Kẻ đường kính AC của O, tiếp tuyến tại C cắt AB tại E.. Chứng minh: a Bốn điểm A,O,S,B thuộc cùng một đường tròn.
Trang 1Phòng GD huyện Thanh Oai
Trường THCS Bình Minh Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
năm học 2015- 2016
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6đ)
a Cho biểu thức:
P
1.Rút gon P
2.Tính P tại x=7+2 6
3 Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x>1
b. Chứng minh rằng: Với mọi n N Ta có 3 3
3 n 26n 27 169
Bài 2:(4đ)
a.Giải phương trình:
4x 5 3x 1 2x 7 x 3
b.Cho a,b,c 0 và a 3b3+ b3c3 + c3a3 =3a2b2c2
Tính A 1 a 1 b 1 c
Bài 3:(3đ)
a.Tìm nghiệm nguyên của phương trình
(x+2)4 _ x4 = y3
b. Cho x,y>0 và x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 1 2 1 2
Bài 4:(6đ)
Cho đường tròn tâm O bán kính R, từ một điểm S ở ngoài đường tròn vẽ các tiếp
tuyến SA.SB ( A, B là các tiếp điểm) Kẻ đường kính AC của (O), tiếp tuyến tại C
cắt AB tại E Chứng minh:
a) Bốn điểm A,O,S,B thuộc cùng một đường tròn
b) AC2 = AB.AE
c) SO // CB
d) OE vuông góc với SC
Bài 5: (1đ) Tìm a,b là các số nguyên dương sao cho: a + b2 chia hết cho a2b-1
Trang 2
Đáp án + biểu điểm
Bài 1: a) (4đ)
1.(2đ)
Tìm được ĐK: x 0;x 1,
:
P
:
1 ( 1)( 1)
P
2
1 ( 1)( 1)
.
P
1
1
x x
P
x
0,25đ
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ
7 2 6 ( 6 1) x 6 1
Thay vào biểu thức ta có 7 2 6 6 1 1 9 3 6 3 6 6
2
P
0.5đ 0,5đ
x x
Do x>1 x 1 0 Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số dương ta có
P 2 3 3 Dấu “ =” xảy ra khi x= (1+ )3 2
Vậy Min P= 2 3 3 khi x= (1+ 3 )2
0,5đ 0,25đ 0,25đ
b Đặt A= 33n+3 - 26n – 27 = 27.27n – 26n - 27 =27.(27n – 1) -26n
= 27(27-1)(27n-1 + 27n-2 +…+27+1) - 26n
=26( 27n+27n-1+27n-2+…+27 – n)
(27n 1) (27n 1) (27n 1) (27 1)
=26.bội số của26 169(đpcm)
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ
Bài 2:(4đ)
a) (2đ)
3
Trang 3Biến đổi:
4x 5 x 3 2x 7 3x 1
Giả sử 2 vế của phương trình cùng dấu, bình phương 2 vế ta được
(4x 5)(x 3) (2x 7)(3x 1)
2
3 4 0 ( 4)( 1) 0
4
1
x loai
x
0,5đ
0,5đ 0,25đ 0,5đ
b)(2đ) Đặt ab=x;bc=y;ca=z Ta có x3 + y3 + z3 = 3xyz
(x y z) ( x y) (yz) (z x) 0 0
x y z
Nếu x+y+z=0 ab bc ca 0 A=-1
Nếu x=y=z a=b=c A=8
0,75đ
0,25đ 0,5đ 0,5đ
Bài 3: (3điểm)
a 1,5d) Giải: (x+2)4 –x4 =y3
x4 +8x3 +24x2 + 32x + 16 –x4 = y3
8x3+24x2 +32x +16 =y3
Vì 12x2 + 22x +11 = 11(x+1)2 + x2 >0
12x2+ 26x +15 = 11(x+1)2 + (x+2)2>0
Ta có : (8x3 +24x2 + 32x +16) - (12x2 + 22x +11) < y3 < (8x3 +24x2 +
32x +16) + ( 12x2+ 26x +15)
(2x+1)3 <y3 < (2x+3)3 Do đó y = 2x+2
8x3+24x2 +32x +16 = 8x3 + 24x2 + 24x +8
8x =-8 x=-1 ; y=0 Vậy nghiệm nguyên của phương trình là
(-1 ;0)
b) (1,5 đ)
Chứng minh bất đẳng thức 2(a2 + b2 ) (a + b) 2với mọi a,b
Và bất đẳng thức : 1 1 4 với mọi a,b > 0
a b a b
Dấu “=” xảy ra khi a=b
Áp dụng các bất đẳng thức trên ta có:
0,25đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ
0,5đ
Trang 4= ( do x+y =1)
2
2
2
2
(1 4)
Dấu “=” xảy ra khi x= y = 0,5
Vậy Min A = 12,5 x= y = 0,5
0,5đ
0,25đ 0,25đ
Bài 4:(6đ)
a
Vẽ đúng hình chứng minh được 4 điểm A,O,S,B cùng thuộc 1 đường tròn
đường kính SO
b.Cm được AC2=AB.AE
y
O
B
A A A A
C
c Cm được SO//CB
d CmAECđồng dạng SOA EC AC EC AC OCE đồng
OA SA OC SA dạng SAC từ đó suy ra OE vuông góc với SC
1,5đ 1,5đ
1,5đ 1,5đ
Bài 5: (1đ)
x xy y x xy x xy xy xy
2(x y xy) 2
Đặt 2(x+y)=k(xy+2) với kZ
Nừu k=1 2x 2yxy 2 (x 2)(y 2) 2
Tìm được x=4 ; y=3
Nừu k 2 2(xy) 2(xy 2) x y xy 2 (x 1)(y 1) 1 0 vô lí
(loại)
Vậy x=4 y=3
1,0đ
Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm
S
S
E
