 Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành

2 Kẻ OM  BC tại M Gọi G là trọng tâm của ABC

Chứng minh SAHG = 2SAGO

HF

CF HE

BE HD AD

Bài 5: (1,0 điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M 1 1

x y

 

- HẾT -

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi: TOÁN - Lớp 9

Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại A (1; 2) 0.25 b) Ba đường thắng cắt nhau tai một điểm suy ra (d3) đi qua A

nhưng 1990 không chia hết cho 4

 Điều giả sử sai

0.25 Vậy không tồn tại số tự nhiên n để: 1990 + n2 là số chính phương 0.25

A

+ Vì ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK nên ACK

Chứng minh S AHG = 2S AGO

ì M l| trung điểm của BC (cmt)

AM l| đường trung tuyến của ABC

0.25

+ ABC có AM l| đường trung tuyến, G là trọng tâm (gt)

G thuộc đoạn AM, AG = 2

+ ì M l| trung điểm của HK (cmt)

AHK có AM l| đường trung tuyến Mà G thuộc đoạn AM, AG

= 2

3AM (cmt) G là trọng tâm của AHK

0.25 + Chứng minh HO đi qua G, HG = 2GO

+ AHG và AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO,

BE HD AD

Ta có:

AB CF

AB HF AC

BE

AC HE BC

AD

BC HD CF

HF BE

HE AD

HD

.21

.21

.21

.21

.21

.2

Cho x > 0, y > 0, z > 0 Chứng minh rằng :

(x+y+z) (1 1 1)9

z y x

Sử dụng x  y z 33 xyz ta có 3 1

.3)111(

xyz z

y

x   

(x+y+z) (1 1 1)9

z y x

BE HD

AD CF

HF BE

HE AD HD

BE HD AD