Từ một điểm M tùy ý trên xy kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn O, trong đó P, Q là các tiếp điểm... bTừ câu a suy ra OI=OH R2 Do R không đổi, OH không đổi nên OI không đổi, do đó
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút
Bài 1 : (5,0 điểm)
xy
xy y x xy
y x xy
y x
1
2 1
: 1
1 a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi
3 2
2
x
c) Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2x 4x2 1 2x 4x2 1 2
b) Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho 1! + 2! + 3! + 4! + … + n! là số chính
phương
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Cho x.y > 0 và x + y = 1.
Chứng minh rằng: 8 4 4 1 5
xy y x
b) Chứng minh bất đẳng thức sau:
9 30 30 30 30 30 6
6 6 6
Bài 4: (5,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao nhau Từ một điểm M tùy
ý trên xy kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O), trong đó P, Q là các
tiếp điểm Qua O kẻ OH vuông góc với xy, dây PQ cắt OH tại I, cắt OM tại K
Chứng minh:
a) OI.OH = OK.OM = R2
b) PQ luôn luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M thay đổi trên xy
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H Tính độ dài AD
biết AH = 14cm; BH = CH = 30cm
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM
a)ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ 1
xy
xy y x xy
y x xy
y x
1
2 1
: 1
1
xy
xy y x xy xy
xy y
x xy y
x P
1
2 1
: 1
1 1
1
2
x x
0,5
0,5 1,5
3 1 ; 3 1 1
3 2 2 3 2
2
x b
13
2 3 6 1 3 2 4
1 3
P
0,5 1,0
Bài 1
(5điểm)
1 1
1 1
2
x
x x
x P
c
(Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 1 và y ≠ 1)
Vậy Max P = 1 khi và chỉ khi x = 1 và y ≠ 1, y≥ 0
0,5
0,5
a) ĐKXĐ: x ≥
2 1
Nhân 2 vế với ta được:2
2x 1 2x 1 2 2x 1 2x 12 2 2
2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2 2
2x1 2
2
1
x
0,25
0,5 0,25
0,5 0,5
Bài 2
(4điểm)
b)- Với n = 1 thì 1! =1= 12 là số chính phương
- Với n = 2 thì 1!+2! = 1+1.2 = 3 không là số chính phương
- Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! =1 + 1.2 + 1.2.3 =9 = 32 là số chính phương
- Với n ≥ 4 thì 1! + 2! + 3! + 4! =1 + 1.2 + 1.2.3 +1.2.3.4 = 33
còn 5!; 6!; 7!;…; n! đều có tận cùng bằng 0 Do đó :
1! + 2! + 3! + 4! + … + n! có tận cùng bằng 3 nên không là số chính
phương
Vậy có hai số tự nhiên thỏa mãn là n = 1; n = 3
0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25
Trang 3a) Từ giả thiết , 0.
0 1
0
y x y
x xy
Ta có:
)
1 ( 4
1 4
1
2
1
xy xy xy
y x
Lại có:
2
8. x y 4.(1 1 ).(x y )4.(x y ) (1 1 ).(x y ) xy
Suy ra: 8.(x4 + y4) 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
1 1 4 5
8 4 4
xy y
x
Ta có đpcm
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(4điểm)
b) Vì 6 9 => 6 3; và 30 36 30 6nên
3 3 6 6 6 6 6
6 6 6
6 6 30 30
30 30
30 30
30 30
30
Cộng từng vế ta suy ra điều phải chứng minh
0,5
0,5 0,5
0,5
0,5 Bài 4
(5điểm)
a) Δ OMH đồng dạng với Δ OIK (g-g), ta có:
suy ra OI.OH = OM.OK (1)
OK
OH OI
OM
Tam giác OPM vuông ở P mà PK OM nên:
R2 =OP2 = OK.OM (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OI.OH = OK.OM = R2
1,0
1,0 0,5
O
P
K
Q
H M
I
Trang 4b)Từ câu a) suy ra OI=
OH
R2
Do R không đổi, OH không đổi nên OI không đổi, do đó điểm I cố
định Vậy khi điểm M thay đổi trên xy thì các dây cung PQ luôn luôn
đi qua điểm I cố định
1,0
1,0
Gọi E là điểm đối xứng với H qua BC Ta có BHCE là hình thoi,
ΔABE vuông tại B nên BE2 = ED.EA Đặt DE =x
Có hai trường hợp:
0,5
TH1: B AˆC 900
ta có:x(2x+ 14) = 302
Giải phương trình ta được
x =18 thỏa mãn
Từ đó tính được AD=32cm
0,75
Câu 5
(2điểm)
TH2: B AˆC 900
Ta có x(2x-14) = 302
Giải phương trình ta được:
x= 25 thỏa mãn
Từ đó tính được AD = 11cm
0,75
A
H
D
E x
H
E
D A
x